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Abschlussarbeiten

Studienabschlussarbeiten seit 1990

Anzahl der Treffer: 42
Erstellt: Tue, 19 Jan 2021 23:18:10 +0100 in 0.0471 sec


Luger, Cedric;
Algebraische Untersuchung linearer zeitvarianter Differenzialgleichungssysteme. - Ilmenau. - 52 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

In dieser Arbeit werden Grundlagen der algebraischen Untersuchung linearer zeitvarianter Differenzialgleichungssysteme mit meromorphen Koeffizienten ausgearbeitet. Dabei wird der Ring der linearen Differenzialoperatoren mit meromorphen Koeffizienten als Schiefpolynomring eingeführt. Mithilfe größter gemeinsamer Teiler und kleinster gemeinsamer Vielfacher wird ein Quotientenschiefkörper konstruiert, der sich für die Arbeit mit Matrizen als nützlich erweist. Wir stellen die Transformation dieser in die sogenannte Jacobson-Form vor, die eine simple Normalform dieser Matrizen liefert. Wir nutzen den Raum fast überall glatter Funktionen als Linksmodul des betrachteten Rings. Für diesen wird gezeigt, dass er die Eigenschaft eines injektiven Kogenerators besitzt. Die Anwendungsmöglichkeit der gefundenen Resultate wird an Beweisen einiger Sätze der Systemtheorie demonstriert.



Krannich, Steffen;
Das [Lambda]-Lemma für Vektorfelder und Diffeomorphismen. - Ilmenau. - 59 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

Sei H ein Diffeomorphismus bzw. f ein Vektorfeld mit einem hyperbolischen Fixpunkt p des zugehörigen Flusses. Das [Lambda]-Lemma besagt, dass ein Transversalschnitt der zum Punkt p gehörenden stabilen Mannigfaltigkeit $W^s_{loc}(p)$ unter dem Fluss gegen die instabile Mannigfaltigkeit $W^u_{loc}(p)$ mit exponentieller Ordnung konvergiert. Das starke [Lambda]-Lemma trifft eine analoge Aussage für Transversalschnitte einer erweiterten stabilen Mannigfaltigkeit. Diese konvergieren dann im Sinne der $C^k$-Norm gegen die streng instabile Mannigfaltigkeit. In einer Arbeit von B.Deng, J. Differ. Equations 79, No. 2, 189-231 (1989) werden diese Aussagen im Vektorfeldkontext bewiesen. Dabei werden Eigenschaften der Lösung des Sil'nikov-Problems genutzt. In dieser Bachelorarbeit werden diese Beweise ausfühlich ausgearbeitet. Weiterhin wird der Beweis des [Lambda]-Lemmas in das diskrete Setting übertragen.



Fiedler, Manuel;
Translationsinvariante Maße auf Banachräumen. - Ilmenau. - 58 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

Diese Arbeit handelt von der Maß- und Integrationstheorie auf Banachräume, wobei insbesondere translationsinvariante Maße betrachtet werden. Hierzu werden zunächst Produktmaße auf unendlich dimensionalen Räumen erläutert. Anschließend wird gezeigt, dass auf unendlich dimensionalen Räumen keine Maße mit Eigenschaften wie beispielsweise (Quasi-)Translationsinvarianz und [sigma]-Endlichkeit existieren, mit Ausnahme einiger trivialer Beispiele. Danach wird der Nullmengenbegri diskutiert, wobei eine Adaption des Begris betrachtet wird, welche auf B. Hunt zurückgeht. Diese Mengen werden schüchterne Mengen genannt. Anschließend wird ein [sigma]-endliches, lokalendliches Maß konstruiert, welches zwar nicht invariant bezüglich aller Nullmengen, jedoch invariant bezüglich aller schüchternen Mengen ist. Zuletzt werden die erarbeiteten Begrie anhand von Beispielen veranschaulicht.



