Teaching

Das vor kurzem eingeführte Konzept der Generizität relativ zu einer Referenzmenge wird untersucht. Es wird gezeigt, dass relative generische Mengen viele Eigenschaften des von Wonham verwendeten klassischen Generizitätskonzepts aufweisen, nämlich dass sie unter Vereinigung, Schnittmenge und Obermengen geschlossen sind und ihr Komplement nirgends dicht ist. Unter Verwendung dieser Eigenschaften wird dann gezeigt, dass der Rang von Polynom-Blockmatrizen mit beschränktem Grad sowohl über dem Körper der rationalen Funktionen als auch auf der gesamten komplexen Ebene (wenn die Matrix nicht quadratisch ist) generisch voll ist, unter der Bedingung, dass der Rang eines Blocks von oben beschränkt ist. Diese Ergebnisse werden dann auf die algebraischen Charakterisierungen verschiedener Konzepte der Steuerbarkeit und Stabilisierbarkeit für lineare differential-algebraische Systeme der Form Ex' = Ax + Bu angewandt und notwendige und hinreichende Bedingungen für die Dimensionen von E, A und B abgeleitet, unter denen diese Systeme mit festem Rang von E steuerbar und stabilisierbar sind.

In der vorliegenden Arbeit werden die topologischen Eigenschaften der Menge der steuerbaren differentiell-algebraischen Systeme der Form $\tfrac{\text{d}}{\text{d}t}Ex = Ax+Bu$ mit reellen Matrizen $E,A\in\mathbb{R}^{\ell\times n}$ und $B\in\mathbb{R}^{\ell\times m}$ untersucht. Dabei betrachten wir die fünf Steuerbarkeitskonzepte freie Initialisierbarkeit (Steuerbarkeit im Unendlichen), Impulskontrollierbarkeit, Steuerbarkeit im Sinne des Verhaltens, vollständige Steuerbarkeit und starke Steuerbarkeit. Um die bereits bekannten algebraischen Charakterisierungen dieser Konzepte ausnutzen zu können, betrachten wir zunächst Blockmatrizen, deren Einträge reelle Polynome in einer Unbekannten sind. Wir finden notwendige und hinreichende Bedingungen, unter denen die Menge solcher Blockmatrizen, deren Rang im Körper der rationalen Funktionen oder sogar auf der gesamten komplexen Ebene „voll“ ist, generisch ist. Unter Ausnutzung dieser Resultate können wir dann für jedes der fünf genannten Steuerbarkeitskonzepte jeweils notwendige und hinreichende Bedingungen an $\ell,n$ und $m$ finden, unter denen die Menge der steuerbaren Systeme generisch ist.

In dieser Arbeit wird die seismische Wellengleichung, angefangen bei der Herleitung bis hin zur Anwendung in der Seismik, untersucht. Zunächst werden die benötigten mathematischen Grundlagen wie Dierentialoperatoren und Tensoren betrachtet. Anschließend wird die Bewegungsgleichung, eine partielle Dierentialgleichung, für die seismischen Wellen sowie deren Lösung hergeleitet. Des Weiteren wird das Verhalten einer Welle bezüglich Reexion und Transmission an einem 3-Schichten-Modell betrachtet. Abschließend werden Berechnungen zur Laufzeit und Reichweite einer Welle sowie deren Anwendung bei der Untersuchung von Erdschichten gemacht.

In dieser Masterarbeit werden wir uns mit Kontrollsystemen, lokaler Steuerbarkeit und dem Konzept des Manöver-Automaten befassen. Wir werden uns zunächst kontrollaffine Systeme und die lokale Steuerbarkeit für kurze Zeit anschauen. Wir werden verschiedene Sätze kennenlernen, um festzustellen, ob diese Kontrollsysteme in kurzer Zeit lokal steuerbar sind. Während wir dies tun, werden wir auch das Modell des starren Körpers betrachten und die Sätze verwenden, um dieses Beispielsystem für verschiedene Dimensionen der Steuerung auf lokale Steuerbarkeit zu untersuchen. Außerdem werden wir Sätze über die Existenz von lokal asymptotisch stabilisierenden Feedbacks kennenlernen und diese Sätze auf das Modell des starren Körpers anwenden. Im zweiten Teil dieser Masterarbeit werden wir uns auf Bewegungsabläufe konzentrieren. Speziell werden wir uns auf getrimmte Abläufe und Manöver konzentrieren. Während wir die verschiedenen Definitionen und Sätze in diesem Abschnitt kennenlernen, werden wir diese auch auf ein Beispielsystem anwenden, den nicht-holonomen Roboter. Nachdem wir getrimmte Abläufe und Manöver für dieses System gefunden haben, werden wir die Bewegungsabläufe verwenden, um den Manöver-Automaten zu definieren. Mit diesem Manöver-Automaten werden wir einen Weg für den nicht-holonomen Roboter berechnen. Darüber hinaus lernen wir Sätze über die Steuerbarkeit des Manöver-Automaten kennen und wie man ein Optimalsteuerungsproblem damit löst. Dabei betrachten wir ein Programm zur Lösung eines solchen Optimalsteuerungsproblems für den nicht holonomen Roboter. Am Ende betrachten wir ein komplizierteres Beispielsystem, den erweiterten nicht-holonomen Roboter, und stellen Unterschiede zu den Bewegungsabläufen des nicht-holonomen Roboters fest.

Sei H ein Diffeomorphismus bzw. f ein Vektorfeld mit einem hyperbolischen Fixpunkt p des zugehörigen Flusses. Das [Lambda]-Lemma besagt, dass ein Transversalschnitt der zum Punkt p gehörenden stabilen Mannigfaltigkeit $W^s_{loc}(p)$ unter dem Fluss gegen die instabile Mannigfaltigkeit $W^u_{loc}(p)$ mit exponentieller Ordnung konvergiert. Das starke [Lambda]-Lemma trifft eine analoge Aussage für Transversalschnitte einer erweiterten stabilen Mannigfaltigkeit. Diese konvergieren dann im Sinne der $C^k$-Norm gegen die streng instabile Mannigfaltigkeit. In einer Arbeit von B.Deng, J. Differ. Equations 79, No. 2, 189-231 (1989) werden diese Aussagen im Vektorfeldkontext bewiesen. Dabei werden Eigenschaften der Lösung des Sil'nikov-Problems genutzt. In dieser Bachelorarbeit werden diese Beweise ausfühlich ausgearbeitet. Weiterhin wird der Beweis des [Lambda]-Lemmas in das diskrete Setting übertragen.