Subtrees search, cycle spectra and edge-connectivity structures. - Ilmenau : Universitätsbibliothek, 2019. - 1 Online-Ressource (ix, 40 Seiten)
Technische Universität Ilmenau, Dissertation 2019
Im ersten Teil dieser Dissertation untersuchen wir Teilbäume eines Baumes $T$ mit vorgegebenen Knotengewichten $c: V(T) \rightarrow \mathbb{N}$. Wir führen eine Overload-Discharge-Methode ein, und zeigen, dass es immer einen Teilbaum $S$ gibt, dessen Gewicht $c(S) := \sum_ {v \in V (S)} c(v)$ nahe $\frac{c(T)}{2}$ liegt. Je kleiner das Gewicht $c(T)$ von $T$ ist, desto geringer ist dabei die Differenz zwischen $c(S)$ und $\frac{c(T)}{2}$, die wir sicherstellen können. Wir zeigen auch, dass ein solcher Teilbaum effizient, nämlich in Linearzeit, berechnet werden kann. Unter Ausnutzung dieser Methode beweisen wir, dass jeder planare hamiltonsche Graph $G = (V(G), E(G))$ mit Mindestgrad $\delta \geq 4$ einen Kreis der Länge $k$ für jedes $k \in \{\lfloor \frac{|V(G)|}{2} \rfloor, \dots, \lceil \frac{|V(G)|}{2} \rceil + 3\}$ mit $3 \leq k \leq |V (G)|$ enthält. Dieser kann in Linearzeit berechnet werden, falls ein Hamilton-Kreis des Graphen bekannt ist. Im zweiten Teil der Dissertation stellen wir drei Schnittbäume eines Graphen vor, von denen jeder Einblick in die Kantenzusammenhangsstruktur des Graphen gibt. Allen drei Schnittbäumen ist gemeinsam, dass sie eine bestimmte binäre symmetrische irreflexive Relation auf der Knotenmenge des Graphen überdecken; die Bäume können als Verallgemeinerungen von Gomory-Hu-Bäumen aufgefasst werden. Die Schnittbäume implizieren folgende Aussagen: (i) Jeder schlichte Graph $G$, der $\delta \geq 5$ oder Kantenzusammenhang $\lambda \geq 4$ oder Knotenzusammenhang $\kappa \geq 3$ erfüllt, enthält mindestens $\frac{1}{24} \delta |V(G)|$ zusammengehörige Paare, wobei ein Paar von Knoten $\{v, w \}$ zusammengehörig ist, falls $\lambda_G (v, w) = \min \{d_G(v), d_G(w)\}$ ist. (ii) Jeder schlichte Graph $G$ mit $\delta > 0$ hat $O(|V (G)| / \delta)$ $\delta$-kantenzusammenhängende Komponenten, und es verbleiben lediglich $O(|V (G)|)$ Kanten, wenn diese Komponenten kontrahiert werden. (iii) Für jeden schlichten Graphen $G$ mit $\delta > 0$ sind Knotenmengen derart effizient berechenbar, dass alle nicht trivialen minimalen Schnitte erhalten bleiben, und $O(|V(G)| / \delta)$ Knoten und $O(|V(G)|)$ Kanten verbleiben, wenn diese Knotenmengen kontrahiert werden.
