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Analysis und Systemtheorie


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Abschlussarbeiten

Studienabschlussarbeiten seit 1990

Anzahl der Treffer: 30
Erstellt: Mon, 11 Dec 2017 06:47:29 +0100 in 0.3471 sec


Sauerteig, Philipp
Optimal control of differential-algebraic systems via Lur'e equations. - Ilmenau. - 107 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit, 2017

Diese Arbeit ist eine ausführliche Aufbereitung des Papers "The Kalman-Yakubovich-Popov inequality for differential-algebraic systems" von Timo Reis, Olaf Rendel und Matthias Voigt aus dem Jahre 2015. Mit diesen Resultaten ist es unser Ziel, das linear-quadratische Optimalsteuerungsproblem mit differentiell-algebraischen Nebenbedingungen handhabbar zu machen. Dem Vorgehen liegt das Kalman-Yakubovich-Popov Lemma zugrunde, welches die positive Semidefinitheit der Popov-Funktion auf der Imaginärachse mit der Lösbarkeit einer linearen Matrixungleichung verknüpft. Das Auffinden spezieller Lösungen führt zum Konzept der Lur'e Gleichung, welche wiederum mithilfe von abnehmenden Unterräumen gewisser Matrixbüschel gelöst werden kann. Diese Lösungen ermöglichen es, sowohl den optimalen Kostenwert zu bestimmen als auch die Lösung des Optimalsteuerungsproblems zu charakterisieren.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/1000916448sauer.txt
Höhler, Karen
Optimal control of differential-algebraic systems via Lur'e equations. - Ilmenau. - 107 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit, 2017

Diese Arbeit ist eine ausführliche Aufbereitung des Papers "The Kalman-Yakubovich-Popov inequality for differential-algebraic systems" von Timo Reis, Olaf Rendel und Matthias Voigt aus dem Jahre 2015. Mit diesen Resultaten ist es unser Ziel, das linear-quadratische Optimalsteuerungsproblem mit differentiell-algebraischen Nebenbedingungen handhabbar zu machen. Dem Vorgehen liegt das Kalman-Yakubovich-Popov Lemma zugrunde, welches die positive Semidefinitheit der Popov-Funktion auf der Imaginärachse mit der Lösbarkeit einer linearen Matrixungleichung verknüpft. Das Auffinden spezieller Lösungen führt zum Konzept der Lur'e Gleichung, welche wiederum mithilfe von abnehmenden Unterräumen gewisser Matrixbüschel gelöst werden kann. Diese Lösungen ermöglichen es, sowohl den optimalen Kostenwert zu bestimmen als auch die Lösung des Optimalsteuerungsproblems zu charakterisieren.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/898802679hoehl.txt
Ehrlich, Daniel
Variationsprinzipien in der Mechanik. - Ilmenau. - 41 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit, 2017

Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem sogenannten Variationsproblem. Dies ist ein unendlich dimensionales Optimierungsproblem, welches in der theoretischen Mechanik von großer Relevanz ist. Die zentralen Aussagen dieser Arbeit besagen, dass eine Lösung des Variationsproblems notwendigerweise die Euler-Lagrange-Gleichung sowie die Hamilton-Gleichung erfüllen muss. Dazu wird das Variationsproblem als Verallgemeinerung eines endlich dimensionalen Optimierungsproblems betrachtet. Das Verschwinden der sogenannten ersten Variation einer Lösung des Variationsproblems stellt, ähnlich dem Verschwinden der Richtungsableitung im endlich Dimensionalen, ein notwendiges Optimalitätskriterium dar. Zusammen mit einer Variante des Fundamentallemmas der Variationsrechnung wird damit die Euler-Lagrange-Gleichung hergeleitet. Mithilfe der Legendre-Transformation wird die Äquivalenz von Euler-Lagrange- und Hamilton-Gleichung gezeigt, unter entsprechenden Voraussetzungen, die die Wohldefiniertheit der Legendre-Transformation gewährleisten. Ein weiterer Bestandteil der Arbeit ist die Lösung des Kettenproblems, eines klassischen Problems der Variationsrechnung, unter Zuhilfenahme der Euler-Lagrange-Gleichung und der ihr verwandten Dubois-Reymond-Gleichung.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/898725348ehrli.txt
Witschel, Jonas
Optimal control of linear differential-algebraic equations. - Ilmenau. - 47 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit, 2017

Das Thema der Masterarbeit ist die linear-quadratische Optimalsteuerung zeitvarianter und zeitinvarianter differentiell-algebraischer Gleichungen (DAEs). Die Arbeit besteht aus zwei Hauptteilen: Im ersten Teil betrachten wir zeitvariante DAEs. Wir wiederholen die Lösungstheorie von DAEs und definieren das von uns betrachtete Optimalsteuerungsproblem. Anschließend zeigen wir, dass der Optimalwert eine quadratische Funktion ist und das Bellmansche Optimalitätsprinzip erfüllt. Mithilfe dieser Ergebnisse können wir den Optimalwert als extremale Lösung der Kalman-Yakubovich-Popov-Ungleichung charakterisieren. Im zweiten Teil widmen wir uns zeitinvarianten regulären DAEs. Wir leiten zunächst eine Differenzierbarkeitsbedingung her, die der Steuereingang des Systems erfüllen muss. Mithilfe dieser Resultate führen wir ein erweitertes System ein, das gewisse Ableitungen des Eingangs als Systemzustände enthält. Für das so erweiterte System kann ein zum Optimalsteuerungsproblem des originalen Systems äquivalentes Optimalsteuerungsproblem definiert werden. Dieses lässt sich mithilfe der Theorie der Optimalsteuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen leicht lösen. Das ermöglicht uns, die optimale Steuerung der ursprünglichen DAE explizit anzugeben. Weiterhin lässt sich diese auch als Zustandsrückführung implementieren.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/881843539witsc.txt
Dennstädt, Dario
Algebraische Theorie linearer zeitvarianter Systeme. - 60 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit, 2016

