Entwicklung und Anwendung neuer Vorwärtslösungen in der Lorentzkraft‐Wirbelstromprüfung

Die Erkennung und Bewertung von Fehlern in festen leitfähigen Materialien ist für die Qualitätssicherung wichtig. Die zerstörungsfreie Werkstoffprüfung ist ein in der Metallindustrie weitverbreitetes Instrument zur Qualitätskontrolle von elektrisch leitfähigen Materialien. Eine der amhäufigsten eingesetzten Techniken in der zerstörungsfreien Werkstoffprüfung ist dieWirbelstromprüfung. Hier erzeugt ein Wechselstrom eine zeitvariable magnetische Flussdichte, diegemäß der Faradayschen elektromagnetischen Induktion Strom in einem elektrischen Leiterinduziert. Schwankungen der elektrischen Leitfähigkeit innerhalb eines Prüfobjektes oder dasVorhandensein von Defekten führen zu Veränderungen der Wirbelströme und damit zu einerÄnderung der Impedanz der Spule. Durch die Messung dieser Impedanz kann ein Fehler erkanntwerden. Aufgrund des Skin‐Effekts beschränkt sich die Wirbelstromprüfung jedoch aufOberflächenrisse und oberflächennahe Risse.Mit dem Ziel, die Tiefe der Prüfung in leitfähigen Materialien zu erhöhen, wurde die Lorentzkraft‐Wirbelstromprüfung eingeführt [1]. Eine elektromotorische Kraft wird dynamisch in den Prüfkörpereingebracht, eine Relativbewegung zwischen einem elektrisch leitenden Prüfkörper und einemPermanentmagneten angewendet wird, Abb. 1.

Die elektromotorische Kraft führt zu induzierten Wirbelströmen, die dem Magnetfeld des Permanentmagneten entgegenwirken. Diese Wechselwirkung führt zu Lorentzkräften, die an Kraftsensoren gemessen werden, die am Permanentmagneten montiert sind. Ein Defekt, der im leitenden Material vorhanden ist, oder gar eine leitende Inhomogenität stören die Wirbelstromverteilung im Material und erzeugen eine Störung des Lorentzkraftsignals. Anhand der Störkraftdaten können die Defekteigenschaften bestimmt werden. Um die Defekteigenschaften zu finden, muss das inverse Problem gelöst werden. Die Lösung eines inversen Problems erfordert die Lösung eines Vorwärtsproblems, das hauptsächlichdie Berechnung des induzierten Wirbelstromfeldes beinhaltet. In den letzten zwei Jahrzehnten hat sich die Finite‐Elemente‐Methode (FEM) als sehr leistungsfähigesnumerisches Werkzeug zur Bestimmung von Wirbelstromfeldern in festen leitenden Materialien etabliert. Der Einsatz der FEM‐Lösung erfordert jedoch die Diskretisierung des gesamten Volumenleiters und ist daher rechenintensiv. Hochwertige Netze werden benötigt, um netzbezogene Artefakte bei der Rekonstruktion von Defekten zu vermeiden. Darüber hinaus ist bei Problemen mit elektromagnetischen Feldern, die bewegliche Leiter beinhalten, eine erneute Vernetzung erforderlich. Außerdem erfordert die FEM eine numerische Integration, die eine dominante Aufgabe im Berechnungsprozess ist. All dies führt zu komplexen und nicht flexiblen Codes.Wir haben die Boundary Element Source Method (BESM) [2] für die schnelle Berechnung der Geschwindigkeit induzierter Wirbelströme vorgeschlagen, die auf der Bestimmung der Oberflächenladungen basiert, die an allen Oberflächen entstehen, wo sich die elektrische Leitfähigkeit des Materials ändert. Dieses Verfahren beinhaltet keine Annahmen über den Wirbelstromfluss und kann zur Bestimmung der induzierten Wirbelstromverteilung in festenleitenden Materialien mit Defekten jeglicher Leitfähigkeit verwendet werden. Mehrere Defekte können ebenfalls berücksichtigt werden, wobei jeder Defekt seine eigene Leitfähigkeit aufweisen kann. Position und Ausrichtung eines Defekts innerhalb einer Probe haben keinen Einfluss auf die Anwendung dieser Methode. Die BESM beinhaltet nicht die Schwierigkeiten der numerischen Integration. Die Genauigkeit des Verfahrens wird durch den Vergleich der Ergebnisse mit den Lösungen aus einem Finite‐Elemente‐Modell überprüft. Die normierten mittleren quadratischen Abweichungen der durch BESM erhaltenen Wirbelstromprofile in Bezug auf die an 13237 Punkten im Volumen des Leiters berechnete Referenz‐FEM‐Lösung sind 0,37 %, 0,29 % und 2,4 % für die x‐, y und z‐Komponenten der Wirbelströme. Die sich daraus ergebende Lorentzkraft mittels BESM, stimmt mit der FEM‐Lösung sehr gur überein, Abb. 2.

