Bachelor and Master Theses at the Institute

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Created on: Thu, 28 Mar 2024 23:08:46 +0100 in 0.0762 sec


Böhm, Martin;
Einige Kategorien glatter Strukturen auf metrischen Räumen. - Ilmenau. - 44 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

In dieser Arbeit wurde betrachtet, in welchen Weisen sich der Begriff glatter Funktionen von Mannigfaltigkeiten auf metrische Räume verallgemeinern lässt. Dabei wurde zunächst untersucht, inwiefern dies mit der Theorie der Frölicher Räume, in der die glatte Struktur durch glatte Kurven beziehungsweise glatte reellwertige Funktionen ausgedrückt ist, möglich ist. Für zwei derartige Ansätze wurde gezeigt, dass diese auf metrischen Räumen mit bereits bekannter glatter Struktur nicht das gewünschte Ergebnis liefern. Anschließend wurden zwei Kategorien beschreiben, die auf natürliche Weise den Begriff der Glattheit auf metrischen Räumen definieren. Für diese wurde gezeigt, dass diese auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten die übliche Struktur liefern. An einem weiteren Beispiel wurde gezeigt, dass diese Kategorien auch auf weiteren Räumen wünschenswerte Ergebnisse liefern, an einem weiteren allerdings auch Grenzen der Anwendbarkeit dieser Kategorien aufgezeigt.



Luger, Cedric;
Algebraische Untersuchung linearer zeitvarianter Differenzialgleichungssysteme. - Ilmenau. - 52 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

In dieser Arbeit werden Grundlagen der algebraischen Untersuchung linearer zeitvarianter Differenzialgleichungssysteme mit meromorphen Koeffizienten ausgearbeitet. Dabei wird der Ring der linearen Differenzialoperatoren mit meromorphen Koeffizienten als Schiefpolynomring eingeführt. Mithilfe größter gemeinsamer Teiler und kleinster gemeinsamer Vielfacher wird ein Quotientenschiefkörper konstruiert, der sich für die Arbeit mit Matrizen als nützlich erweist. Wir stellen die Transformation dieser in die sogenannte Jacobson-Form vor, die eine simple Normalform dieser Matrizen liefert. Wir nutzen den Raum fast überall glatter Funktionen als Linksmodul des betrachteten Rings. Für diesen wird gezeigt, dass er die Eigenschaft eines injektiven Kogenerators besitzt. Die Anwendungsmöglichkeit der gefundenen Resultate wird an Beweisen einiger Sätze der Systemtheorie demonstriert.



Rocktäschel, Stefan;
A BB algorithm for multiobjective mixed-integer convex optimization. - Ilmenau. - 56 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018

Diese Masterarbeit beschäftigt sich mit multikriteriellen gemischt-ganzzahligen konvexen Optimierungsproblemen. Derartige Probleme treten beispielsweise in Ingenieurs- oder Wirtschaftswissenschaften auf. Hierbei ist man oft daran interessiert, alle effizienten Punkte für diese Optimierungsprobleme zu bestimmen. Zunächst werden in dieser Arbeit die theoretischen Grundlagen der multikriteriellen Optimierung dargestellt. Anschließend wird ein Branch-and-Bound Algorithmus zur Bestimmung einer Lösungsüberdeckung solcher Optimierungsprobleme vorgestellt und die einzelnen Teilschritte genauer beleuchtet. Dabei werden Auswahlkriterien, der Bisektionsschritt, Zulässigkeitskriterien und Verwerfungskriterien, die wir basierend auf oberen und unteren Schranken für die Zielfunktion formulieren, betrachtet. Weiterhin wird der Algorithmus noch durch weitere Modifikationen erweitert und liefert dadurch genauere Lösungsüberdeckungen. Der erweiterte Algorithmus wurde in MATLAB implementiert und anhand von uns entwickelter Testbeispiele getestet.



Hoffmann, Moritz;
Über ein Branch-and-Bound Verfahren der konvexen Optimierung. - Ilmenau. - 30 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit einem Branch-and-Bound Algorithmus zur konvexen quadratischen ganzzahligen Optimierung. Ein zentraler Punkt solcher Verfahren ist die Verbesserung unterer Schranken, um möglichst viele Äste, die zu keiner Minimallösung führen werden, entfernen zu können. Zu diesem Zweck nutzen wir die Ganzzahligkeit und passende Ellipsoide, mit deren Hilfe wir die untere Schranke, welche durch das Minimum der stetigen Relaxierung gegeben ist, verbessern können.