Die Untersuchung linearer zeitvarianter Differentialgleichungen ist von grundlegendem Interesse der Systemtheorie. In ihrem Artikel "Weak exponential stability of linear time-varying differential behaviors" von 2015 stellten Bourlès, Marinescu und Oberst eine neue Herangehensweise vor, solche Systeme mittels algebraischer Methoden zu untersuchen. Dabei wird die Betrachtung der Differentialgleichung auf die Untersuchung eines Moduls über einem geeigneten Schiefpolynomring reduziert. Die vorliegende Arbeit greift diesen Ansatz auf und es wird gezeigt, wie sich die bekannten systemtheoretischen Konzepte der Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit und Systemäquivalenz mittels dieses modultheoretischen Zugangs definieren und algebraisch charakterisieren lassen.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/876585942denns.txt
Scholz, Stephan
Direkte und inverse Streuprobleme in einem Mehrschichtenmodell. - 57 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit, 2016

In dieser Arbeit werden Reflexion und Brechung von seismischen Wellen an Schichtgrenzen innerhalb eines Mehrschichtenmodells betrachtet. Grundlage dessen bildet die Publikation von Leyds und Fokkema (Leyds, F.B. and Fokkema, J.T., 1988. A discrete-time inverse scattering algorithm for plane wave incidence in a one-dimensional inhomogeneous acoustic medium.), welche mathematisch aufgearbeitet und um einige Punkte erweitert wurde. Die Ziele dieser Arbeit gliedern sich dabei in die Lösung des direkten und inversen Problems. Bei ersterem sollen bei einem bekannten Schichtenmodell der Verlauf von Druckwellen konstruiert werden. Bei der Lösung des inversen Problems wird die Struktur des Schichtenmodells, insbesondere die akustische Admittanz jeder Schicht, bei bekannten Wellen an der Oberfläche bestimmt. Im letzten Teil dieser Arbeit wird der Fokus auf den Spezialfall der überkritschen Brechung gelegt. Dabei treten Effekte auf, welche die Lösung des direkten und inversen Problems beeinträchtigen.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/874948495schol.txt
Rußwurm, Franz
Diskontierte optimale Steuerung : eine Anwendung in der Lagerhaltung. - 63 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit, 2016

In dieser Arbeit wird, nach einführenden Betrachtungen über optimale Steuerung, das Lagerhaltungsproblem ausführlich diskutiert und untersucht. Dies erfolgt zunächst mit Hilfe von Pontryagins Maximumprinzip und später mit Hilfe von Diskretisierung. Zum Abschluss werden die Ergebnisse beider Methoden verglichen.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/866559337russw.txt
Joost, Niels Gerrit
Normalformen und Störungen niedrigen Ranges von Matrixbüscheln. - 46 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit, 2016

In dieser Arbeit wird die Weierstraß-Form für Matrixbüschel vorgestellt, die, wie beispielsweise in neueren Veröffentlichungen [1] und [3], unter Zuhilfenahme der in [12] erstmals vorgestellten Wong Sequenzen, bewiesen wird. Einerseits liefern die Wong Sequenzen, im Gegensatz zu dem Beweis aus [7], eine geometrische Anschauung. Andererseits lässt sich ohne größeren Aufwand die Quasi-Weierstraß-Form, eine Normalform für Matrixbüschel auf beliebigen Körpern, ableiten. Des Weiteren werden Störungen von Matrixbüscheln untersucht und dabei anhand von Beispielen ein Einstieg in dieses aktuelle Forschungsthema mit zahlreichen Veröffentlichungen, wie zum Beispiel in [5], [11], [10], ermöglicht. Bereits in den 1960er Jahren verfasste F. R. Gantmacher sein Standardwerk über Matrizentheorie [7], in dem er sich unter Anderem mit dem verallgemeinerten Eigenwertproblem auseinandersetzte. Nach Gantmacher [7, S. 373]: "Ein Kriterium für die strenge Äquivalenz sowie die kanonische Form regulärer Matrizenbüschel wurde im Jahr 1867 von K. Weierstraß aufgestellt; die Grundlage bildete seine Elementarteilertheorie [...] Analoge Fragen für singuläre Büschel wurden später (im Jahr 1890) durch die Untersuchungen von L. Kronecker gelöst." Aufbauend auf seinen Leistungen wurden in der Folgezeit weiterführende Arbeiten zum Thema Matrixpolynome [8], im Speziellen Matrixbüschel, erarbeitet. Ebenfalls in den 1960er Jahren entwickelte vor allem G. H. Golub die ersten stabilen Algorithmen, die eine Transformation größerer Matrizen ermöglichen. Die Ergebnisse seiner Arbeit, welche in dem Buch Matrix Computations [9] gesammelt sind, stellen bis heute die Grundlage für viele Forschungsarbeiten dar. Ziel aktueller Untersuchungen ist vor allem die Suche nach dem singulären Matrixbüschel mit dem geringsten Abstand zu einem gegebenen regulären Matrixbüschel [5], wobei eine generelle Problemlösung noch außer Reichweite liegt.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/861364384joost.txt
Sauerteig, Philipp
Greens Satz als Alternative zum Maximumprinzip. - 46 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit, 2016

