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Institut für
Mathematik


Ansprechpartner

Prof. Dr. Thomas Hotz

Studienberater Mathematik

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INHALTE

Was ist drin?

Das Mathematik-Studium in Ilmenau setzt sich aus einem 6-semestrigen Bachelorstudiengang und einem, darauf aufbauenden, 4-semestrigen Masterstudiengang zusammen; tatsächlich machen die meisten unserer Studierenden beide Abschlüsse an der TU Ilmenau.

Das Bachelor-Studium ist so strukturiert, dass es - wie im Folgenden dargestellt - eine große mathematische Breite gewährleistet.

Im Master "Mathematik und Wirtschaftsmathematik" herrscht eine große Wahlfreiheit, wobei man sich für eine der beiden Studienrichtungen "Angewandte Mathematik" oder "Wirtschaftsmathematik" entscheidet.

Algebra

Algebra ist ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik. Ausgehend von der Arithmetik der ganzen Zahlen werden dort Aspekte des Rechnens mit Objekten wie Funktionen, Folgen, Polynomen, Matrizen, Vektoren, Elementen geordneter Mengen, Wörtern und vieles mehr untersucht. Obwohl die Algebra den Dingen auf hohem Abstraktionsgrad nachspürt, begegnet sie uns in vielen Lebensbereichen in Form von Verfahren zur Verschlüsselung und Übertragung von Nachrichten (zum Beispiel an die Bank), beim Abspielen von Bild und Ton, als Filmtrick, beim Autofahren mit ,,Navi’’, beim Googeln, an der Börse - leichthin, ohne daß das dem ,,Endanwender’’ überhaupt bewußt wird.

Die Studierenden des ersten Jahres belegen die Vorlesungen Lineare Algebra I/II. Neben den Grundlagen der Logik und Mengenlehre nebst ihren Paradoxien werden dort zum Beispiel Methoden zur exakten Lösung sogenannter linearer Gleichungssysteme behandelt. Weitere Strukturen und Rechengesetze, wie sie beispielsweise bei Polynomen und Polynomgleichungen auftreten, werden dann in der Höheren Algebra diskutiert.

Analysis

Analysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, in dem Funktionen mit Hilfe von Grenzwerten untersucht werden. Man kennt das bestens aus der Schule: Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten (und entspricht der Steigung der Tangente am Graphen). Somit kann man auch sagen, dass sich die mathematische Analysis mit infinitesimal erklärten Größen beschäftigt. Der altmodische Begriff für den heute üblichen Namen "Analysis" ist daher "Infinitesimalrechnung".

Bewegungen oder Prozesse sind überall und lassen sich mittels Funktionen mathematisch ausdrücken. Man denke an die Natur, deren Gesetzmäßigkeiten (z.B. Energieerhaltung) auf Gleichungen führen. Hier tauchen typischerweise die Ableitungen dieser Funktionen auf, um Veränderungen zu beschreiben (Differentialgleichungen). So ist es nicht verwunderlich, dass im Bereich Analysis intensiv geforscht wird. Als Beispiel sei hier die Entwicklung des Winglets für Flugzeuge genannt, bei der die Lösung von solchen Differentialgleichungen maßgeblich zum Verständnis der komplizierten Strömungsdynamik beigetragen hat.

Aufgrund der grundlegenden Bedeutung der Analysis, müssen Studierende des Bachelorstudienganges vier Semester lang die Kurse Analysis I bis Analysis IV belegen. Hier lernt man die Differential- und Integralrechnung zunächst einer Veränderlichen und dann später mehrerer, man erhält eine Einführung in die Theorie der Differentialgleichungen und erweitert den Integralbegriff in der Maßtheorie.

Diskrete Mathematik

In der Diskreten Mathematik werden endliche und abzählbare strukturierte Objekte untersucht. Hierzu gehören Netzwerke aller Art, Ablaufpläne, Systeme von Präferenzordnungen, Mengenfamilien, Strategiespiele und vieles mehr.

Neben der Frage, wie diese Objekte grundsätzlich aufgebaut oder zerlegt werden können, betrachtet man sehr verschiedenartige Optimierungsprobleme, wie zum Beispiel die Suche nach Verbindungen kleiner Länge oder großer Bandbreite, Lagerungs- und Transportprobleme, optimale Stundenpläne, möglichst ,,gerechte’’ Wahl- oder Teilungsverfahren, Frequenzzuweisungsprobleme, Gewinnstrategien etc. Die meisten dieser Probleme ,,aus der wirklichen Welt’’ erschließen sich erst im abstrakten Modell - dargestellt in der klaren, zweifelsfreien Sprache der Mathematik - einer zielführenden und dann auch universalen Behandlung, hier meist mit kombinatorischen Methoden.

