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Courses in winter semester 2021/2022
  • Discrete Mathematics
  • Graphs and Algorithms
  • Foundations and Discrete Structures
  • Higher Algebra
Studentinnen und Studenten hören eine Vorlesung im Hörsaal, zwei Laptops sind zu sehenTU Ilmenau / Michael Reichel (ari)

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Bachelor and Master Theses

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Erstellt: Thu, 28 Mar 2024 23:08:50 +0100 in 0.0527 sec


Storch, Patrick;
Proxy games. - Ilmenau. - 48 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018

Obgleich Nashgleichgewichte das wohl bekannteste Lösungskonzept der Spieltheorie darstellen, sind sie doch eher theoretischer Natur. Damit ist gemeint, dass sich Personen in tatsächlichen Spielsituationen gar nicht, oder nur selten nach dem Nachgleichgewicht richten. Um diese Diskrepanz zwischen mathematischer Vorhersage und tatsächlichem Spielverhalten zu überbrücken, führen wir Stellvertreterspiele als eine weitere Ebene in Normalformspielen ein. Die Hauptidee hierbei ist es, zwischen der Auszahlung die ein Spieler erhält, und seinem/ihrem tatsächlichen Nutzen zu unterscheiden. In dieser Masterarbeit, welche auf den Ergebnissen von Stefan Zeuner und dessen Masterarbeit aufbaut, konnten wir zeigen, dass N-Personen-Spiele mit reinem Nashgleichgewicht stets auch ein reines Stellvertretergleichgewicht haben. Dies stellt eine Verallgemeinerung von Zeuners Resultat über 2-Personen-Spiele dar. Ebenfalls wird eine vollständige Charakterisierung von 2x2-Normalformspielen angegeben und gezeigt, dass diese stets ein reines Stellvertretergleichgewicht besitzen (unter der Voraussetzung, dass die Auswahlfunktion Phi pareto-optimale Ausgänge bevorzugt). Ebenso konnte gezeigt werden, dass die Auszahlungsfunktion des Stellvertreterspiels niemals stetig sein kann, was unsere Möglichkeiten bestehende Resultate bezüglich der Existenz von Nashgleichgewichten zu nutzen, erheblich einschränkt; Und wir konnten zeigen, dass das Konzept von Vertreterspielen (unter gewissen Voraussetzungen) einige grundlegende Probleme mit sich bringt, welche dem Satz von Gibbard-Satterthwaite, sowie Arrows Unmöglichkeitstheorem zuzuschreiben sind. Trotz dieser beiden vorhergehenden Ergebnisse konnte ein reines Stellvertretergleichgewicht (mit Beweis) für ein Spiel angegeben werden, welches mit keiner der vorher bekannten Methoden behandelt werden konnte. Ein möglicher Grund warum diese Art Lösung funktioniert und wie man sie gegebenenfalls auch auf andere Spiele ausweiten kann, wird ebenfalls angedeutet.



Kanzler, Kai;
Konvexe Einbettung und k-Zusammenhang. - Ilmenau. - 19 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

In der Arbeit habe ich auf Basis der Arbeit "Rubber bands, convex embeddings and graph connectivity" den Zusammenhang zwischen der konvexen X-Einbettung eines Graphen (Graphentheorie) und dessen k-Zusammenhang aufgezeigt, eine kurze algorithmische Betrachtung durchgeführt und auf den Nutzen eines solchen Algorithmus hingewiesen.



Fischer, Steffen;
A new separator theorem, metric properties and crossing numbers. - Ilmenau. - 34 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2017

Gegeben sei ein einfacher, endlicher, ungerichteter Graph G = (V,E) mit Eckenmenge V (G) und Kantenmenge E(G). Die Kreuzungszahl eines Graphen G, die mit cr(G) bezeichnet wird, ist das Minimum aller Kantenkreuzungen über alle Zeichnungen von G in der Ebene. Diese ist eine wichtige Messgröße für die Charakterisierung der Nichtplanarität eines Graphen. Aufgrund der schweren Berechenbarkeit des dazugehörigen Entscheidungsproblems ist es gerechtfertigt, sich mit Schranken zu beschäftigen. Diese Masterarbeit liefert einen Beweis für eine obere Schranke für Graphen, die mit beschränkter Verzerrung eingebettet werden können. Unabhängig davon wird ein neues Separator-Theorem angegeben, das ein konstantes Größenverhältnis bei den Komponenten eines Graphen G erzeugt, die durch den Trenner S entstehen. Trenner von Graphen sind mächtige Werkzeuge, die durch den Teile-und-herrsche-Algorithmus motiviert sind.