Inhalt dieser Bachelorarbeit sind Optimalsteuerungsprobleme und mögliche Lösungsansätze. Es wird ein Problem aus der Biologie mit ökonomischer Anwendung betrachtet und versucht, es zum einen mit dem Maximumprinzip von Pontryagin und zum anderen mithilfe des Integralsatzes von Green zu lösen. Das zu untersuchende Optimalsteuerungsproblem betrifft die Fischzucht. Wie in den Wirtschaftswissenschaften üblich, geht es darum, den Gewinn zu maximieren. Dies soll durch einen optimalen Befischungsplan realisiert werden. Um diesen Plan zu bestimmen, wird ein passendes mathematisches Modell benötigt, auf dem die Entscheidungsfindung aufbaut. Es handelt sich also um eine Aufgabenstellung aus dem Bereich Operations Research. Beiden Lösungswegen wird zunächst ein Gerüst aus mathematischen Definitionen und Sätzen zugrunde gelegt. Darauf aufbauend wird das jeweilige Vorgehen Schritt für Schritt erklärt. Ziel ist es, am Ende der Untersuchungen eine/die optimale Lösung direkt anzugeben. Dieser Bachelorarbeit liegen weitere Arbeiten von unterschiedlichen Autoren zugrunde. Die Aufgabe besteht zunächst darin, die Vorgehensweisen nachzuvollziehen. Dazu müssen nicht durchgeführte Nebenrechnungen eigenständig erarbeitet werden. Dabei wird vor allem auf mathematische Korrektheit geachtet. Darüber hinaus werden an gegebener Stelle gänzlich eigene Lösungsansätze verfolgt.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/856294837sauer.txt
Höhler, Karen
Pontryagins Maximumprinzip und dessen Anwendung im Supply Chain Management. - 64 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2015

In dieser Bachelorarbeit wird ein Optimalsteuerungsproblem aus dem Supply Chain Management betrachtet und mit Hilfe des Pontryagin'schen Maximumprinzips analytisch gelöst. Das Anwendungsmodell beschreibt die Zusammenarbeit eines Produzenten und seines Zulieferers. Hierbei wird untersucht, ob Maßnahmen zur Lieferantenentwicklung zu Gewinnsteigerungen aus Perspektive der einzelnen Marktteilnehmer und/oder innerhalb der gesamten Wertschöpfungskette führen können. Zur Beantwortung dieser Fragestellung werden mehrere Optimalsteuerungsprobleme formuliert und gelöst. Insbesondere wird ein Faktor zur Aufteilung der Kosten für die Lieferantenentwicklung so bestimmt, dass die Zusammenarbeit den aufsummierten Gewinn des Produzenten und des Zulieferers maximiert. Besonderer Wert wird dabei auf die ausführliche und mathematisch korrekte Darstellung des Lösungsweges gelegt. Im Anschluss erfolgt die ökonomische Interpretation, um Handlungsempfehlungen aus den Ergebnissen abzuleiten. Zur Lösungsbestimmung wird Pontryagins Maximumprinzip für feste Endzeiten und freie rechte Endbedingung angewendet. Dieses wird in einem vorangestellten Theorieteil ausgehend von Pontryagins Maximumprinzip für feste Endpunkte und freie Endzeit hergeleitet und angegeben.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/837664705hoehl.txt
Schmitz, Philipp
Zur WKB-Näherung für Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen einer komplexen Veränderlichen. - 72 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2015

In der vorliegenden Arbeit wird für Lösungen gewöhnlicher, linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung der Form $f''=(p+q)f$ das Wachstumsverhalten mit Hilfe der WKB-Näherung untersucht. Neben Problemen entlang der reellen Achse werden insbesondere Differentialgleichungen innerhalb einfach zusammenhängender Gebiete betrachtet. Ein Schwerpunkt ist die Konstruktion von Fehlerschranken für die WKB-Näherungen. Dieses Problem wird auf eine Volterra-Integralgleichung zurückgeführt, wobei in dieser Arbeit eine Aussage über das Wachstumsverhalten von Lösungen bewiesen wird. Die Resultate der WKB-Methode werden für den Fall polynomieller Koeffizienten angewendet. Dabei werden Lösungen konstruiert, die in bestimmten Bereichen (Stokes wedges und Stokes lines) der komplexen Zahlenebene mit exponentieller Geschwindigkeit wachsen beziehungsweise gegen Null konvergieren. Dieser Fall spielt eine herausragende Rolle in der sogenannten $\PT$-Quantenmechanik.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/836032527schmi.txt
Abdul Hai, Ziad
Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit komplexen Koeffizienten. - 39 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2015

