Über ein Branch-and-Bound Verfahren der konvexen Optimierung. - Ilmenau. - 30 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018
Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit einem Branch-and-Bound Algorithmus zur konvexen quadratischen ganzzahligen Optimierung. Ein zentraler Punkt solcher Verfahren ist die Verbesserung unterer Schranken, um möglichst viele Äste, die zu keiner Minimallösung führen werden, entfernen zu können. Zu diesem Zweck nutzen wir die Ganzzahligkeit und passende Ellipsoide, mit deren Hilfe wir die untere Schranke, welche durch das Minimum der stetigen Relaxierung gegeben ist, verbessern können.
Zusammenhang zwischen restringierter und multikriterieller Optimierung. - Ilmenau. - 38 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018
In der Praxis sollen zu meist Abläufe optimiert werden, bei denen sich konkurrierende Ziele gegenüberstehen. Es stellt sich die Frage, ob es vorteilhafter ist, diese Probleme restringiert oder multikriteriell zu lösen. Um dies zu beantworten, muss man sich mit dem Zusammenhang zwischen restringierten und multikriteriellen Optimierungsproblemen auseinandersetzen. Es wird gezeigt, dass sich die jeweiligen Probleme ineinander umformen lassen. Ebenfalls wird untersucht, in welchen Beziehungen die Lösungsmengen zueinander stehen. Dafür betrachtet man unterschiedliche Skalarisierungsmethoden multikriterieller Optimierungsprobleme. Diese enge Verknüpfung beider Probleme wird beim Filteransatz genutzt, um restringierte Optimierungsprobleme zu lösen. Dazu wird ein SQP-Filter-Algorithmus angegeben, welcher unter gewissen Voraussetzungen einen KKT-Punkt liefert oder eine unendliche Iterationsfolge ausgibt, welche einen Häufungspunkt besitzt, der die KKT-Bedingung erfüllt.
Parametrische Optimierung : eine Betrachtung der Minimalwertfunktion. - Ilmenau. - 44 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018
In diversen Anwendungsbereichen, wie etwa der Spieltheorie, der Finanzmathematik oder der Systemtheorie, treten mengenwertige Optimierungsprobleme auf. Ein Ansatz zur Lösung dieser besteht in der Betrachtung sogenannter parametrischer Optimierungsprobleme; das sind Optimierungsprobleme, die von einem Parameter abhängen. Die Funktion, die jedem Parameter den Optimalwert des entsprechenden Problems zuordnet, heißt Minimalwertfunktion und wird in dieser Masterarbeit genauer betrachtet. Dabei sind insbesondere ihre Minimallösungen für die ursprünglichen mengenwertigen Probleme von Interesse. Um diese mittels numerischer Verfahren der Optimierung bestimmen zu können, spielen die Eigenschaften der Minimalwertfunktion eine zentrale Rolle. In dieser Arbeit werden deshalb hinreichende Bedingungen für die Stetigkeit, Konvexität und die Richtungsdifferenzierbarkeit dieser Funktion vorgestellt.
Qualitätsmaße für Lösungsapproximationen mengenwertiger Optimierungsprobleme. - Ilmenau. - 67 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2017
Mengenwertige Optimierungsprobleme besitzen im Allgemeinen unendlich viele optimale Lösungen. Daher wird statt der gesamten Lösungsmenge häufig nur eine endliche Lösungsapproximation angegeben. In dieser Arbeit werden vier Qualitätsmaße für solche Lösungsapproximationen mengenwertiger Optimierungsprobleme entwickelt. Sie sollen einen qualitativen Vergleich verschiedener Approximationen ermöglichen. Dabei wird der zentrale Ansatz verfolgt, bereits bekannte Qualitätsmaße für Lösungsapproximationen multikriterieller Optimierungsprobleme auch für Lösungsapproximationen mengenwertiger Optimierungsprobleme zu nutzen.
Modellfunktionen in der multikriteriellen Optimierung. - Ilmenau. - 79 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2017
Bei der Optimierung mit einer oder mehreren Zielfunktionen treten in der Praxis häufig teure Funktionen auf, deren Berechnung großen Rechenaufwand verursacht. Um hohe Rechenzeiten zu vermeiden, werden solche Funktionen durch leichter zu berechnende Modelle ersetzt. Diese Bachelorarbeit untersucht die Modellierung mit quadratischen Lagrange-Polynomen für bivariate Funktionen und die Auswirkungen, die die Verwendung eines Modells auf bikriterielle Optimierungsprobleme hat. Dabei werden insbesondere die Veränderungen der Menge der effizienten Punkte, die bei dem Ersetzen einer Zielfunktion durch eine quadratische Modellfunktion auftreten, an selbst gewählten Testproblemen betrachtet und grafisch veranschaulicht.