https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2019000307
A trust region approach for multi-objective heterogeneous optimization. - Ilmenau : Universitätsbibliothek, 2019. - 1 Online-Ressource (iii, 202, XLI Seiten)
Technische Universität Ilmenau, Dissertation 2019
In dieser Arbeit wird ein "Trust-Region" Algorithmus für multikriterielle Optimierungsprobleme mit heterogenen Zielfunktionen vorgestellt. Eine der Zielfunktionen ist eine teure Black-Box-Funktion. Sie ist nicht analytisch gegeben, sondern beispielsweise durch eine Simulation. Für diese Funktion wird angenommen, dass die Berechnung von Funktionswerten zeitaufwändig ist und die Ableitungen nicht mit vertretbarem numerischen Aufwand berechnet werden können. Des Weiteren wird vorausgesetzt, dass die anderen Zielfunktionen analytisch gegeben sind und die Berechnung von Funktionswerten und Ableitungen mit geringem numerischen Aufwand verbunden ist. Es wird ein grundlegender Algorithmus für derartige Optimierungsprobleme vorgestellt. Der Ansatz ist iterativ und nutzt lokale Modellfunktionen und eine im Bildraum definierte Suchrichtung. Der Algorithmus erzeugt eine Folge von Iterationspunkten. Es wird bewiesen, dass der Häufungspunkt dieser Folge ein notwendiges lokales Optimalitätskriterium erfüllt. Darüber hinaus werden verschiedene Modifikationen dieses Algorithmus vorgestellt, welche die Heterogenität der Zielfunktionen weiter nutzen und teilweise mehr als einen Punkt als Ausgabe erzeugen. Des Weiteren werden Ergebnisse von numerischen Tests mit der Grundversion und einigen Modifikationen des Algorithmus präsentiert und diskutiert. Sie bestätigen die theoretischen Resultate und zeigen die Nützlichkeit der Verfahren. Der grundlegende Algorithmus wurde außerdem auf ein Anwendungsproblem der Fluiddynamik angewandt. Die zugehörigen Ergebnisse werden präsentiert und im Rahmen des Anwendungsproblems interpretiert.
https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2019000059
Projective shapes : topology and means. - Ilmenau : Universitätsbibliothek, 2017. - 1 Online-Ressource (82 Seiten)
Technische Universität Ilmenau, Dissertation 2017
Die projektive Form eines Objektes ist die geometrische Information, die invariant unter projektiven Transformationen ist. Sie tritt natürlicherweise bei der Rekonstruktion von Objekten anhand Fotos unkalibrierter Kameras auf. Wenn ein Objekt als Punktmenge oder Konfiguration von Landmarken im d-dimensionalen reell-projektiven Raum RP(d) beschrieben wird, so ist die Menge der projektiven Formen der Quotientenraum RP(d)^k / PGL(d) und damit kanonisch mit der Quotiententopologie versehen. Auf diesem topologischen Raum der projektiven Formen lassen sich jedoch aus topologischen Gründen viele mathematische Werkzeuge nicht anwenden, ein Phänomen, welches in ähnlicher Form auch bei den Räumen der Ähnlichkeits- bzw. affinen Formen auftritt. In der vorliegenden Arbeit wird die Topologie des projektiven Formenraumes gründlich untersucht, in Hinblick auf die Suche nach einem vernünftigen topologischen Unterraum, der hinreichende Eigenschaften für die Anwendung statistischer Methoden besitzt. Ein Beispiel für einen dieser gutartigen Unterräume ist der Raum der Tyler regulären Formen, der bereits durch Kent und Mardia betrachtet wurde. Deren Ergebnisse werden in dieser Arbeit noch erweitert. Dieser Unterraum ist zwar für einige Dimensionen d und Anzahlen an Landmarken k nicht optimal gewählt, jedoch liefert die sogenannte Tyler-Standardisierung dieser Formen einem sowohl Einbettungen in metrische Räume als auch eine Riemannsche Metrik auf diesem Unterraum. Für eine dieser Einbettungen werden die dazugehörige Fréchet-Erwartungs- sowie Mittelwerte definiert. Während die Konsistenz dieses Mittelwertes leicht zu zeigen ist, ist die Berechnung des extrinsischen Mittelwertes numerisch anspruchsvoll. Als Ersatz wird ein weiterer Erwartungs- bzw. Mittelwert definiert, dessen Berechnung diese Probleme umgeht.