Ein Sturm-Liouville-Problem besteht ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form $$-(p(x)y'(x))'+(q(x)-\lambda w(x))y(x)=0\quad \text{für } -\infty \le a<x<b\le \infty,$$ für $\lambda\in \mathbb{C}$ mit Anfangswerten $y(x_0)=y_0, \quad y'(x_0)=y_1.$. Hier sind die Funktionen $p,q:(a,b)\mapsto \mathbb{C}$ und $w:(a,b)\mapsto \mathbb{R}$ meßbar und $\frac{1}{p},q,w$ sind lokal integrierbar. Zudem gelte für fast alle $x\in (a,b)$, dass $p(x)\neq 0$ und $r(x)>0$. Die Differentialgleichung besitzt zwei linear unabhängige Lösungen. Diese Lösungen müssen aber nicht unbedingt im Hilbertraum $$L^2(a,b,w\,dx):=\bigg\{u:(a,b)\mapsto \mathbb{C}:\int_{a}^{b}w|u|^2\,dx<\infty\bigg\}$$ liegen. Sind $p$ und $q$ reellwertige Funktionen, so besagt ein berühmtes Ergebnis von H. Weyl, dass entweder alle Lösungen des Eigenwertproblems für jedes $\lambda\in\mathbb{C}$ im Hilbertraum $L^2(a,b,w\,dx)$ liegen oder nur eine Lösung (und ihre Vielfachen) in $L^2(a,b,w\,dx)$ liegen. Liegen alle Lösungen im Hilbertraum $L^2(a,b,w\,dx)$, spricht man vom Grenzkreisfall anderenfalls vom Grenzpunktfall. In dieser Masterarbeit werden einige der Ergebnisse der Arbeit "Secondary conditions for linear differential operators of the second order" von A. R. Sims (Journal of Mathematics and Mechanics, 6 (1957), 247-285) vorgestellt. A. R. Sims erweiterte die Grenzpunkt-Grenzkreis-Klassifikation von Weyl auf komplexwertige Koeffizienten im Fall $p=w\equiv 1$. In dieser Klassifikation einen Fall mehr, als in der klassischen Klassifikation von H. Weyl für reelle Koeffizienten $p$ und $q$. Außerdem werden Eigenschaften der Weylschen $M$-Funktion untersucht und ein Lösungsoperator $R_{\lambda}$ erklärt. In den Fällen, in denen alle Lösungen in $L^2[a,b)$ liegen, ist dieser Lösungsoperator ein Hilbert-Schmidt Operator. Damit besteht das Spektrum in diesen Fällen nur aus isolierten Eigenwerten mit endlicher algebraischer Vielfachheit, welche in der unteren Halbebene liegen.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/834513382abdul.txt
Büttner, Florian
Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit komplexwertigen Koeffizienten. - 46 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2015

Diese Masterarbeit befasst sich mit Differentialausdrücken zweiter Ordnung der Form $\tau[y]=\frac{1}{w}[-(py')'+qy]$. Hier sind $p^{-1}$, $q$ und $w$ lokal summierbare Funktionen, welche auf einem halboffenen, nicht notwendigerweise beschränktem, Intervall [a,b) erklärt sind. Das dazugehörige Eigenwertproblem $\tau[y]=\lambda y$ heißt Sturm-Liouville'sches Eigenwertproblem. Diese Differentialgleichung besitzt zwei linear unabhängige Lösungen, die aber nicht unbedingt im Hilbertraum $$L^2(a,b,w\, dx):= \left{u:(a,b)\rightarrow \mathbb{C}:\int_a^bw|u|^2\, dx <\infty \right}$$ liegen. Ein berühmtes Ergebnis von H. Weyl besagt, dass entweder für jedes $\lambda$ alle Lösungen des Eigenwertproblems in $L^2(a,b,w\, dx$ liegen oder nur eine Lösung (und ihre Vielfache) in $L^2(a,b,w\, dx$ liegt. Im ersten Fall spricht man vom Grenzkreisfall, sonst vom Grenzpunktfall. Es werden die Ergebnisse der Arbeit "On the spectrum of second-order differential operators with complex coefficients" von B.M. Brown, D.K.R. McCormack, W.D. Evans und M. Plum (Proc. R. Soc. Lond. 455 (1999), 1235-1257) vorgestellt. Diese behandelt das Sturm-Liouville'sche Eigenwertproblem mit komplexwertigen $p$ und $q$. Auch in diesem Fall lassen sich die Ergebnisse von H.Weyl zumindest teilweise übertragen. Die Charakterisierung führt dann auf zwei Grenzpunktfälle und einen Grenzkreisfall. Außerdem werden Eigenschaften der Weylschen $m$-Funktion untersucht und eine Operatorrealisierung von $\tau$ angegeben. Für diesen Operator bestimmen wir Mengen, in denen das Spektrum des Operators nur aus Eigenwerten mit endlicher algebraischer Vielfachheit besteht.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/826601596buett.txt
Martens, Björn
Zur Stabilisierbarkeit von linearen zeitvarianten diskreten Systemen. - 40 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2014

In dieser Masterarbeit wird das Problem der Stabilisierbarkeit durch lineares Feedback für lineare zeitvariante diskrete Systeme mit beschränkten Systemmatrizen untersucht. Es wird unter anderem gezeigt, dass vollständige Steuerbarkeit nach Null die Existenz eines linearen Feedbacks impliziert, so dass das geschlossene System asymptotisch stabil ist. Des Weiteren wird bewiesen, dass dem System durch geeignetes Feedback ein beliebiger Lyapunov-Exponent zugewiesen werden kann, wenn das System vollständig steuerbar nach Null ist. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Die Resultate wurden mit der Hilfe von zwei endlichen Kosten-Bedingungen gezeigt. Der Unterschied, ob das System asymptotisch oder gleichmäßig exponentiell stabilisierbar ist, liegt in der Frage, ob die endliche Kostenbedingung gleichmäßig in der Anfangszeit erfüllt ist oder nicht.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/799197041marte.txt
Gernandt, Hannes
Untersuchung von Quantengraphen mittels direkter Summen von Randtripeln. - 73 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2014