Richtungsableitungen und Taylor-Formel für mengenwertige Abbildungen. - Ilmenau. - 50 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2017
Die vorliegende Masterarbeit stellt einige grundlegende Konzepte der mengenwertigen Optimierung mit dem Mengenzugang vor: Es wird eine spezielle Mengendifferenz und addition eingeführt und darauf aufbauend eine Richtungsableitung und eine Taylor-Formel für mengenwertige Abbildungen. Es wurden Algorithmen zur Berechnung dieser Konzepte entwickelt, mit Matlab implementiert, und an verschiedenen mengenwertigen Abbildungen getestet.
Berechnung von Fréchet-Mittelwerten auf Sphären. - Ilmenau. - 86 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2017
Die Minimierung von Abständen zu einer gegebenen Menge von Punkten ist eine wichtige Aufgabe in der Logistik. Gerade bei mehreren gegebenen Punkten besteht dabei ein Zielkonflikt zwischen den gegebenen Daten, wenn ein kürzerer Abstand zu einem Punkt eine längere Distanz zu einem anderen zur Folge hat. Daher geht man oftmals dazu über, den mittleren Abstand zu allen gegebenen Punkten zu minimieren. Mathematisch wird diese Problemstellung durch die Ermittlung von sogenannten Fréchet-Mittelwerten modelliert, deren explizite Berechnung sich als schwierig erweisen kann. Diese Abschlussarbeit befasst sich mit einem Verfahren zur Approximation von Fréchet-Mittelwerten auf dem Einheitskreis und der Einheitssphäre. Hierzu benutzen wir einen modifizierten Branch-and-Bound-Algorithmus. Die benötigten unteren Schranken und Unterteilungsvorschriften werden dazu hergeleitet und erstere mit einem bekannten Ansatz aus dem Bereich der Lipschitz-Optimierung verglichen. Die konstruierten Verfahren werden anschließend unter numerischen Gesichtspunkten untersucht, gegenübergestellt und abschließend an Anwendungsbeispielen getestet.
Ein Algorithmus zur Bestimmung einer Lösungsüberdeckung spezieller mengenwertiger Optimierungsprobleme. - 78 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016
Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit speziellen mengenwertigen Optimierungsproblemen, die beispielsweise zur Lösung boxbeschränkter, robuster, multikriterieller Optimierungsprobleme genutzt werden können. Letztere treten häufig in Ingenieurs- und Wirtschaftswissenschaften auf und werden durch Worst-Case-Optimierung motiviert. Zunächst werden in der Arbeit theoretische Grundlagen zur mengenwertigen Optimierung gelegt und anschließend wird die Grundidee eines Algorithmus zur Bestimmung einer Überdeckung der Lösungsmenge der mengenwertigen Optimierungsprobleme vorgestellt. Dabei wird mithilfe von oberen und unteren Schranken überprüft, ob Teilboxen Lösungen enthalten können. Der wichtigste Aspekt ist daher, möglichst gute Schranken für diese Teilboxen zu finden, weshalb in dieser Arbeit unter anderem neue Methoden dazu vorgestellt werden. Der beschriebene Algorithmus wurde in MATLAB implementiert und anhand von Testbeispielen ausführlich getestet.
Mengenoptimierung mit Zielfunktionen von spezieller Struktur. - 37 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016
Diese Bachelorarbeit befasst sich mit dem Thema der Mengenoptimierung mithilfe des Mengenzugangs, bei dem Mengen im Bildraum als Ganzes miteinander verglichen werden. Dabei finden drei verschiedene Mengenrelationen Anwendung. Es werden spezielle Mengenoptimierungsprobleme betrachtet, bei denen die Bilder der Zielfunktionen einfache geometrische Formen haben wie Kreise oder Rechtecke. Für manche dieser Probleme wurde gezeigt, dass sie in ein äquivalentes multikriterielles Optimierungsproblem und damit in ein einfacher zu lösendes Optimierungsproblem überführt werden können.
Continuous reformulations of binary quadratic programs. - 46 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016
Diese Arbeit beschäftigt sich mit binären quadratischen Optimierungsproblem und zugehörigen kontinuierlichen Mengen-semidefiniten Relaxierungen, die unter bestimmten Bedingungen äquivalent sind. Zu diesem Zweck wird der dabei genutzte Mengen-semidefinite Kegel untersucht, indem die Menge, über der er definiert ist, als endlich erzeugter Kegel aufgefasst wird. Des weiteren wird das duale Problem zum relaxierten Optimierungsproblem aufgestellt. Zum Abschluss bietet diese Arbeit einen Ausblick auf Möglichkeiten, eine ähnliche Relaxierung auch mit gemischt-binären quadratischen Optimierungsproblemen durchzuführen.