Degenhardt, Laura;
Zusammenhang zwischen restringierter und multikriterieller Optimierung. - Ilmenau. - 38 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

In der Praxis sollen zu meist Abläufe optimiert werden, bei denen sich konkurrierende Ziele gegenüberstehen. Es stellt sich die Frage, ob es vorteilhafter ist, diese Probleme restringiert oder multikriteriell zu lösen. Um dies zu beantworten, muss man sich mit dem Zusammenhang zwischen restringierten und multikriteriellen Optimierungsproblemen auseinandersetzen. Es wird gezeigt, dass sich die jeweiligen Probleme ineinander umformen lassen. Ebenfalls wird untersucht, in welchen Beziehungen die Lösungsmengen zueinander stehen. Dafür betrachtet man unterschiedliche Skalarisierungsmethoden multikriterieller Optimierungsprobleme. Diese enge Verknüpfung beider Probleme wird beim Filteransatz genutzt, um restringierte Optimierungsprobleme zu lösen. Dazu wird ein SQP-Filter-Algorithmus angegeben, welcher unter gewissen Voraussetzungen einen KKT-Punkt liefert oder eine unendliche Iterationsfolge ausgibt, welche einen Häufungspunkt besitzt, der die KKT-Bedingung erfüllt.



Erweitertes Online GNSS-Matching - Verbesserung der Abgleichsmechanismen zwischen digitalen Karten und per GNSS erfassten Positionsdaten. - Ilmenau. - 95 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018

In dieser Arbeit wird ein kurzer Überblick über die Funktionsweise von globalen Navigationssystemen (GNSS) und den verwendeten Positionsangaben gegeben. Mittels der GNSS kann ein GNSS-Empfänger seinen Standort in Relation zur Erde bestimmen. Ein Map Matching Verfahren bringt diese fehlerbehafteten Standortdaten in Relation zu einem gegebenen Straßennetz (Straßenkarte) und versucht die korrekte Position des Empfängers darauf zu ermitteln. Map Matching Algorithmen, welche sofort die aktuelle Position bestimmen ohne zukünftige GNSS-Werte zu haben, werden als online Map Matching Algorithmen bezeichnet. In dieser Arbeit wurde gezeigt, inwiefern sich Hidden Markov Modelle als Basis für ein solchen online Map Matching Algorithmus eignen. Hierfür wurde ein einfaches Straßenmodell erstellt, auf welches fehlerbehaftete Standortdaten simuliert wurden. Für dieses Modell wurde ein einfacher Map Matching Algorithmus erstellt. Dieser hat den Viterbi-Algorithmus als Grundlage. Anhand von eigenen Simulationen erfolgte eine Beurteilung, inwiefern sich das Hidden Markov Modell tatsächlich für einen Map Matching Algorithmus eignet.



Steinacker, Alex;
Parametrische Optimierung : eine Betrachtung der Minimalwertfunktion. - Ilmenau. - 44 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018

In diversen Anwendungsbereichen, wie etwa der Spieltheorie, der Finanzmathematik oder der Systemtheorie, treten mengenwertige Optimierungsprobleme auf. Ein Ansatz zur Lösung dieser besteht in der Betrachtung sogenannter parametrischer Optimierungsprobleme; das sind Optimierungsprobleme, die von einem Parameter abhängen. Die Funktion, die jedem Parameter den Optimalwert des entsprechenden Problems zuordnet, heißt Minimalwertfunktion und wird in dieser Masterarbeit genauer betrachtet. Dabei sind insbesondere ihre Minimallösungen für die ursprünglichen mengenwertigen Probleme von Interesse. Um diese mittels numerischer Verfahren der Optimierung bestimmen zu können, spielen die Eigenschaften der Minimalwertfunktion eine zentrale Rolle. In dieser Arbeit werden deshalb hinreichende Bedingungen für die Stetigkeit, Konvexität und die Richtungsdifferenzierbarkeit dieser Funktion vorgestellt.



Storch, Patrick;
Proxy games. - Ilmenau. - 48 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018