http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2017000404
Entwurf und Programmierung von numerischen Verfahren und Algorithmen zur Lösung der Boltzmann-Gleichung. - Ilmenau : Universitätsbibliothek, 2017. - 1 Online-Ressource (154 Seiten)
Technische Universität Ilmenau, Dissertation 2017
Die Boltzmann-Gleichung ist eine mesoskopische Gleichung, welche Gas-Strömungen im Übergang zur Teilchendynamik beschreibt. Die Methoden zur Lösung der Boltzmann Gleichung sind ein wichtiges Forschungsthema. In dieser Arbeit interessieren wir uns für die sogenannten deterministischen Schemata, die mit diskreten Geschwindigkeitsmodellen (DVMs) verbunden ist. Zuerst wurden die Grundlagen für DVM zusammengetragen. Dann haben wir für Gase mit kleiner Knudsen-Zahl, in den allgemeinen Fällen, die Konvergenz zu der Maxwell-Verteilung bewiesen. Danach haben wir grundsätzlich eine Detailansicht über die Linearisierung des Stoßoperators und die Eigenschaften der linearisierten Matrix ermittelt. Weiterhin haben wir eine Diskretisierung des Geschwindigkeitsraums (Für 2- und 3-Dimensionen) definiert und einige DVMs untersucht. Außerdem wurden hier die Begriffe "vollständiges Modell" und "vollständige Stoßmenge" definiert und Methoden, um die minimale vollständige Stoßmodelle zu erstellen, entwickelt. Der logisch nachfolgende Schritt ist verschiedene vollständige Stoßmodelle zu entwickeln, sowie untereinander und mit einigen unvollständigen Modellen zu vergleichen, als auch einen genaueren Blick auf die rechnerische Komplexität zu werfen. Danach wurde die Lösung der Boltzmann-Gleichung in den komplexen Randbedingungen untersucht. Die Algorithmen wurden dargestellt, um beliebige Anfangswerte und Randbedingungen verwenden. Man kann durch diese Algorithmen jedes Gasmodell (Ortsraum-Geometrie) in einem Bild darstellen/speichern und in unserem Programm verwenden. Schließlich haben wir numerische Experimente für die Boltzmann-Gleichung durchgeführt. Die Ergebnisse wurden mit denen der physikalischen Experimente und/oder mit den Ergebnissen der anderen numerischen Methoden verglichen.
http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2017000273
Non-negative operators in Krein spaces and rank one perturbations. - Ilmenau : Universitätsverlag Ilmenau, 2016. - Online-Ressource (116 Seiten, 6.65 MB)
Technische Universität Ilmenau, Dissertation 2016
In der vorliegenden Arbeit werden eindimensionale Störungen von nichtnegativen Operatoren in Kreinräumen betrachtet. Dabei wird untersucht wie sich die Anzahl der Eigenwerte und deren Vielfachheit in einer Lücke des essentiellen Spektrums unter einer Störung ändern können. Zudem wird beschrieben wie sich an einem Eigenwert die Anzahl und die Länge der linear unabhängigen Jordanketten ändern können.
https://www.db-thueringen.de/receive/dbt_mods_00029981
On output feedback control of infinite-dimensional systems, 2015. - Online-Ressource (PDF-Datei: IV, 218 S., 1,06 MB) Ilmenau : Techn. Univ., Diss., 2015
Diese Dissertation behandelt zeitinvariante, unendlichdimensionale, lineare Systeme, die ein Eingangssignal u in ein Ausgangssignal y umwandeln. In der Theorie der kompatiblen, wohlgestellten, linearen Systeme, werden solche Umwandlungen durch Differenzialgleichungen der Formx'(t)=Ax(t)+ Bu(t), y(t)=Cx(t)+Du(t) beschrieben, wobei A, B, C und D lineare Operatoren zwischen Hilbert-Räumen sind, die auch unstetig sein können. Um die Struktur solcher Systeme zu verstehen, werden verschiedene Arten von Zustandsraumtransformationen, die aus der endlichdimensionalen Theorie bekannt sind verallgemeintert: Für Systeme mit kompaktem Hankel-Operator werden ausgangsnormalisierende sowie balancierende Transformationen konstruiert und für die Modellreduktion eingesetzt. Für Systeme mit natürlichzahligem Relativgrad werden Transformationen entwickelt um die Byrnes-Isidori-Form und eine verwandte, sogenannte Nulldynamikform zu verallgemeinern. Darüberhinaus wird die Nulldynamik für unendlichdimensionaly Systeme erstmals rigoros definitiert und gezeigt, dass sie bei Systemen mit natürlichzahligem Relativgrad durch eine einzige stark stetige Operatorhalbgruppe charakterisiert werden kann. Dazu wird die Nulldynamikform verwendet. Ein analoges Resultat wird für ein spezielles Randsteuerungsproblem bewiesen, dass durch eine Wärmeleitungsgleichung beschrieben wird. Im Anschluss an diese theoretischen Überlegungen wird bewiesen, dass zwei praktische einsetzbare Ausgangsrückführungsmethode funktionieren: Die erste Methode ist die sogenannte Funnelregelung, ein sehr einfaches Regelgesetz, welches der Trajektorienverfolgung dient. Es wird gezeigt, dass diese Methode efolgreich einsetzbar ist sowohl bei Systemen mit Relativgrad eins und exponenziell stabiler Nulldynamik, als auch bei dem erwähnten speziellen Randsteuerungsproblem.Die zweite Ausgangsrückführung, die untersucht wird dient der Störgrößenunterdrückung. Es ist eine spezielle Form der H-unendlich-Regelung und eng verknüpft oft mit linear-quadratischer Optimalsteuerung. Während die klassische Lösung dieses wohlbekannten Problems stets einen unendlichdimensionalen Beobachter benötigt, der nicht praktisch implementiert werden kann, wird hier ein endlichdimensionaler Regler konstruiert durch balanciertes Abschneiden. Darüberhinaus wird bewiesen, dass dieser praktisch einsetzbare Regler das Regelziel mit einer Regelgüte erreicht, die vom Approxmationsfehler der Modellreduktion abhängt.