In der vorliegenden Arbeit werden Quantengraphen untersucht. Quantengraphen bestehen aus einer endlichen oder abzählbar unendlichen Eckenmenge, einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge von Kanten, welche die Ecken miteinander verbinden, einer Kantenlängenfunktion und Differentialausdrücken auf jeder Kante zusammen mit Vernüpfungs- und Randbedingungen an den Ecken. Zur Modellierung der Operatoren auf dem Graphen verwenden wir die direkte Summe von Hilberträumen und linearen Relationen sowie das aus der Erweiterungstheorie symmetrischer linearer Relationen bekannte Konzept der Randtripel. Genauer werden Kirchhoff-Erweiterungen und Punktinteraktionen untersucht. Zur Beschreibung dieser Erweiterungen benutzen wir Regularisierungstechniken für Randtripel in Verbindung mit Zwischenerweiterungen. Von besonderem Interesse ist hier der Fall, dass die Kantenlängen beliebig klein werden dürfen. In diesem Fall übertragen sich gewisse Eigenschaften von diskreten Laplace-Operatoren auf die von uns betrachteten Erweiterungen. Hiermit wird die Selbstadjungiertheit, die Halbbeschränktheit und das Spektrum von Punktinteraktionen auf Quantengraphen beschrieben.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/799196320gerna.txt
Dennstädt, Dario
Ein nichtlinearer Regler mit Zeitverzögerung. - 24 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2014

Mingxuan Sun stellte in seinem Manuskript "Convergence of incremental adaptive systems" ein Konzept für einen nichtlinearen Regler mit Zeitverzögerung vor. Diese Bachelorarbeit greift den grundlegenden Entwurf auf und gibt einen überarbeiteten Vorschlag wieder, der vorhandene mathematische Ungenauigkeiten im basierenden Manuskript auflöst. Als Erweiterung der Ideen wird abschließend der Aufbau des Reglers mit dem Konzept der Funnel-Regelung verbunden.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/798250976denns.txt
Schacht, Johanna Eleonore
Spektrum und quadratisch numerischer Wertebereich von Blockoperatormatrizen. - 36 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012

Eine wichtige Eigenschaft des quadratisch numerischen Wertebereichs ist die sogenannte Spektralinklusion. Das bedeutet, dass das Punktspektrum eines Operators in seinem quadratisch numerischen Wertebereich liegt und das Spektrum von im Abschluss enthalten ist. Diese Eigenschaft ist auch vom numerischen Wertebereich bekannt. Dabei bietet der quadratisch numerische Wertebereich im Allgemeinen eine genauere Abschätzung des Spektrums als der numerische Wertebereich. Generell gilt, dass der quadratisch numerische Wertebereich im numerischem Wertebereich enthalten ist. Dagegen gehen beim quadratisch numerischem Wertebereich im Vergleich zum numerischem Wertebereich Eigenschaften, wie Konvexität und Zusammenhang verloren. Stattdessen besteht der quadratisch numerische Wertebereich aus bis zu zwei Zusammenhangskomponenten. In dieser Arbeit geben wir einen eigenen Beweis für diese Eigenschaft des quadratisch numerischen Wertebereichs an. Die in dieser Arbeit vorgestellten Theoreme und Aussagen über den quadratisch numerischen Wertebereich entstammen zu einem großen Teil den Abschnitten 1.1, 1.2 und 1.3 aus dem Buch von Christiane Tretter: Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. Diese Abschnitte werden mit dieser Arbeit um eigene Beweise ergänzt. Außerdem werden Corollary 1.14 und Remark 1.3.5 aus diesem Buch korrigiert wiedergegeben und mit passenden Gegenbeispielen unterlegt.


Krannich, Cornelia
Selbstadjungierte Operatoren und Skalen von Hilberträumen. - 51 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012

Betrachtet man einen Hilbertraum $H$ und einen Operator $A:D(A)\to H$, so lässt sich mit Hilfe der Norm $\|x\|_{1/2}:=\|(I+A^{1/2})x\|, x\in D(A^{1/2})$ der Raum H_{1/2}:=(D(A^{1/2},\|.\|_{1/2)$ erklären. Dieses Verfahren lässt sich auf Operatoren verallgemeinern, für die nicht unbedingt eine Wurzel definiert ist. Dazu verwendet man die Tatsache, dass für dicht definierte, abgeschlossene Operatoren $A$ die Operatoren $I+AA^*$ und $I+A^*A$ selbstadjungiert sind. Die Potenzen dieser Operatoren und die zugehörigen Definitionsbereiche werden benutzt, um eine Skala von Hilberträumen einzuführen.


Schmitz, Philipp
Zur Selbstadjungiertheit regulärer Sturm-Liouville-Differentialoperatoren. - 45 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012

In vielen Bereichen der mathematischen Physik treten Sturm-Liouville-Differentialausdrücke im Zusammenhang mit Eigenwertproblemen auf. In dieser Arbeit werden daher, neben der Lösungstheorie solcher Differentialgleichungen, selbstadjungierte Realisierungen von Sturm-Liouville-Differentialausdrücken in geeigneten Hilberträumen sowie die Spektraleigenschaften dieser Realisierungen untersucht. Dabei beschränken sich die Betrachtungen im Wesentlichen auf den regulären Fall. Am Ende dieser Arbeit findet sich eine vollständige Beschreibung aller selbstadjungierten Realisierungen regulärer Sturm-Liouville-Differentialausdrücke.


