Bachelor Theses and Master Theses

Das Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung von Parametern der Strömungstheorie, dem Viskositäts- und Wärmeleitkoeffizienten sowie der Prandtl-Zahl, aus der Lösung der räumlich homogenen Boltzmann-Gleichung mit Korrekturterm. Um dies zu erreichen, beschäftigen wir uns zuerst mit der Boltzmann-Gleichung, einer mesoskopischen Gleichung der Gastheorie für verdünnte Gase. Diese wird auf einem diskreten Geschwindigkeitsmodell betrachtet, um die Lösung numerisch berechnen zu können. In diesem Zusammenhang interessieren wir uns auch für die Möglichkeit der Beeinflussung der Prandtl-Zahl durch die Wahl der Stoßgewichte des Stoßoperators der Boltzmann-Gleichung. Dafür wird zuerst die Theorie erarbeitet, die der Arbeit mit der Boltzmann-Gleichung zugrunde liegt und ein diskretes Geschwindigkeitsmodell definiert. Dazu gehört die Arbeit mit elastischen Stößen und dem allgemeinen und linearisierten Stoßoperator. Die Anfangsbedingung und gewisse Korrekturterme werden anschließend bestimmt, um die homogene Boltzmann-Gleichung aufstellen zu können. Dann werden wir uns mit dem Begriff des Orbits auseinandersetzen, der die Arbeit mit dem komplexen Geschwindigkeitsmodell etwas vereinfacht. Wir können anschließend feststellen, dass die Gewichte in den Stoßoperatoren die Lösung der Boltzmann-Gleichung tatsächlich beeinflussen können. Es werden gewisse Kriterien erstellt, nach denen die Gewichte, zusammengefasst in Gewichtsvektoren, aufgestellt werden können. Mit diesen Gewichtsvektoren kann nun die Boltzmann-Gleichung gelöst werden und diese Lösungen können zusammen mit den Prandtl-Zahlen für jedes der verwendeten Gewichte ausgewertet werden. Dies wird für zwei unterschiedliche Gittermodelle ausgetestet und die Ergebnisse werden dokumentiert. Schließlich wird die Herleitung der Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen aus der Boltzmann-Gleichung erarbeitet und das Vorgehen skizziert. Somit wird auch die Entstehung der Prandtl-Zahl, die eine Kennzahl der Navier-Stokes-Gleichungen ist, sowie ihre Verbindung zu der Boltzmann-Gleichung, erklärt.

Im Rahmen der Bildverarbeitung werden künstliche Intelligenzen zur Klassifikation eingesetzt. Ein sehr verbreitetes Modell in Bezug auf diese Problemstellung ist das in dieser Masterarbeit vorgestellte ResNet. In ResNets ist die Batch Normalization ein wesentlicher Bestandteil und trägt erheblich zum Trainingsprozess dieser Netzwerke bei. Nichtsdestotrotz bringt sie auch einige Nachteile mit sich, weshalb es in den letzten Jahren viele Bestrebungen gab, Batch Normalization zu ersetzen. Allerdings führt ein bloßes Entfernen der Batch Normalization in ResNets zu explodierenden Varianzen, welche mit dem Exploding Gradient Problem einhergehen, das zum frühen Abbruch des Trainings eines Netzwerks führt. Im Fokus dieser Masterarbeit steht deshalb die Analyse der Entwicklung der Varianzen innerhalb von ResNets und ResNet-ähnlichen Architekturen ohne Normierung, wie dem RescaleNet. Auf Basis ausführlicher Varianzanalysen ergründen wir, welche Effekte in modifizierten preactivation ResNet-Varianten ohne Batch Normalization auftreten. Dabei wird in dieser Masterarbeit erstmals aufgezeigt, inwiefern das Padding im Residuum-Zweig Einfluss auf die Varianzentwicklung ausübt. Außerdem arbeiten wir Unterschiede zwischen den Entwicklungen der Varianzen im pre- und postactivation RescaleNet heraus und trainieren das preactivation RescaleNet erstmals erfolgreich sowohl auf dem CIFAR-10- als auch auf dem ImageNet-Datensatz.