Höhler, Karen; ;
Optimal control of differential-algebraic systems via Lur'e equations. - Ilmenau. - 107 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2017

Diese Arbeit ist eine ausführliche Aufbereitung des Papers "The Kalman-Yakubovich-Popov inequality for differential-algebraic systems" von Timo Reis, Olaf Rendel und Matthias Voigt aus dem Jahre 2015. Mit diesen Resultaten ist es unser Ziel, das linear-quadratische Optimalsteuerungsproblem mit differentiell-algebraischen Nebenbedingungen handhabbar zu machen. Dem Vorgehen liegt das Kalman-Yakubovich-Popov Lemma zugrunde, welches die positive Semidefinitheit der Popov-Funktion auf der Imaginärachse mit der Lösbarkeit einer linearen Matrixungleichung verknüpft. Das Auffinden spezieller Lösungen führt zum Konzept der Lur'e Gleichung, welche wiederum mithilfe von abnehmenden Unterräumen gewisser Matrixbüschel gelöst werden kann. Diese Lösungen ermöglichen es, sowohl den optimalen Kostenwert zu bestimmen als auch die Lösung des Optimalsteuerungsproblems zu charakterisieren.



Ehrlich, Daniel;
Variationsprinzipien in der Mechanik. - Ilmenau. - 41 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2017

Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem sogenannten Variationsproblem. Dies ist ein unendlich dimensionales Optimierungsproblem, welches in der theoretischen Mechanik von großer Relevanz ist. Die zentralen Aussagen dieser Arbeit besagen, dass eine Lösung des Variationsproblems notwendigerweise die Euler-Lagrange-Gleichung sowie die Hamilton-Gleichung erfüllen muss. Dazu wird das Variationsproblem als Verallgemeinerung eines endlich dimensionalen Optimierungsproblems betrachtet. Das Verschwinden der sogenannten ersten Variation einer Lösung des Variationsproblems stellt, ähnlich dem Verschwinden der Richtungsableitung im endlich Dimensionalen, ein notwendiges Optimalitätskriterium dar. Zusammen mit einer Variante des Fundamentallemmas der Variationsrechnung wird damit die Euler-Lagrange-Gleichung hergeleitet. Mithilfe der Legendre-Transformation wird die Äquivalenz von Euler-Lagrange- und Hamilton-Gleichung gezeigt, unter entsprechenden Voraussetzungen, die die Wohldefiniertheit der Legendre-Transformation gewährleisten. Ein weiterer Bestandteil der Arbeit ist die Lösung des Kettenproblems, eines klassischen Problems der Variationsrechnung, unter Zuhilfenahme der Euler-Lagrange-Gleichung und der ihr verwandten Dubois-Reymond-Gleichung.



Witschel, Jonas;
Optimal control of linear differential-algebraic equations. - Ilmenau. - 47 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2017

Das Thema der Masterarbeit ist die linear-quadratische Optimalsteuerung zeitvarianter und zeitinvarianter differentiell-algebraischer Gleichungen (DAEs). Die Arbeit besteht aus zwei Hauptteilen: Im ersten Teil betrachten wir zeitvariante DAEs. Wir wiederholen die Lösungstheorie von DAEs und definieren das von uns betrachtete Optimalsteuerungsproblem. Anschließend zeigen wir, dass der Optimalwert eine quadratische Funktion ist und das Bellmansche Optimalitätsprinzip erfüllt. Mithilfe dieser Ergebnisse können wir den Optimalwert als extremale Lösung der Kalman-Yakubovich-Popov-Ungleichung charakterisieren. Im zweiten Teil widmen wir uns zeitinvarianten regulären DAEs. Wir leiten zunächst eine Differenzierbarkeitsbedingung her, die der Steuereingang des Systems erfüllen muss. Mithilfe dieser Resultate führen wir ein erweitertes System ein, das gewisse Ableitungen des Eingangs als Systemzustände enthält. Für das so erweiterte System kann ein zum Optimalsteuerungsproblem des originalen Systems äquivalentes Optimalsteuerungsproblem definiert werden. Dieses lässt sich mithilfe der Theorie der Optimalsteuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen leicht lösen. Das ermöglicht uns, die optimale Steuerung der ursprünglichen DAE explizit anzugeben. Weiterhin lässt sich diese auch als Zustandsrückführung implementieren.



Dennstädt, Dario;
Algebraische Theorie linearer zeitvarianter Systeme. - 60 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2016

Die Untersuchung linearer zeitvarianter Differentialgleichungen ist von grundlegendem Interesse der Systemtheorie. In ihrem Artikel "Weak exponential stability of linear time-varying differential behaviors" von 2015 stellten Bourlès, Marinescu und Oberst eine neue Herangehensweise vor, solche Systeme mittels algebraischer Methoden zu untersuchen. Dabei wird die Betrachtung der Differentialgleichung auf die Untersuchung eines Moduls über einem geeigneten Schiefpolynomring reduziert. Die vorliegende Arbeit greift diesen Ansatz auf und es wird gezeigt, wie sich die bekannten systemtheoretischen Konzepte der Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit und Systemäquivalenz mittels dieses modultheoretischen Zugangs definieren und algebraisch charakterisieren lassen.