Kreibich, Maria
Construction of codimension one relative homoclinic cycles. - 57 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2011

Zeitlich veränderliche Prozesse aus der Physik, der Chemie oder der Biologie werden mathematisch häufig durch (gewöhnliche) Differentialgleichungen beschrieben. Von wachsendem Interesse ist dabei das Studium heterokliner und homokliner Zykel, da diese als "Quelle" für nichttriviale Dynamik erkannt wurden. Diese Arbeit befasst sich damit, Beispiele für homokline Zykel zu konstruieren. Ein Orbit der eine Gleichgewichtslage mit sich selbst verbindet, heißt homokliner Orbit. Ein homokliner Zykel besteht aus mehreren homoklinen Orbits an die selbe Gleichgewichtslage. Speziell werden relative homokline Zykel der Kodimension-1 betrachtet, also homokline Zykel, die in einparametrigen Familien von Vektorfeldern auftauchen, die eine diskrete Symmetrie aufweisen. Die konstruierten Vektorfelder sind äquivariant bezüglich der Diedergruppe D_m, der Symmetriegruppe des regulären m-Ecks in der Ebene. Die homoklinen Orbits laufen tangential zu den führenden Richtungen einer hyperbolischen Gleichgewichtslage ein, wobei die führenden Eigenwerte reell sind. Desweiteren finden sich in dieser Arbeit auch Beispiele für robuste homokline Orbits.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/669825999kreib.txt
Vielitz, Martin
Nonreversible homoclinic snaking in R 3. - 77 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2010

Im Kontext gewöhnlicher Differentialgleichungen bezeichnet "Homoclinic Snaking" ein bestimmtes Fortsetzungsszenario homokliner Orbits in einer Umgebung eines heteroklinen Zykel zwischen einem Gleichgewicht und einem periodischen Orbit. Die betrachteten Differentialgleichungen beschreiben häufig Gleichgewichte partieller Differentialgleichungen und sind oftmals reversibel und Hamiltonisch - besitzen also eine spezielle aufgeprägte Struktur. - In der vorliegenden Diplomarbeit werden zweiparametrige Familien gewöhnlicher Differentialgleichungen im R 3 betrachtet, die weder reversibel noch Hamiltonisch sind. Es wird angenommen, dass ein heterokliner Zykel zwischen einem hyperbolischen Gleichgewicht E und einem hyperbolischen periodischen Orbit [gamma] existiert. Weiter werden Voraussetzungen über das Schnittverhalten der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit von E und [gamma] gemacht. Unter diesen Annahmen wird das Fortsetzungsverhalten von 1-homoklinen Orbits zu E (das sind Orbits, die einmal entlang des originalen Zykels laufen) analytisch untersucht. Für solche Orbits wird "Homoclinic Snaking" nachgewiesen. Dabei wird gezeigt, dass das "Snakingverhalten" durch die Bifurkationen der heteroklinen Verbindungen zwischen E und [gamma] bestimmt wird.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/631206078vieli.txt
Kreibich, Maria
Das Sil'nikov Problem für kontinuierliche und diskrete Systeme. - 40 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2010

Das Sil'nikov Problem (nach dem russischen Mathematiker L. P. Sil'nikov) bezeichnet ein speziell gestelltes Randwertproblem, welches ursprünglich benutzt wurde, um den Fluss eines Vektorfeldes (bzw. einer gewöhnlichen autonomen Differentialgleichung) in der Umgebung einer hyperbolischen Gleichgewichtslage zu beschreiben. Solche Betrachtungen finden u.a. Anwendung bei der Untersuchung des dynamischen Verhaltens in der Nähe von homoklinen Orbits und heteroklinen Zykeln. Ziel dieser Arbeit ist es, das Sil'nikov Problem für den kontinuierlichen Fall mit den existierenden Aussagen über Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung, sowie deren Glattheit und asymptotisches Verhalten für t gegen unendlich vorzustellen, und in analoger Weise auf diskrete dynamische Systeme zu übertragen.


Berger, Thomas
On stability of time-varying linear differential-algebraic equations. - 81 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2010

Differential-algebraische Gleichungen gewinnen in vielen technischen Gebieten, wie zum Beispiel der Elektrotechnik, immer mehr an Bedeutung. Da sie aber in den meisten Fällen nicht explizit lösbar sind, oder schwer handhabbare Lösungen besitzen, und die Lösungen auch nicht eindeutig sein müssen, konzentriert man sich auf qualitative Aussagen über das Systemverhalten. Die Stabilität linearer zeitvarianter differential-algebraischer Gleichungen der Form $E(t) \dot x = A(t)x + f(t)$ wird in dieser Arbeit studiert. Eine detailierte Untersuchung solcher Systeme ohne irgendwelche Einschränkungen scheint bisher nicht verfügbar zu sein. Ein zentrales Ziel dieser Arbeit ist es eine Verbindung zwischen dem Stabilitätsverhalten der Lösungen dieses Systems und dem Stabilitätsverhalten der trivialen Lösung des zugehörigen homogenen Systems herzustellen. Weiterhin entwickeln wir, mittels einer Lyapunov-Methode, Bedingungen für eine eingeschränkte Form von exponentieller Stabilität. Des Weiteren führen wir eine detailierte Untersuchung der Lösungs- und Stabilitätstheorie von Systemen, die sich in Standard-Normalform überführen lassen durch. Dies betreffend geben wir eine Darstellung der allgemeinen Lösung an und eine Bedingung unter der diese existiert. Wir führen konsistente Anfangswerte und, für homogene Systeme, die verallgemeinerte Übergangsmatrix ein und bestimmen ihre Eigenschaften, welche als direkte Verallgemeinerungen der Eigenschaften der Übergangsmatrix einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung angesehen werden können. Weiterhin führen wir die projizierte verallgemeinerte zeitvariante Lyapunov-Gleichung ein und leiten unter der Benutzung dieser notwendige und hinreichende Bedingungen für exponentielle Stabilität her. In diesem Zusammenhang untersuchen wir auch die Lösbarkeit der Lyapunov-Gleichung sowie die Eindeutigkeit und Darstellung der Lösung.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/623162768berge.txt
Brechtken, Stefan
Fehlerschranken bei symbolischer Approximation von DAEs. - 51 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2009