Die Diskrete Mathematik gehört neben der Numerik zu den der Informatik am nächsten stehenden Teilgebieten der Mathematik. Ihr größtes Untergebiet, die Graphentheorie, ist Forschungsgegenstand einer seit über 50 Jahren in Ilmenau bestehenden, international renommierten Schule. Entsprechend breit aufgestellt ist das Lehrangebot, in dem regelmäßig wiederkehrende Vorlesungen über Kombinatorik, Graphen, Algorithmen wie auch Spezialvorlesungen und Seminare zum Beispiel über Matroide oder Ordnungstheorie ihren Platz finden.

Numerik

Optimierung

In der Optimierung befasst man sich mit mathematischen Modellen von Entscheidungsproblemen und deren Lösung. Einfache Optimierungsprobleme, die „von Hand“, d.h. analytisch, gelöst werden können, kennen Sie schon aus der Schulzeit. Und auch schon erste Optimalitätskriterien, wie die Ableitung einer Funktion gleich Null zu setzen. In der mathematischen Optimierung im Bachelorstudium lernen Sie weitere solche Optimalitätskriterien kennen.

Ein weiteres wichtiges Thema sind numerische Verfahren, falls eine optimale Lösung nicht mehr von Hand sondern nur noch mit Hilfe von Computern gefunden werden kann. Hier fließt viel mathematisches Wissen ein, welches Sie im Rahmen der Grundlagenvorlesungen der Analysis und Algebra kennen gelernt haben.

Es gibt die unterschiedlichsten Typen von Optimierungsproblemen: mit Unsicherheiten, lineare oder nichtlineare, mit mehreren Zielfunktionen, Binärvariablen, u.s.w.. Daher sind auch die jeweils verwendeten Techniken in Theorie und Numerik der Optimierung sehr vielseitig.

Da man in der Praxis immer kompliziertere Probleme betrachtet und lösen möchte, wird auf diesem Gebiet weltweit und natürlich auch an der TU Ilmenau intensiv geforscht. Vieles davon fließt auch in die Lehrveranstaltungen ein.

Im Bachelorstudium lernen Sie zunächst im zweiten und fünften Semester die Grundlagen kennen, und werden damit schon viele praktische Probleme lösen können. In weiterführenden Vorlesungen bekommen Sie einen Einblick in speziellere Fragestellungen der aktuellen Forschung im Bereich der mathematischen Optimierung.

Stochastik

Die Stochastik als Sammelbegriff für Wahrscheinlichkeitstheorie, mathematische Statistik und deren Anwendungen ist ein sich schnell entwickelndes Teilgebiet der Mathematik. Die Wahrscheinlichkeitstheorie stellt Modelle bereit, die eine angepasste Beschreibung zufälliger Phänomene erlaubt. Die Methoden der mathematischen Statistik dienen dazu, aus empirisch beobachteten Daten, die zufälligen Schwankungen unterliegen, allgemeingültige Schlüsse zu ziehen.

Stochastische Modelle bilden die Grundlage für die Bestimmung optimaler Entscheidungen unter Unsicherheit. Sie sind damit ein wesentlicher Bestandteil der modernen Finanzmathematik. Die Stochastik besitzt darüber hinaus viele Anwendungen in den Lebenswissenschaften, aber auch in den Ingenieurwissenschaften, insbesondere, wenn es um die Zuverlässigkeit komplexer Systeme, die Bestimmung ihrer Eigenschaften sowie eine Vorhersage ihres Verhaltens geht. In der Informatik wird die Stochastik u. a. zur Modellierung von Computer- und Kommunikationsnetzen sowie zur Untersuchung von Algorithmen mit "zufälligen" Schritten genutzt.

Aufbauend auf Kenntnissen aus der linearen Algebra und der Analysis, insbesondere der Maßtheorie, werden in den beiden Bachelor-Lehrveranstaltungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik die Grundlagen dieser Disziplinen vermittelt.

Anwendungsgebiete

Moderne Technologien, Wissenschaft und ökonomisches Handeln sind ohne Mathematik heutzutage praktisch undenkbar. Mathematik bildet eine essenzielle Grundlage z. B. der Quantenmechanik, der Bewertung von Aktienoptionen, der Beschreibung von Netzwerken, für die Optimierung industrieller Prozessabläufe, für die Computertomografie in der Medizin, beim autonomen Fahren ...