Obgleich Nashgleichgewichte das wohl bekannteste Lösungskonzept der Spieltheorie darstellen, sind sie doch eher theoretischer Natur. Damit ist gemeint, dass sich Personen in tatsächlichen Spielsituationen gar nicht, oder nur selten nach dem Nachgleichgewicht richten. Um diese Diskrepanz zwischen mathematischer Vorhersage und tatsächlichem Spielverhalten zu überbrücken, führen wir Stellvertreterspiele als eine weitere Ebene in Normalformspielen ein. Die Hauptidee hierbei ist es, zwischen der Auszahlung die ein Spieler erhält, und seinem/ihrem tatsächlichen Nutzen zu unterscheiden. In dieser Masterarbeit, welche auf den Ergebnissen von Stefan Zeuner und dessen Masterarbeit aufbaut, konnten wir zeigen, dass N-Personen-Spiele mit reinem Nashgleichgewicht stets auch ein reines Stellvertretergleichgewicht haben. Dies stellt eine Verallgemeinerung von Zeuners Resultat über 2-Personen-Spiele dar. Ebenfalls wird eine vollständige Charakterisierung von 2x2-Normalformspielen angegeben und gezeigt, dass diese stets ein reines Stellvertretergleichgewicht besitzen (unter der Voraussetzung, dass die Auswahlfunktion Phi pareto-optimale Ausgänge bevorzugt). Ebenso konnte gezeigt werden, dass die Auszahlungsfunktion des Stellvertreterspiels niemals stetig sein kann, was unsere Möglichkeiten bestehende Resultate bezüglich der Existenz von Nashgleichgewichten zu nutzen, erheblich einschränkt; Und wir konnten zeigen, dass das Konzept von Vertreterspielen (unter gewissen Voraussetzungen) einige grundlegende Probleme mit sich bringt, welche dem Satz von Gibbard-Satterthwaite, sowie Arrows Unmöglichkeitstheorem zuzuschreiben sind. Trotz dieser beiden vorhergehenden Ergebnisse konnte ein reines Stellvertretergleichgewicht (mit Beweis) für ein Spiel angegeben werden, welches mit keiner der vorher bekannten Methoden behandelt werden konnte. Ein möglicher Grund warum diese Art Lösung funktioniert und wie man sie gegebenenfalls auch auf andere Spiele ausweiten kann, wird ebenfalls angedeutet.



Krämer, Alexander;
General Chaos Expansion für reellwertige Zufallsvariablen. - Ilmenau. - 55 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

In dieser Arbeit wird das Problem, für eine gewisse Zufallsgröße X mit bekannter Verteilung eine unbekannte Funktion f zu approximieren, wobei f(X) quadratisch integrierbar ist. Dazu wird ausgenutzt, dass der Raum solcher Funktionen ein Hilbertraum ist, sodass f in eine Fourierreihe entwickelt werden kann, falls dieser ein bekanntes vollständiges und abzählbares Orthonormalsystem besitzt. Dieses Verfahren heißt Chaos Expansion. Es wird nachgewiesen, dass zu jeder Verteilung von X ein vollständiges abzählbares Orthonormalsystem existiert. Ferner wird ein Algorithmus beschrieben, mit dem ein solches Orthonormalsystem konstruiert werden kann. Dabei wird auf verschiedene Methoden zurückgegriffen, sowohl auf die eher klassische Polynomial Chaos Expansion als auch auf eine selbst erarbeitete, die auf Transformation basiert, speziell mit der Verteilungsfunktion von X. Außerdem müssen die Koeffizienten zur Reihenentwicklung berechnet oder zumindest approximiert werden, wobei Schwierigkeiten auftreten, da f nicht explizit bekannt ist. Es wird ein Kriterium für eine hinreichende Approximation angegeben und beschrieben, wie - vorausgesetzt die Auswertung von f(x) ist für jedes reelle x möglich - bekannte numerische Verfahren genutzt oder auch adaptiert werden können, um dieses Kriterium zu erfüllen. Schließlich wird noch ein mögliches Konzept zur Beurteilung der Approximationsgenauigkeit bei Verwendung einer gewissen Partialsumme der Fourierreihe vorgeschlagen.



Krannich, Steffen;
Das [Lambda]-Lemma für Vektorfelder und Diffeomorphismen. - Ilmenau. - 59 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

Sei H ein Diffeomorphismus bzw. f ein Vektorfeld mit einem hyperbolischen Fixpunkt p des zugehörigen Flusses. Das [Lambda]-Lemma besagt, dass ein Transversalschnitt der zum Punkt p gehörenden stabilen Mannigfaltigkeit $W^s_{loc}(p)$ unter dem Fluss gegen die instabile Mannigfaltigkeit $W^u_{loc}(p)$ mit exponentieller Ordnung konvergiert. Das starke [Lambda]-Lemma trifft eine analoge Aussage für Transversalschnitte einer erweiterten stabilen Mannigfaltigkeit. Diese konvergieren dann im Sinne der $C^k$-Norm gegen die streng instabile Mannigfaltigkeit. In einer Arbeit von B.Deng, J. Differ. Equations 79, No. 2, 189-231 (1989) werden diese Aussagen im Vektorfeldkontext bewiesen. Dabei werden Eigenschaften der Lösung des Sil'nikov-Problems genutzt. In dieser Bachelorarbeit werden diese Beweise ausfühlich ausgearbeitet. Weiterhin wird der Beweis des [Lambda]-Lemmas in das diskrete Setting übertragen.