Differential - algebraische Gleichungen, kurz DAEs, treten in Naturwissenschaften in natürlicher Weise oft auf. Die Lösungen solcher DAEs sind allerdings oftmals nicht explizit angebbar, oder zu komplex um an ihnen ein Systemverhalten ablesen zu können. Aus diesem Grund werden sie zum Teil mithilfe einer Laplace-transformation gelöst, wobei eine sogenannte symbolische Approximation im Frequenzbereich durchgeführt wird. Dieses Verfahren führt im allgemeinen zu wesentlich einfacheren Systemen mit gut handhabbaren Lösungen. Den hierbei entstehenden Fehler kann man im Frequenzbereich gut abschätzen, wie sich dieser aber im Zeitbereich verhält ist weitesgehend unbekannt. Aus diesem Grund werden in dieser Arbeit untersucht, wie sich Störungen von DAEs im Frequenzbereich auf die Lösung im Zeitbereich auswirken und es werden Fehlerschranken für die Lösung im Zeitbereich entwickelt. Hierbei wird nur zugrunde gelegt, dass man weiß, wie die Störung aussah, wie die Lösung des gestörten Systems aussieht und dass das Eingangssignal aus dem Raum Lø stammt. Als Grundlage dient die Laplace-theorie, um dann mithilfe der Theorie der Lebesgue- und Hardyräume Fehlerschranken im Zeitbereich zu gewinnen. Schließlich wird anhand eines praxisnahen Beispiels demonstriert, in welchen Fällen diese Fehlerschranken nützlich sind.


Berger, Thomas
Zur asymptotischen Stabilität linearer differential-algebraischer Gleichungen. - 65 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2008

Differential-algebraische Gleichungen gewinnen in vielen technischen Gebieten, wie zum Beispiel der Elektrotechnik, immer mehr an Bedeutung. Da sie in den meisten Fällen aber nicht explizit lösbar sind, oder schwer handhabbare Lösungen besitzen, konzentriert man sich auf qualitative Aussagen über das Systemverhalten. In dieser Arbeit wird daher die asymptotische Stabilität linearer, homogener, differential-algebraischer Gleichungen mit konstanten Koeffizienten-Matrizen ausführlich untersucht und notwendige sowie hinreichende Bedingungen für diese angegeben. In diesem Zusammenhang wird die Lösbarkeit der sogenannten verallgemeinerten Lyapunov-Gleichung sowie die Eindeutigkeit und Darstellung der Lösung analysiert werden. Als Grundlage dient die Lösungstheorie differential-algebraischer Gleichungen. Im Anhang befindet sich diesbezüglich eine vermutlich neue Darstellungsform der Lösungen mittels verallgemeinerter Hauptvektoren.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/589732536berge.txt
Kellner, Tobias
Applications of adaptive observers and tracking. - 55 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2008

Dynamische Eingangs-/Ausgangssysteme dienen oft der Beschreibung von technischen oder physikalischen Systemen. Oftmals ist es dabei nicht möglich auf alle internen Zustände eines solchen Systems zuzugreifen, so dass die Konstruktion von Algorithmen, die diese Zustände zumindest schätzen können, notwendig wird. Eines der wichtigsten Mittel dafür ist der Beobachterentwurf. Ein Beobachter ist ein dynamisches System, welches mit den Ein- und Ausgabesignalen des Originalsystems die inneren Zustände des Originalsystems schätzt. - Eine wichtige Frage beim Beobachterentwurf ist, wie sich der Fehler zum Originalsystem transient verhält. Das Hauptresultat des ersten Teils dieser Arbeit ist ein Beobachter, der zumindest das Ausgangssignal des Originalsystems innerhalb einer vorgeschriebenen Grenze schätzt. - Der zweite Teil beschäftigt sich mit Systemen, die unbekannte Parameter enthalten. Unter Anderem wird hier der Beobachterentwurf dazu ausgenutzt, eine Zustandsrückführung zu erstellen, welche das Ausgangsverhalten unseres Systems gegen ein vorgeschriebenes Ausgangssignal konvergieren lässt. Es wird ein lückenhafter Beweis von T. Marino und P. Tomei aufgearbeitet und Möglichkeiten zur Ergänzung und Vereinfachung der von T. Marino und P. Tomei angegebenen dynamischen Zustandsrückführung aufgezeigt


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/585160139kelln.txt
Sturm, Sabine
Oberflächenmaximierung eines Rotationskörpers als Optimalsteuerproblem mit Zustandsrestriktionen. - 84 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2008

Gegenstand dieser Arbeit ist das Problem der Oberflächenmaximierung eines Rotationskörpers als Optimalsteuerproblem mit Zustandsrestriktionen. Hierfür werden zwei Fälle untersucht: Die Extremalen liegen symmetrisch unter einer symmetrischen, nicht-konstanten Restriktion und die Extremalen liegen nicht-symmetrisch unter einer symmetrischen, nicht-konstanten Restriktion. Das Hauptaugenmerk liegt auf der Auswertung der notwendigen Optimalitätsbedingungen.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/560696337sturm.txt
Hopfe, Norman
Adaptive Stabilisierung von minimalphasigen Systemen mit bekannter oberer Schranke des Relativgrades. - 109 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2007

