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Arbeitsgruppe Numerische Mathematik
und Informationsverarbeitung


Ansprechpartner

Prof. Dr. rer. nat. habil. Hans Babovsky

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INHALTE

Abschlussarbeiten

Anzahl der Treffer: 14
Erstellt: Fri, 20 Oct 2017 23:06:56 +0200 in 0.0356 sec


Tischer, Mario
Modellierung eines Gasgemischs im hydrodynamischen Limes. - 51 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit, 2016

Verwendet man bei der Betrachtung des "Evaporation-Condensation-Problem" gängigen Methoden zur Analyse des Hydrodynamischen Limes, so erhält man ein als""Ghost-Effect" bezeichnet, physisch unmögliches Ergebnis. In einer Arbeit von Prof. Babovsky wurde stattdessen die Diffuse Skalierung verwendet, bei welcher der "Ghost-Effect" nicht auftrat. In meiner Arbeit wurde die Diffuse Skalierung auf ein bestimmtes Diskretes Geschwindigkeitsmodell (den Broadwell-Model) angewandt, um dieses Ergebnis anhand eines konkreten Beispieles zu verifizieren.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/874933668tisch.txt
Gruschwitz, Michael
Attraktordimensionen zeitdiskreter dynamischer Systeme: Grundlagen und numerische Verfahren. - 146 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2015

Bei dissipativen dynamischen Systemen ist - insbesondere im Rahmen der Modellbildung - meist das Langzeitverhalten, und damit der sogenannte Attraktor des dynamischen Systems von besonderem Interesse. Eine wichtige Eigenschaft des Attraktors ist dabei dessen Dimension. Zum einen kann die Dimension des Attraktors einen Anhaltspunkt für die Art des vorliegenden dynamischen Systems geben: ganzzahlige Dimensionswerte deuten auf reguläre, nicht ganzzahlige Dimensionswerte hingegen auf chaotische dynamische Systeme hin. Darüber hinaus kann die Dimension des Attaktors beispielsweise bei der Modellbildung einen Anhaltspunkt für die Anzahl der benötigten unabhängigen Variablen liefern. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich daher mit den Möglichkeiten die Dimension eines (diskreten) dissipativen dynamischen Systems numerisch zu bestimmen. Ausgehend von einer Zusammenfassung der wichtigsten mathematischen Grundlagen und einer kurzen Einführung in die Begriffe der dynamischen Systeme, werden die verschiedenen, in der Literatur gängigen Dimensionsbegriffe einheitlich motiviert und dargelegt. Nach einer Bewertung der numerischen Bestimmbarkeit der unterschiedlichen Dimensionsbegriffe werden für die am geeignetsten erscheinenden Dimensionsbegriffe - Lyapunov-Dimension und Korrelationsdimension - Algorithmen motiviert und dargestellt sowie diese Algorithmen an Beispielen getestet. Abschließend werden die erhaltenen Resultate bzgl. der Genauigkeit der Resultate und der dafür benötigten Laufzeiten miteinander verglichen.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/832934542grusc.txt
Fechner, Felix
Numerische Simulation der makroskopischen Lasergleichungen. - 34 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2014