http://www.db-thueringen.de/servlets/DocumentServlet?id=26328
Classification of lattice group models, high order discretizations of Boltzmann's collision operator and parallelization, 2015. - Online-Ressource (PDF-Datei: V, 155 S., 1,20 MB) Ilmenau : Techn. Univ., Diss., 2015
In dieser Arbeit geht es um Gittergruppenmodelle (LGpMs). Hierbei handelt es sich um eine Klasse von deterministischen Diskretisierungsmodellen, welche offenbar mit diskreten Geschwindigkeitsmodellen (DVMs) in Verbindung stehen. Unglücklicherweise existieren für die Diskretisierung des Kollisionsoperators mittels der LGpM keine Konvergenzergebnisse. Darüber hinaus ist unklar ob die für DVMs bekannten Konvergenzergebnisse auf LGpM übertragbar sind, da es keine exakte Klassifikation der LGpM innerhalb der DVM - Theorie gibt. Diese Arbeit behebt diese Probleme indem ein Schema für die Konstruktion von Diskretisierungen mit beliebig hoher Konvergenzordnung bewiesen wird und die LGpM im theoretischen Rahmen der DVM klassifiziert werden. Der logisch folgende Schritt ist ein Blick auf eine praktische Implementierung und numerische Tests der resultierenden Diskretisierungen um die theoretischen Resultate numerisch verifizieren zu können sowie ein genauer Blick auf die Zeitkomplexität. Schließlich untersuchen wir die Parallelisierung von allgemeinen LGpM - lösern. Hier legen wir ein besonderes Augenmerk auf die Frage ob es möglich ist ein signifikant höheres Preis-Leistungs-Verhältnis durch den Einsatz von Graphikprozessoren (GPUs) zu erreichen.
http://www.db-thueringen.de/servlets/DocumentServlet?id=26199
Nonreversible homoclinic snaking scenarios, 2014. - Online-Ressource (PDF-Datei: III, 139 S., 2,63 MB) Ilmenau : Techn. Univ., Diss., 2014
Homoclinic Snaking ist ein spezielles Phänomen bei der Fortsetzung homokliner Orbits in der Nähe eines heteroklinen Zykels, welcher eine Gleichgewichtslage und einen periodischen Orbit verbindet. Der Begriff "Snaking" bezieht sich dabei auf die Sinusform der Fortsetzungskurven. Typischer Weise tritt dieses Phänomen in reversiblen Hamilton-Systemen auf. Dabei entsprechen die zwei Snaking-Kurven symmetrischen Homoklinen, wohingegen asymmetrische Homoklinen auf Kurvenstücken liegen, welche die beiden Snaking-Kurven verbinden. Zusammengenommen bilden die Fortsetzungskurven die Snakes-and-ladders Struktur. In dieser Arbeit wird Homoclinic Snaking in nichtreversiblen DGLs betrachtet, deren reversible Struktur (allein oder zusammen mit der Hamilton Struktur) gestört wird. Ausgangspunkt dafür ist die Arbeit von Beck et. al. (Snakes, ladders, and isolas of localised patterns). Es wird gezeigt, dass die Störung der Reversibilität geschlossene Fortsetzungskurven (Isolas) oder zwei Fortsetzungskurven, hervorrufen kann, welche alternierend den ursprünglichen sinusförmigen Fortsetzungskurven (Criss-Cross Snaking) folgen. Darüber hinaus wird Homoclinic Snaking in gewöhnlichen DGLs betrachtet, welche von Beginn an keine ausgezeichnete Struktur besitzen. Es wird untersucht, wie das Verhalten des ursprünglichen heteroklinen Zykels das Fortsetzungsverhalten bestimmt. Dabei werden die