Die Beschreibung eines technischen oder physikalischen Systems geschieht oft durch ein lineares System. Eine wichtige Größe ist dabei der sogenannte Relativgrad. Die Zustandsrückführung eines linearen, zeitinvarianten, minimalphasigen Eingrößensystems mit positivem Hochverstärkungsfaktor geschieht oft durch ein sogenanntes konstantes Feedback. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass diese Art der Rückführung bei der Stabilisierung von Systemen mit höherem Relativgrad versagt. Es wird eine neue Klasse von hochverstärkenden, parameterabhängigen dynamischen Reglern angegeben, die unter gewissen Voraussetzungen an das Systemmodell diesen Mangel der konstanten Zustandsrückführung beseitigen. Dabei geht der Relativgrad in die Darstellung des Reglers explizit mit ein. Bei der Modellierung eines technischen oder physikalischen Systems ist der Relativgrad oftmals nicht exakt bekannt. Eine wichtige Frage ist, wie robust diese neue Reglerklasse gegenüber Unsicherheiten bei der Kenntnis des Relativgrades ist. Diese Frage kann beantwortet werden und es zeigt sich, dass bei dieser Klasse von Reglern der Relativgrad exakt bekannt sein muss, um Stabilit¨at zu erreichen. Dies ist Grundlage eine zweite Klasse von hochverstärkenden parameterabhängigen dynamischen Reglern anzugeben, wobei die exakte Kenntnis des Relativgrades nicht erforderlich ist und die Kenntnis einer oberen Schranke genügt. Das Hauptresultat dieser Arbeit ist, unter gewissen Voraussetzungen an das Systemmodell und unter Verwendung dieser zwei Reglerklassen, die parametermonotone adaptive Stabilisierung von minimalphasigen, linearen Eingrößensystemen mit einem adaptiven Gesetz, das in der Literatur so nicht auftaucht.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/524021651hopfe.txt
Müller, Markus
A normal form for time-varying linear systems. - 39 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2005

Für zeitinvariante Eingangs/Ausgangssysteme existieren verschiedene Charakterisierungen für den sogenannten Relativgrad des Systems. Man unterscheidet zwischen linearen und nichtlinearen Eingangs/Ausgangssystemen. In dieser Arbeit wird eine verallgemeinerte Definition des Relativgrades für zeitvariante nicht-lineare Systeme angegeben und darauf aufbauend eine Charakterisierung des Relativgrades zeitvarianter linearer Systeme begründet. Diese Charakterisierung stützt sich ausschließlich auf die zeitabhängigen Systemmatrizen und deren Ableitungen. Es wird gezeigt, dass in dieser Darstellung des Relativgrades zeitvarianter linearer Systeme die bekannte Darstellung für zeitinvariante lineare Systeme aufgehoben ist und, interpretiert man das zeitvariante lineare System als zeitinvariantes nichtlineares System, die Definition ebenso aufgehoben ist. Die Darstellung des Relativgrades zeitvarianter linearer Systeme wird nun genutzt, um bezüglich einer zeitvarianten linearen Transformation eine Normalform für zeitvariante lineare Systeme zu entwickeln, welche in ihrer Struktur der Normalform zeitinvarianter linearer Systeme gleicht. Die Normalform für zeitvariante lineare Systeme wird schließlich als Grundlage der Betrachtung der sogenannten Nulldynamik dieser Systeme verwendet. Dazu wird Beschränktheit sowie Stabilität der Nulldynamik definiert und es wird bewiesen, dass die Nulldynamik eines zeitvarianten linearen Systems genau dann beschränkt ist, wenn die Nulldynamik der korrespondierenden Normalfrom beschränkt ist. Entsprechende Behauptungen werden auch für asymptotische und exponentielle Stabilität gezeigt.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/539835234muell.txt
Trenn, Stephan
Hardy spaces and robustness of linear systems. - 49 S.
Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2004

Die Beschreibung eines linearen Modells eines technischen oder physikalischen Systems geschieht oft durch eine sogenannte Transfermatrix, die als Element eines geeigneten Hardy-Raumes betrachtet wird. Es wird auch oft angenommen, dass Eingang und Ausgang des modellierten Systems Elemente eines weiteren Hardy-Raumes sind. In dieser Arbeit wird eine detaillierte mathematische Einführung in die Theorie der Hardy-Räume gegeben. Eigenschaften der Hardy-Räume, die wichtig für die Beschreibung von technischen oder physikalischen Systemen sind, werden betont. Eine wichtige Frage ist, wie robust ein System unter Eingangsstörungen ist. Die Frage kann beantwortet werden, wenn der Verstärkungsfaktor eines Systems bekannt ist. Dieser ist das maximale Verhältnis zwischen Ausgang und Eingang und kann deshalb nicht leicht bestimmt werden, da jeder mögliche Eingang betrachtet werden muss. Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist, dass man unter gewissen Voraussetzungen an das Systemmodell das Verstärkungsverhältnis in einer viel einfacheren Weise berechnen kann. Dieses Ergebnis ist in der Literatur bekannt, aber nach Wissen des Autors sind keine überzeugenden Beweise in der Literatur verfügbar. Die Lücken existierender Beweise werden diskutiert und ein vollständiger Beweis wird angegeben.


http://www.gbv.de/dms/ilmenau/abs/508352843trenn.txt