Ziel dieser Arbeit ist die Analyse des Einflusses diverser Parameter auf die makroskopischen Lasergleichungen. Hierzu bedarf es einer numerischen Beschreibung und einer programmiertechnischen Umsetzung, welche ebenfalls durchgeführt werden sollen. Um ein Verständnis sowohl der physikalischen als auch der mathematisch-numerischen Grundlagen zu gewährleisten, werden beide detailliert vorgestellt. Zunächst soll hierbei die semiklassische Theorie des Laserlichts wiedergegeben werden, welche die Maxwellsche Theorie des Elektromagnetismus mit einem quantenmechanischen Zweiniveausystem verbindet. Dies führt letztlich auf drei gekoppelte Differentialgleichungen, welche die physikalischen Größen elektrische Feldstärke, Polarisation und Besetzungsinversion miteinander verknüpfen. Direkt anschließend wird die numerische Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen ausgearbeitet. Hierbei werden im Rahmen der gewöhnlichen Differentialgleichungen zunächst verschiedene Einschrittverfahren und darauf folgend explizite und implizite Mehrschrittverfahren vorgestellt. Die numerische Theorie der partiellen Differentialgleichungen beschränkt sich auf die Methode der finiten Differenzen, wobei explizite, implizite und gemischte Verfahren an den Beispielen der Wellen- und der Diffusionsgleichung vorgestellt werden. Zudem werden die theoretischen Konzepte der Stabilitätsuntersuchung sowie verschiedene Stabilitätskriterien angegeben. Darauf aufbauend wird die numerische Umsetzung der Lasergleichungen beschrieben. Es wird darauf Wert gelegt, die Herangehens- und Arbeitsweise des Autors aufzuzeigen, um somit ein einfacheres Nachvollziehen der Gedankengänge zu ermöglichen. Aus diesem Grund wird zunächst die physikalische Vorbereitung - das Reskalieren der Gleichungen behandelt. Dies ermöglicht eine einheitenlose und somit mathematisch-numerisch stark vereinfachte Handhabung der Gleichung. Anschließend folgt die numerische Stabilitätsuntersuchung verschiedener Verfahren, angewandt auf die zunächst noch entkoppelt partielle Lasergleichung. Diese Untersuchung soll ebenfalls die Arbeitsweise des Autors in den Vordergrund rücken und wird deshalb nicht in der strengen mathematischen Beweisstruktur wiedergegeben. Vielmehr werden die Stabilitätsbedingungen - der formalen Beweisrichtung entgegengesetzt - hergeleitet, wodurch die Nachvollziehbarkeit und der Lesefluss erhöht werden. Nach der physikalischen Interpretation der Werte der entkoppelten Gleichung werden abschließend die drei gekoppelten Gleichungen computertechnisch umgesetzt. Von den mannigfaltigen untersuchenswerten Phänomenen werden einerseits ein assymetrisches Auftreten der Besetzungsinversion und andererseits die Abhängigkeit des Laserprozesses von Dämpfungstermen untersucht.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/791508900fechn.txt
Büttner, Florian
Ein implizites parallelisierbares Runge-Kutta-Verfahren. - 53 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012

Das Ergebnis der Bachelorarbeit mit dem Thema: "Ein implizites parallelisierbares Runge-Kutta-Verfahren" ist das Auffinden eines problemspezifischen implizites Runge-Kutta-Verfahrens der Konsistenzordnung 2, welches die Eigenschaft der A-Stabilität erfüllt. Zunächst wird im ersten Kapitel ein kurzer Überblick über die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen gegeben. Anschließend wird auf die Grundlagen der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen eingegangen, verschiedene implizite Runge-Kutta-Verfahren vorgestellt und deren Stabilitätseigenschaften beschrieben. Im fünften Kapitel werden Verfahren zur numerischen Lösung von Gleichungenssystemen vorgestellt, um somit die Gleichungen, welche bei der Berechnung der impliziten Runge-Kutta-Verfahren auftreten, zu berechnen. Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit der Konstruktion des Runge-Kutta-Verfahrens und des Algorithmus zur Lösung eines Anfangwertproblems. Ferner wurden die Stabilitätseigenschaften des Verfahrens untersucht. Hierbei hat sich herausgestellt, dass das konstruierte Verfahren A-stabil, AN-stabil, B-stabil und algebraisch stabil ist. Allerdings sind die Voraussetzungen der starken A-Stabilität und der L-Stabilität nicht erfüllt. Anschließend wurde der Algorithmus an einem einfachen Testproblem, sowie an einer Variante des Broadwell-Modells überprüft. Im letzten Kapitel wurde mit einem adaptiven Verfahren noch eine Möglichkeit angegeben, den lokalen Diskretisierungsfehler mithilfe eines Kontrollverfahrens abschätzen zu können. Die im Unterkapitel 5.3 angegebenen Eigenschaften der Funktion J stimmen mit denen des Kollisionsoperators des allgemeinen diskreten Geschwindigkeitsmodells überein, wobei dieser parallel ausgewertet wird. Aus diesem Grund eignet sich der Algorithmus zur numerischen Lösung der Standardform des diskreten, linearisierten Geschwindigkeitsmodells der Boltzmanngleichung. Aufgrund der Stabilitätseigenschaften des impliziten Runge-Kutta-Verfahrens, lässt dieses Verfahren eine größere Schrittweite zur Berechnung der Lösung zu. Dies führt letztendlich zu einer schnelleren Berechnung der Differentialgleichungen bzw. bietet es die Möglichkeit bei komplexeren Modellen überhaupt zu einer Lösung zu gelangen.