Mit der Ordnungsdimension haben Dushnik und Miller 1941 ein Konzept entwickelt, das es ermöglicht, die Komplexität endlicher partieller Ordnungen abzuschätzen. In dieser Arbeit entwickeln wir eine alternative Methode zur Darstellung derartiger Ordnungen durch totale Ordnungserweiterungen, die - im Unterschied zum vorherigen Ansatz - zusätzliche Informationen über die Minima beliebiger Teilmengen erhalten. Wir beschäftigen uns dabei zunächst mit der Frage, wie groß derartige Zerlegungen wenigstens sein müssen und leiten anschließend konstruktive Zerlegungsalgorithmen her, die wir an geeigneten Beispielen testen.

Die Arbeit untersucht unter anderem folgende Darstellungs- und Konstruktionsprobleme: Gegeben sind Mengensysteme X und A über einer gemeinsamen Grundmenge. Ist es möglich, die Mengen aus X mit beliebigen Durchschnitten und Vereinigungen aus den Mengen aus A als Ausdruck darzustellen bzw. in Form einer Konstruktionsvorschrift zu konstruieren? Dieses Problem ist in polynomieller Zeit entscheidbar. Für eine Modifikation des Problems sei weiter eine Familie von n [Element von] N Mengenoperationen gegeben, welche in der Darstellung bzw. Konstruktion zusätzlich zu Durchschnitten und Vereinigungen (einmalig) verwendet werden dürfen. Auch dieses Problem ist für eine Klasse von Mengenoperationen, zu der insbesondere alle zweistelligen sowie die Komplementbildung gehören, in polynomieller Zeit entscheidbar. Für n = 3 viele hinreichend komplexe, aber feste Mengenoperationen ist das Problem dagegen NP-vollständig. Dies bleibt bestehen, wenn wir statt der Verwendung von drei Mengenoperationen drei frei wählbare Mengen zulassen. Die zugehörige Entscheidungsfrage ist allgemein: Gibt es ein Mengensystem S aus n Mengen so, dass die Mengen aus X mit beliebigen Durchschnitten und Vereinigungen aus den Mengen aus A [Vereinigungsmenge] S konstruierbar bzw. als Ausdruck darstellbar sind? Eine Verallgemeinerung dieses Problems ist äquivalent zum folgenden Entscheidungsproblem für einen gegebenen Digraphen D = (V, E) und n [Element von] N: Gibt es n Teilmengen von V (Schnitte in D) so, dass für jede Kante xy [Element von] E eine der Mengen die Ecke x, jedoch nicht die Ecke y enthält? Dies wiederum ist äquivalent zu einer Zerlegung der Kantenmenge E in n Mengen, welche nicht zugleich Kanten xy und yz für irgendwelche Ecken x, y, z enthalten. Auch diese Probleme sind NP-vollständig, insbesondere für azyklische Digraphen und n = 3.

Die Klasse der gemischt-ganzzahligen nichtlinearen Optimierungsprobleme bietet ein breites Spektrum an Anwendungsmöglichkeiten, unter anderem die Modulation von Versorgungsnetzwerken oder Verkehrsströmen. Es ist daher von großem Interesse, neue Lösungsverfahren für diese Art von Optimierungsproblemen zu finden und bereits bekannte Ansätze weiterzuentwickeln. In dieser Arbeit wird die Erweiterung der Äußeren Approximation durch die Anwendung von Taylorpolynomen zweiter Ordnung untersucht. Dazu wird eine Reihe von Möglichkeiten zur Gewinnung geeigneter quadratischer Approximationen der Nebenbedingungen zusammengetragen und deren praktische Anwendbarkeit diskutiert. Weiterhin werden die Ergebnisse der klassischen linearen und der erweiterten quadratischen Äußeren Approximation für ausgewählte Testbeispiele miteinander verglichen.