Postel, Justus; von
Hadwigers Vermutung : eine Auswahl der bisherigen Ergebnisse. - Ilmenau. - 38 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2017

Ein wichtiges Thema der Graphentheorie ist das Färben von Graphen und in diesem Zusammenhang die chromatische Zahl. Der wohl bekannteste Satz zu diesem Thema ist der 4-Farben-Satz, der sich ursprünglich mit dem Färben von Landkarten bschäftigte. Mit einer Verallgemeinerung dieses Themas und einer Verbindung der Färbungszahl mit gewissen Unterstruktren beschäftigte sich der Schweizer Hugo Hadwiger und stellte eine sehr weitreichende Vermutung auf.



Fabel, Marc;
Ein alternatives Lösungskonzept für 2-Personen Normalformspiele. - 60 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2016

In der nicht kooperativen Spieltheorie existiert kein komplett zufriedenstellendes Lösungskonzept. Selbst das häufig verwendete Nash-Gleichgewicht liefert nicht immer plausible Ergebnisse, sodass in der aktuellen Forschung nach neuen besseren Lösungskonzepten gesucht wird. In dieser Arbeit wird ein neues Lösungsverfahren für 2-Personen Normalformspiele vorgestellt, welches iterativ vorgeht. Nach der Definition werden erste Eigenschaften gezeigt, bevor es auf verschiedene bekannte Beispiele der Spieltheorie angewendet wird. Anhand dieser Spiele wird untersucht, ob das Verfahren plausible Lösungen liefert. Des Weiteren dienen die Beispiele um Vergleiche zu anderen bekannten Lösungskonzepten der Spieltheorie durchzuführen.



Mohr, Samuel;
Über untere Schranken zur Unabhängigkeit in Graphen. - 57 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2016

Gegeben sei ein einfacher, endlicher, ungerichteter Graph G = (V, E) mit Eckenmenge V(G) und Kantenmenge E(G). Eine unabhängige Menge in G ist eine Teilmenge der Eckenmenge V(G), in der je zwei Ecken nicht adjazent in G sind. Ein oft untersuchtes kombinatorisches Optimierungsproblem ist die Frage nach einer unabhängigen Menge maximaler Kardinalität. Aufgrund der schweren Berechenbarkeit des dazugehörigen Entscheidungsproblems ist es gerechtfertigt, sich mit Schranken, überwiegend unteren Schranken, zu beschäftigen. Der Beitrag dieser Masterarbeit ist eine neue untere Schranke, die als Verbesserung der bekannten Caro-Wei-Schranke aufgefasst werden kann. Hierbei sind insbesondere Spezialisierungen von Interesse, die zu einfachen und leicht berechenbaren Schranken führen. Neben Vergleichen mit klassischen unteren Schranken von O. Murphy und S. M. Selkow wird das Resultat genutzt, um eine Schranke zu entwickeln, die einer Vermutung von E. Bertram und P. Horak nahe kommt.



Kulse, Katja;
Caro-Wei-ähnliche untere Schranken für Unabhängigkeit in Graphen. - 18 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2016

In der vorliegenden Arbeit wird für zusammenhängende und nicht vollständige Graphen die Caro-Wei-Schranke CW(G) betrachtet. Auf dessen Grundlage wird eine Klassifizierung von Caro-Wei-ähnlichen unteren Schranken für die Unabhängigkeitszahl in Graphen vorgenommen. Außerdem wird eine neue untere Schranke, $\alpha(G) \geq CW(G) + \sum\limits_{v \in V(G)} \sum\limits_{(A,B) \in \pi(v)} \sum\limits_{[A,B,v,\sigma,\tau]\in F(A,B,v)}\frac{1}{c_1\cdots c_{|A|}d_1\cdots d_{|B|}(d(v)+1-|B|)}$, bewiesen. Im Beweis wird der Spezialfall $|A|=|B|=1$ betrachtet und somit die Schranke $\alpha(G) \geq CW(G) + \sum\limits_{v \in V(G)} \sum\limits_{(v,w,u) \in W^2(v)} \frac{1}{|N[v,w,u]| (|N[v,w]|-1) d(v)}$ für induzierte Wege der Länge 2 formuliert. Das daraus entstandene schwächere Theorem wurde vollständig bewiesen.



Otte, Katrin; von
Deterministische Irrfahrten auf Graphen. - 31 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Diplomarbeit 2016

Die Arbeit behandelt die deterministische Irrfahrt I in der Eckenversion und die deterministische Irrfahrt I' in der Kantenversion.