Der vorgeschlagene BESM‐Ansatz erweist sich als einfach, solide und rechengenau. Um eine Netzgenerierung für die Berechnung von geschwindigkeitsinduzierten Wirbelströmen in leitfähigen Materialien zu vermeiden, haben wir eine netzfreie Methode der Fundamental Solutions(MFS) [3] vorgeschlagen. Die Grundidee der MFS ist es, die Lösung in Form einer Reihe von fundamentalen Lösungen zu approximieren, indem fiktive Punktquellen außerhalb des Bereichs platziert werden, in dem das Wirbelstromfeld berechnet wird, und geeignete Randbedingungen an einer Reihe von Punkten an der Grenze des Bereichs erfüllt werden. Die netzfreie Eigenschaft macht die MFS sehr attraktiv für unregelmäßige Geometrien und inverse Verfahren. Der Algorithmus eliminiert die Notwendigkeit, Singularitäten zu behandeln. Da die numerische Auswertung von Integralen für die Matrixkoeffizienten entfällt, reduziert sich der Rechenaufwand. Das Verfahren ist einfach zu implementieren. Unsere numerischen Experimente zeigen, dass die MFS hochpräzise Lösungen liefern kann. Wir erhalten mittlere normierte quadratische Mittelwertfehler unter 1 % für fehlerfreie Prüfteile und Prüfteile mit einer Fehlstelle. FEM‐ und MFS‐Modelle enthalten 936993 bzw.17000 Elemente. Der von der FEM benötigte Speicher von 13,27 GB wird im MFS‐Modell auf 6 GB reduziert. Das gesamte Wirbelstromprofil, das durch die mesh‐freie MFS erhalten wird, ist in Abb. 3 dargestellt. Ein letzter Schritt des Vorwärtsproblems im Rahmen der Lorentzkraft‐Wirbelstrom‐Prüfung ist die Berechnung der auf den Permanentmagneten wirkenden Lorentzkraft. Dies geschieht üblicherweise durch die Berechnung der auf den Leiter wirkenden Kraft unter Verwendung des dreifachen Integrals über das gesamte Volumen der Prüfteils. Alle vorgeschlagenen Methoden [1]‐[3] erfordern eine Diskretisierung des gesamten Volumens zur Lösung des dreifachen Integrals. Da man das Integral für jede spezifische Position eines beweglichen Permanentmagneten auswerten muss, ist dieses Verfahren besonders bei großen Leitern sehr zeitaufwendig. Eine Möglichkeit, die Notwendigkeit der Volumendiskretisierung zu vermeiden, ist der Übergang von einem Volumen‐ zu einem Oberflächenintegral. Diese Methode wird als Maxwell‐Stresstensoransatz bezeichnet. In diesem Ansatz besteht jedoch das Problem der Auswahl einer Integrationsfläche. Wenn die Integrationsfläche in der Nähe des Objekts gewählt wird, erleben Funktionen, die integrierte Funktionen sind, Diskontinuitäten aufgrund ihrer Definition basierend auf dem elektrischen Feld. Dies impliziert eine große Anfälligkeit der Kraftberechnungen gegenüber der Felddiskontinuität an der Grenze. Betrachtet man dagegen eine vom Objekt weit entfernte Integrationsfläche, so wird das Feld durch größere Fehler und numerisches Rauschen beeinflusst. Daher verwendet man in der Regel mehrere Integrationsoberflächen und mittelt die Ergebnisse, was einen größeren Aufwand bedeutet als die Verwendung einer einzigen Oberfläche. Um die Auswirkungen dieser Felddiskontinuität auf die Stabilität der Ergebnisse zu vermeiden, haben wir neue Vektorfunktionen abgeleitet, die auf dem elektrischen Skalarpotential statt auf dem elektrischen Feld basieren. Das elektrische Skalarpotential kann völlig netzunabhängig bestimmt werden [3]. Mit dieser neuartigen Substitutionsmethode wandeln wir das dreifache Integral über das Volumen des Leiters in ein doppeltes Integral über seiner Oberfläche um, wobei die sub‐integralen Funktionen durch die verschiedenen Abteilungen des Systems kontinuierlich sind [4]. Mit diesen Funktionen berechnen wir die Lorentzkraft mittels einer Integration über der physikalischen Oberfläche des Leiters. Der Übergang von einem Volumen‐ zu einem Oberflächenintegral profitiert stark von einer wesentlich reduzierten Anzahl von Diskretisierungselementen und trägt somit zur Verkürzung der Rechenzeit bei. Im Rahmen der Kraftberechnung ist die Bestimmung der Wirbelstromverteilung im Leiter nicht erforderlich. Das Verfahren wird als Lorentz Force Surface Integration Method (LFSIM) bezeichnet. Wir veranschaulichen unseren Ansatz an einem quaderförmigen Prüfteil und einem magnetischen Dipol, wobei wir normierte quadratische Mittelwertfehler unter 0,6 % in Bezug auf eine Referenzlösung mit endlichen Elementen erhalten.

Alle entwickelten Methoden können mit einer beliebigen Geometrie der Prüfteile und einer beliebigen Ausrichtung des Magnetisierungsvektors umgehen.

Unterstützt wurde die Arbeit durch das DFG‐Stipendium PE 2389 und das Postdoc‐Stipendienprogramm zur Förderung der wissenschaftlichen Arbeit von Frauen an der TU Ilmenau.  

[1] B. Petković, J. Haueisen, M. Zec, R. P. Uhlig, H. Brauer, and M. Ziolkowski, "Lorentz force evaluation: Anew approximation method for defect reconstruction," NDT&E Int., vol. 59, pp. 57-67, Oct. 2013.

[2] B. Petković, K. Weise, and J. Haueisen, "Computation of Lorentz force and 3-D eddy current distribution intranslatory moving conductors in the field of a permanent magnet," IEEE Trans. Magn., vol. 53, Art. no.7000109, Feb. 2017.

[3] B. Petković, E.-M. Dölker, R. Schmidt, and J. Haueisen, "Method of fundamental solutions applied to 3-Dvelocity induced eddy current problems," IEEE Trans. Magn., vol. 54, no. 8, 2018, Art. ID 6201610.

[4] B. Petković, E.-M. Dölker, R. Schmidt, H. Toepfer, and J. Haueisen, "Lorentz force surface integrationmethod: calculation of Lorentz force by means of surface integrals," submitted to IEEE Trans. Magn.