Scholz, Stephan;
Direkte und inverse Streuprobleme in einem Mehrschichtenmodell. - 57 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016

In dieser Arbeit werden Reflexion und Brechung von seismischen Wellen an Schichtgrenzen innerhalb eines Mehrschichtenmodells betrachtet. Grundlage dessen bildet die Publikation von Leyds und Fokkema (Leyds, F.B. and Fokkema, J.T., 1988. A discrete-time inverse scattering algorithm for plane wave incidence in a one-dimensional inhomogeneous acoustic medium.), welche mathematisch aufgearbeitet und um einige Punkte erweitert wurde. Die Ziele dieser Arbeit gliedern sich dabei in die Lösung des direkten und inversen Problems. Bei ersterem sollen bei einem bekannten Schichtenmodell der Verlauf von Druckwellen konstruiert werden. Bei der Lösung des inversen Problems wird die Struktur des Schichtenmodells, insbesondere die akustische Admittanz jeder Schicht, bei bekannten Wellen an der Oberfläche bestimmt. Im letzten Teil dieser Arbeit wird der Fokus auf den Spezialfall der überkritschen Brechung gelegt. Dabei treten Effekte auf, welche die Lösung des direkten und inversen Problems beeinträchtigen.



Rußwurm, Franz;
Diskontierte optimale Steuerung : eine Anwendung in der Lagerhaltung. - 63 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016

In dieser Arbeit wird, nach einführenden Betrachtungen über optimale Steuerung, das Lagerhaltungsproblem ausführlich diskutiert und untersucht. Dies erfolgt zunächst mit Hilfe von Pontryagins Maximumprinzip und später mit Hilfe von Diskretisierung. Zum Abschluss werden die Ergebnisse beider Methoden verglichen.



Joost, Niels Gerrit;
Normalformen und Störungen niedrigen Ranges von Matrixbüscheln. - 46 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016

In dieser Arbeit wird die Weierstraß-Form für Matrixbüschel vorgestellt, die, wie beispielsweise in neueren Veröffentlichungen [1] und [3], unter Zuhilfenahme der in [12] erstmals vorgestellten Wong Sequenzen, bewiesen wird. Einerseits liefern die Wong Sequenzen, im Gegensatz zu dem Beweis aus [7], eine geometrische Anschauung. Andererseits lässt sich ohne größeren Aufwand die Quasi-Weierstraß-Form, eine Normalform für Matrixbüschel auf beliebigen Körpern, ableiten. Des Weiteren werden Störungen von Matrixbüscheln untersucht und dabei anhand von Beispielen ein Einstieg in dieses aktuelle Forschungsthema mit zahlreichen Veröffentlichungen, wie zum Beispiel in [5], [11], [10], ermöglicht. Bereits in den 1960er Jahren verfasste F. R. Gantmacher sein Standardwerk über Matrizentheorie [7], in dem er sich unter Anderem mit dem verallgemeinerten Eigenwertproblem auseinandersetzte. Nach Gantmacher [7, S. 373]: "Ein Kriterium für die strenge Äquivalenz sowie die kanonische Form regulärer Matrizenbüschel wurde im Jahr 1867 von K. Weierstraß aufgestellt; die Grundlage bildete seine Elementarteilertheorie [...] Analoge Fragen für singuläre Büschel wurden später (im Jahr 1890) durch die Untersuchungen von L. Kronecker gelöst." Aufbauend auf seinen Leistungen wurden in der Folgezeit weiterführende Arbeiten zum Thema Matrixpolynome [8], im Speziellen Matrixbüschel, erarbeitet. Ebenfalls in den 1960er Jahren entwickelte vor allem G. H. Golub die ersten stabilen Algorithmen, die eine Transformation größerer Matrizen ermöglichen. Die Ergebnisse seiner Arbeit, welche in dem Buch Matrix Computations [9] gesammelt sind, stellen bis heute die Grundlage für viele Forschungsarbeiten dar. Ziel aktueller Untersuchungen ist vor allem die Suche nach dem singulären Matrixbüschel mit dem geringsten Abstand zu einem gegebenen regulären Matrixbüschel [5], wobei eine generelle Problemlösung noch außer Reichweite liegt.