Roth, Carolin;
Über die Existenz von gewissen induzierten Untergraphen eines Graphen. - 15 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2015

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einem Optimierungsproblem auf Graphen. Hierbei werden den n Knoten des Graphen G und den zwischen ihnen verlaufenden Kanten positive Zahlenwerte zugeordnet und mit diesen wird eine quadratische Funktion betrachtet. Ziel dieser Arbeit ist es, das Maximum dieser Funktion über dem n-dimensionalen Einheitswürfel zu ermitteln. Die Lösung dieses Problems, die Funktion zu maximieren, ist nicht einfach, da das untersuchte Problem NP-vollständige Unterprobleme enthält. Es wird deutlich, dass im Allgemeinen das Maximum der Funktion durch einen induzierten Untergraphen H von G realisiert wird. Dieser hat je nach Wahl der den Knoten und Kanten zugeordneten Zahlenwerte bestimmte Eigenschaften. Da die explizite Maximierung der Funktion NP-vollständige Probleme als Unterprobleme enthält, wird der Maximalwert in dieser Arbeit als gegeben angenommen. Es wird festgestellt, dass das Maximum in einer Ecke des Einheitswürfels angenommen wird. Mithilfe dieses Resultats wird ein gewisser Untergraph H von G betrachtet, welcher durch bestimmte Knoten des Graphen G induziert werden kann. Wird der Untergraph H zusätzlich minimal gewählt, können weitere Aussagen über den Maximalwert getroffen werden. Durch die verschiedene Wahl der Zahlenwerte an Knoten und Kanten, können gewisse Eigenschaften des Untergraphen H erzwungen werden. Somit werden Resultate erhalten, welche die Existenz von induzierten Untergraphen eines gegebenen Graphen G sichern. Die in den letzten Kapiteln der Arbeit beschriebenen Sätze sagen aus, dass unter gewisser spezieller Wahl der Zahlenwerte an Knoten und Kanten ein induzierter Untergraph H von G mit einem gewissen Maximum existiert, welcher eine gewisse zusätzliche Eigenschaft besitzt. Zum Beispiel ist in bestimmten Fällen die Knotenmenge unabhängig oder die Maximalvalenz beschränkt.



Schacht, Johanna Eleonore;
Notwendige und hinreichende Bedingungen für Nachbarschaftshypergraphen. - 28 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2015

Ein Nachbarschaftshypergraph ist ein Hypergraph H, der aus einem schlichten Graphen G entsteht, indem die Nachbarschaft jeder Ecke von G einen Block von H bildet. Der Graph G wird dabei Ursprungsgraph von H genannt. Wir betrachten in dieser Arbeit, unter welchen Bedingungen ein Hypergraph ein Nachbarschaftshypergraph ist. In Kapitel 2 zeigen wir notwendige Bedingungen, die alle Nachbarschaftshypergraphen erfüllen. Insbesondere beweisen wir mit Satz 2.7, dass sie selbstdual sind. Außerdem stellen wir mit Satz 2.10 den Zusammenhang zwischen einer Adjazenzmatrix eines Graphen und der Inzidenzmatrix des zugehörigen Nachbarschaftshypergraphen vor. In Kapitel 3 beschäftigen wir uns mit der Klasse der 2-Designs. Dabei zeigen wir mit Lemma 3.3, welche Eigenschaften die Ursprungsgraphen von 2-Designs haben und darauf aufbauend beweisen wir mit algebraischen Methoden in Satz 3.4 notwendige Bedingungen für die Parameter der 2-Designs, die Nachbarschaftshypergraphen sind. Auswirkungen der Eigenschaften Bipartitheit und Zusammenhang der Ursprungsgraphen auf ihre Nachbarschaftshypergraphen betrachten wir in Kapitel 4. Die Sätze 4.5 und 4.6 zeigen, welche Beziehungen zwischen den Zusammenhangskomponenten eines Hypergraphen genau dann bestehen, wenn es einen bipartiten Ursprungsgraphen gibt. Beispiel 4.9 beweist, dass ein Hypergraph verschiedene, nicht bipartite Ursprungsgraphen haben kann. Dahingegen ist ein bipartiter Ursprungsgraph immer bis auf Isomorphie eindeutig, was aus Satz 4.8 folgt. Für die Hypergraphen in Kapitel 5 setzen wir Kreisfreiheit voraus. Daraus folgt, dass gegebenenfalls Ursprungsgraphen Wälder sind, wo durch wir auf den Ergebnissen aus Kapitel 4 aufbauen können. Wir greifen einen Algorithmus zur Überprüfung, ob Bäume isomorph sind, auf, der von Hochstättler in dem Buch Algorithmische Mathematik vorgestellt wird. Diesen nutzen wir, um einen Algorithmus anzugeben, mit dem getestet werden kann, ob die Zusammenhangskomponenten eines Hyperwaldes die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Existenz eines bipartiten Ursprungsgraphen erfüllen. Dieser Algorithmus arbeitet in Polynomialzeit.