beiden Fälle unterschieden, dass der periodische Orbit positive oder negative Floquet Multiplikatoren besitzt. Des Weiteren wird ein Fortsetzungsszenario bestehend aus Isolas beschrieben. Weiterhin werden Fenichelkoordinaten in der Nähe einer 1-parametrigen Familie von periodischen Orbits, in welcher in sich die Dimension der stabilen Mannigfaltigkeit ändert, konstruiert. Dazu wird eine Foliation einer erweiterten stabilen Mannigfaltigkeit konstruiert. Es wird gezeigt, dass wenn der schwach stabile Floquet Exponent gegen Null strebt, die Foliation auch im Grenzwert glatt ist. Darüber hinaus wird ein Shilnikov Problem in der Nähe der 1-parametrigen Familie von periodischen Orbits gelöst, wenn der schwach stabile Floquet Exponent gegen Null strebt. Die Analysis basiert auf der Arbeit von Krupa et al. (Fast and slow waves in the FitzHugh-Nagumo equation).
http://www.db-thueringen.de/servlets/DocumentServlet?id=25461
Efficient numerical solution of chance constrained optimization problems with engineering applications, 2014. - Online-Ressource (PDF-Datei: VII, 106 S., 4,30 MB) : Ilmenau, Techn. Univ., Diss., 2014
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In der Praxis werden viele Prozesse durch Unsicherheiten beeinflusst. Die Auswirkungen dieser Unsicherheiten können dabei beträchtlich sein. Es ist daher sinnvoll diese Einflüsse bei der Prozessoptimierung zu betrachten. Ein Ansatz dazu ist die Nutzung der wahrscheinlichkeitsrestringierten Optimierung. Diese erfordert die Einhaltung der Nebenbedingungen nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit und erlaubt damit einen Kompromiss zwischen Profit und Zuverlässigkeit. In Abhängigkeit des unterliegenden Prozesses sind mehrere Ansätze zur Umwandlung der Wahrscheinlichkeitsrestriktionen in deterministische Restriktionen möglich. Die meisten dieser Ansätze basieren auf der Berechnung hochdimensionaler Integrale. In dieser Arbeit werden entsprechende Methoden zur Berechnung solcher Integrale vorgestellt. Hauptaugenmerk liegt dabei immer auf einer möglichst effizienten numerischen Implementation. Hauptbestandteil der Arbeit ist dabei die Beschreibung von so genannten analytischen Approximationen, welche effizient für eine Vielzahl von Anwendungen eingesetzt werden können. Für diese Verfahren werden Methoden zur Berechnung der Gradienten entwickelt. Eine weitere Verringerung der Rechenzeit wird durch die effiziente Approximierung der unterliegenden Modellgleichungen erreicht. In Fallstudien aus dem Ingenieurbereich werden die analytischen Approximationen mit anderen Ansätzen verglichen. Dabei stellt sich heraus, dass diese Methoden als genereller Ansatz benutzt werden können, auch wenn andere Methoden zu leicht besseren Ergebnissen führen. Als größere Fallstudie wird eine Problem aus dem Bereich des optimalen Lastflusses gelöst. Hier zeigt sich, dass die vorgeschlagenen Ansätze bessere Ergebnisse liefern als die weithin benutzte Approximation mit normalverteilten Zufallsgrößen. Außerdem kann durch den Einsatz effizienter Methoden selbst dieses größere Beispiel in vernünftiger Rechenzeit gelöst werden.
