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This paper aims at combining variable ordering structures with set relations in set optimization, which have been dened using the constant ordering cone before. Since the purpose is to connect these two important approaches in set optimization, we do not restrict our considerations to one certain relation. Conversely, we provide the reader with many new variable set relations generalizing the relations from [16, 25] and discuss their usefulness. After analyzing the properties of the introduced relations, we dene new solution notions for set-valued optimization problems equipped with variable ordering structures and compare them with other concepts from the literature. In order to characterize the introduced solutions a nonlinear scalarization approach is used.

In this paper we consider a generalized k-server problem with parallel requests where several servers can also be located on one point (which was initiated by an operations research problem). In section 4 the ''compound Harmonic algorithm'' for the generalized k-server problem is presented. Certain multi-step transition probabilities and absorbing probabilities are used by the compound Harmonic algorithm. For their computation one step of the generalized k-server problem is replaced by a number of steps of other (generalized) specific k-server problems. We show that this algorithm is competitive against an adaptive online adversary. In the case of unit distances the Harmonic algorithm and the compound Harmonic algorithm are identical.

In der Praxis werden viele Prozesse durch Unsicherheiten beeinflusst. Die Auswirkungen dieser Unsicherheiten können dabei beträchtlich sein. Es ist daher sinnvoll diese Einflüsse bei der Prozessoptimierung zu betrachten. Ein Ansatz dazu ist die Nutzung der wahrscheinlichkeitsrestringierten Optimierung. Diese erfordert die Einhaltung der Nebenbedingungen nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit und erlaubt damit einen Kompromiss zwischen Profit und Zuverlässigkeit. In Abhängigkeit des unterliegenden Prozesses sind mehrere Ansätze zur Umwandlung der Wahrscheinlichkeitsrestriktionen in deterministische Restriktionen möglich. Die meisten dieser Ansätze basieren auf der Berechnung hochdimensionaler Integrale. In dieser Arbeit werden entsprechende Methoden zur Berechnung solcher Integrale vorgestellt. Hauptaugenmerk liegt dabei immer auf einer möglichst effizienten numerischen Implementation. Hauptbestandteil der Arbeit ist dabei die Beschreibung von so genannten analytischen Approximationen, welche effizient für eine Vielzahl von Anwendungen eingesetzt werden können. Für diese Verfahren werden Methoden zur Berechnung der Gradienten entwickelt. Eine weitere Verringerung der Rechenzeit wird durch die effiziente Approximierung der unterliegenden Modellgleichungen erreicht. In Fallstudien aus dem Ingenieurbereich werden die analytischen Approximationen mit anderen Ansätzen verglichen. Dabei stellt sich heraus, dass diese Methoden als genereller Ansatz benutzt werden können, auch wenn andere Methoden zu leicht besseren Ergebnissen führen. Als größere Fallstudie wird eine Problem aus dem Bereich des optimalen Lastflusses gelöst. Hier zeigt sich, dass die vorgeschlagenen Ansätze bessere Ergebnisse liefern als die weithin benutzte Approximation mit normalverteilten Zufallsgrößen. Außerdem kann durch den Einsatz effizienter Methoden selbst dieses größere Beispiel in vernünftiger Rechenzeit gelöst werden.

In this paper we consider k-server problems with parallel requests where several servers can also be located on one point. We will distinguish the surplus-situation where the request can be completely fulfilled by means of the k servers and the scarcity-situation where the request cannot be completely met. We use the method of the potential function by Bartal and Grove in order to prove that a corresponding Harmonic algorithm is competitive for the more general k-server problem in the case of unit distances. For this purpose we partition the set of points in relation to the online and offline servers' positions and then use detailed considerations related to sets of certain partitions.