Brechtken, Stefan
Modellierung der Boltzmanngleichung auf diskreten Geschwindigkeitsgittern, numerische Umsetzung und Parallelisierung mithilfe von CUDA. - 116 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2010

Im ersten Teil dieser Arbeit wurden die wichtigsten Eigenschaften der Boltzmanngleichung zusammengetragen. Daraufhin wurde die Boltzmanngleichung auf einem diskreten Geschwindigkeitsgitter modelliert und gezeigt, dass die modellierte Gleichung die gleichen Eigenschaften besitzt wie die originale Gleichung. In der zweiten Hälfte entwickelten wir einfache Algorithmen um die modellierte (diskrete) Boltzmanngleichung numerisch zu lösen. Diese Algorithmen wurden in C++ zur Berechnung auf einem CPU und parallelisiert in CUDA zur Berechnung auf einem GPU umgesetzt. Abschließend wurden einige Modellprobleme numerisch mithilfe der beiden Implementierungen gelöst und überprüft, ob eine parallelisierte Implementierung dieses Problems auf einem GPU sinnvoll ist.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/644367660brech.txt
Kaufmann, Julia
Iterationen hoher Ordnung - von Newton bis zur Gegenwart. - 50 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2009

In dieser Arbeit geht es um die näherungsweise Bestimmung von nichtlinearen skalaren Gleichungen mit festem Parameterwert a. Es wurde untersucht, ob die quadratische Konvergenz des Newtonverfahrens auf eine beliebig hohe Konvergenzordnung ausgeweitet werden kann. Dies wurde an einigen Beispielen in Maple untersucht.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/612037096kaufm.txt
Xie, Yang
Numerische Verfolgung von Gleichgewichtslagen dynamischer Systeme - Stabilitätsanalyse und Lösungsdiagramme mit praktischen Anwendungen. - Online-Ressource (PDF-Datei: 98 S., 1,29 MB)
Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2009

Durch die Einstellung der Parameter des Programms, kann man selbst wählen, wie genau und wie effektiv die Kurven bestimmt werden sollen. An verschiedenen Beispielen wurden die Einstellungsmöglichkeiten der Parameter getestet, um eine Stabilität im Programm festzulegen.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/610165062xie.txt
Guo, Suqing
Numerische Verfahren für lineare Advektionsgleichung. - 85 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2009

Meine Diplomarbeit beschreibt die numerische Verfahren für die lineare Advektionsgleichungen. Die linearen Advektionsgleichungen sind spezielle partielle Differentialgleichungen. Mit der verschiedene numerische Verfahren kann man die Nährungswert von den liearen Advektionsgleichung bestimmen. Die verschiedene Verfahren haben verschiedene Eigenschaften, z.B Konvergent, Stabilität, CFL-Bedingung usw. Wenn ein numerische Verfahren Konsistent und Stabilität ist, ist das Verfahren Konvergent. Für mehrer Dimensionen kann man durch spezielle numerische Verfahren anwenden, z.B. Taylorreihen-Verfahren, Charaktristiken-Verfahren und Operator-Splitting-Verfahren.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/610160265guo.txt
Hartwig, Andreas
Numerische Approximation und Visualisierung periodischer und quasiperiodischer Lösungen dynamischer Systeme mittels Fouriermethoden. - 106 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2009

Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Approximation von periodischen und quasiperiodischen Lösungen dynamischer Systeme. Dazu wird die sogenannte Spektralmethode verwendet. Im Falle von periodisch und quasiperodische erregten Systemen wird ein Stabilitätskriterium hergeleitet. Desweiteren wird in einem kleinen Tutorial erklärt, wie man in MATLAB mit Hilfe des Werkzeugs GUIDE grafische Benutzeroberflächen (kurz GUI) entwickeln kann.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/604706685hartw.txt
Engert, Sonja
Vergleich numerischer Verfahren zur Berechnung des LCE-Spektrums parameterabhängiger zeitkontinuierlicher dynamischer Systeme. - 82 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2009

Dynamische Systeme sind ein wesentlicher Bestandteil zur Beschreibung zeitabhängiger Prozesse. Da allerdings die quantitative Analyse dynamischer Systeme eien sehr komplexe Problematik ist, wurden, um diesen Sachverhalt zu vereinfachen, gewisse gemittelte größen, die sogenannten Lyapunov-Exponenten eingeführt. Diese sind ein maß dafür, wie stark sich zwei benachbarte Trajektorien im Verlauf des dynamischen Systems einander annähern oder voneinander entfernen. Die Menge aller Lyapunov-Exponenten eines Systems nennt man das LCE-Spektrum. Es dient der Klassifikation der verschiedenen Attraktortypen und des Chaos. Im Rahmen dieser Arbeit wurden drei numerische Verfahren zur Bestimmung des LCE-Spektrums aufbereitet, praktisch in Matlab umgesetzt und miteinander verglichen. Die in dieser Arbeit vorgestellten Berechnungsverfahren basieren auf der Gram-Schmidt-Orthogonalisierung, der Singulärwertzerlegung und der QR-Zerlegung. Für diese Verfahren werden Möglichkeiten zur Bestimmung einer geeigneten Anzahl an Iterationsschritten und einer günstigen Integrationsschrittweite vorgestellt, die auch als Ansatzpunkt für die Vergleiche verwendet werden.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/601821467enger.txt