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On differential-algebraic control systems. - Ilmenau : Universitätsverlag Ilmenau, 2014. - Online-Ressource (PDF-Datei: 329 S., 1,84 MB) : Zugl.: Ilmenau, Techn. Univ., Diss., 2013
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In der vorliegenden Dissertation werden differential-algebraische Gleichungen (differential-algebraic equations, DAEs) der Form d dt Ex = Ax + f betrachtet, wobei E und A beliebige Matrizen sind. Falls E nichtverschwindende Einträge haben, dann kommen in der Gleichung Ableitungen der entsprechenden Komponenten von x vor. Falls E eine Nullzeile hat, dann kommen in der entsprechenden Gleichung keine Ableitungen vor und sie ist rein algebraisch. Daher werden Gleichungen vom Typ d dt Ex = Ax + f differential-algebraische Gleichungen genannt. Ein Ziel dieser Dissertation ist es, eine strukturelle Zerlegung einer DAE in vier Teile herzuleiten: einen ODE-Anteil, einen nilpotenten Anteil, einen unterbestimmten Anteil und einen überbestimmten Anteil. Jeder Anteil beschreibt ein anderes Lösungsverhalten in Hinblick auf Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für eine vorgegebene Inhomogenität f und Konsistenzbedingungen an f. Die Zerlegung, namentlich die quasi-Kronecker Form (QKF), verallgemeinert die wohlbekannte Kronecker-Normalform und behebt einige ihrer Nachteile. Die QKF wird ausgenutzt, um verschiedene Konzepte der Kontrollierbarkeit und Stabilisierbarkeit für DAEs mit f = Bu zu studieren. Hier bezeichnet u den Eingang des differential-algebraischen Systems. Es werden Zerlegungen unter System- und Feedback-Äquivalenz, sowie die Folgen einer Behavioral-Steuerung K_x x + K_u u = 0 für die Stabilisierung des Systems untersucht. Falls für das DAE-System zusätzlich eine Ausgangs-Gleichung y =Cx gegeben ist, dann lässt sich das Konzept der Nulldynamik wie folgt definieren: die Nulldynamik ist, grob gesagt, die Dynamik, die am Ausgang nicht sichtbar ist, d.h. die Menge aller Lösungs-Trajektorien (x,u,y) mit y = 0. Für rechts-invertierbare Systeme mit autonomer Nulldynamik wird eine Zerlegung hergeleitet, welche die Nulldynamik entkoppelt. Diese versetzt uns in die Lage, eine Behavior-Steuerung zu entwickeln, die das System stabilisiert, vorausgesetzt die Nulldynamik selbst ist stabil. Wir betrachten auch zwei Regelungs-Strategien, die von den Eigenschaften der oben genannten System-Klasse profitieren: Hochverstärkungs- und Funnel-Regelung. Ein System d dt Ex = Ax + Bu, y =Cx, hat die Hochverstärkungseigenschaft, wenn es durch die Anwendung der proportionalen Ausgangsrückführung u = -ky, mit k > 0 hinreichend groß, stabilisiert werden kann. Wir beweisen, dass rechts-invertierbare Systeme mit asymptotisch stabiler Nulldynamik, die eine bestimmte Relativgrad-Annahme erfüllen, die Hochverstärkungseigenschaft haben. Während der Hochverstärkungs-Regler recht einfach ist, ist es jedoch a priori nicht bekannt, wie groß die Verstärkungskonstante k gewählt werden muss. Dieses Problem wird durch den Funnel-Regler gelöst: durch die adaptive Justierung der Verstärkung über eine zeitabhängige Funktion k(.) und die Ausnutzung der Hochverstärkungseigenschaft wird erreicht, dass große Werte k(t) nur dann angenommen werden, wenn sie nötig sind. Eine weitere wesentliche Eigenschaft ist, dass der Funnel-Regler das transiente Verhalten des Fehlers e = y - y ref der Bahnverfolgung, wobei y ref die Referenztrajektorie ist, beachtet. Für einen vordefinierten Performanz-Trichter (funnel) [Psi] wird erreicht, dass e(t) < [Psi](t). Schließlich wird der Funnel-Regler auf die Klasse von MNA-Modellen von passiven elektrischen Schaltkreisen mit asymptotisch stabilen invarianten Nullstellen angewendet. Dies erfordert die Einschränkung der Menge der zulässigen Referenztrajektorien auf solche die, in gewisser Weise, die Kirchhoffschen Gesetze punktweise erfüllen.
http://www.db-thueringen.de/servlets/DocumentServlet?id=23107