Seinem Interesse folgend wählt daher jeder Studierende ein sogenanntes Nichtmathematisches Anwendungsmodul (auch Nebenfach genannt), nämlich entweder

  • Wirtschaftswissenschaften,
  • Physik,
  • Technische Informatik,
  • Elektrotechnik,
  • Biomedizinische Technik,
  • Maschinenbau oder
  • Informationstechnik,

aus, in welchem dann einige Veranstaltungen besucht werden. Neben den Grundlagen dieses Faches erlebt man dort, wie praktische Probleme zu mathematischen werden können und welche Bedeutung umgekehrt die mathematischen Ergebnisse für die Praxis haben. So kommt auch die Motivation für viele mathematische Fragen aus den Anwendungen! Natürlich erleichtern darüberhinaus Kenntnisse in einem dieser Fächer dann später einen Berufseinstieg in einer entsprechenden Branche.

 

 

Informatik

Für den Mathematiker stellt die Informatik ein oftmals notwendiges Hilfsmittel dar. Sie wird typischerweise genutzt, um hinreichend einfache Umformungen (im günstigsten Fall bis hin zur Lösung) komplexer Probleme schnell und fehlerfrei von einem Computer ausführen zu lassen, wie es oftmals in der Algebra und Analysis erforderlich ist.

Außerdem können Probleme, deren exakte analytische Lösung uns nicht zugänglich ist, durch von Computern berechnete Näherungslösungen untersucht werden. Ein Ansatz der oftmals in Numerik und Optimierung bei der Bearbeitung komplizierter naturwissenschaftlicher, technischer und ökonomischer Problemstellungen angewandt wird.

Da diese beiden Ansätze fast immer eine der wesentlichen Grundlagen industrieller bzw. technischer Forschung und Entwicklung darstellen und in universitärer Forschung beinahe unabdingbar sind, werden während des gesamten Mathematikstudiums verschiedenste Fächer aus den Bereichen der Informatik angeboten.

Hierbei bilden die Grundlagen der Logik, Sprachen, Algorithmik, die Handhabung mindestens eines Computeralgebrasystems (wie Maple, MatLab, Octave), einer grundlegenden Programmiersprache (wie C++) sowie eine Einführung in das Textsatzsystem LaTeX die Wissensbasis, die in den ersten beiden Semestern abgedeckt wird (Wissenschaftliches Rechnen).

Danach kann sowohl im Bachelor- als auch im Masterstudium frei aus Informatikfächern gewählt werden, die in der Mathematik und deren Anwendungen gewinnbringend eingesetzt werden können.

Softskills

Was sind sogenannte "Softskills" für den Mathematikstudenten?

Es geht um Fähigkeiten, die man im Laufe des Studiums in Mathematik- und anderen Veranstaltungen erwirbt, die aber keineswegs nebensächlich sind, sondern den Mathematiker neben der fachlichen Kompetenz geradezu auszeichnen:

Der Mathematiker sollte

  • den wesentlichen Inhalt eines wissenschaftlichen Gegenstandes erkennen,
  • zugrundelegende Strukturen erkennen und
  • diese Erkenntnisse knapp und  präzise ausdrücken können.
  • Softskills gerade im Mathematikstudium bedeutet aber auch hartnäckig - und eben nicht s o f t - eine Sache zu bearbeiten, bis das Problem gelöst ist.

Das Modul Softskills im Rahmen des Bachelorstudiums Mathematik soll diese Persönlichkeitbildung unterstützen. Es umfasst Fremdsprachenkurse (z. B. Englisch for the Natural Sciences), Literaturrechereche und das Studium Generale.

So wird beispielsweise im Studium Generale in jedem Semester eine Philosophieveranstaltung angeboten. In dieser Veranstaltung geht es um die Erschließung von Konzepten der Philosophie. Die Erarbeitung von dichten Originaltexten und der zugehörigen Sekundärliteratur erfordert die oben genannte Hartnäckigkeit, die Durchdringung des Textes hin zu dem wesentlichen Gerüst, die Fähigkeit der eigenen Formulierung.

Bachelorarbeit & Proseminar

Neben Vorlesungen und Übungen, in denen Hausaufgaben besprochen werden, gibt es noch eine weitere Lehrform: Im Proseminar erarbeiten sich jeder Studierende selbständig ein Kapitel eines Lehrbuches oder einen Fachartikel und trägt vor den Kommilitonen darüber vor.

Den Höhepunkt des Studiums bildet sicherlich die Abschlussarbeit im sechsten Semester. Zunächst arbeitet sich der Studierende in ein mathematisches Thema ein und bearbeitet dann - unter Anleitung - eine spannende, mathematische Fragestellung, welche häufig aus der aktuellen Forschung stammt. In der Abschlussarbeit selbst führt er strukturiert in das Gebiet ein, stellt dann das Problem und schließlich auch seine Lösung dar, schreibt also eine erste wissenschaftliche Arbeit.