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Arbeitsgruppe Optimierung


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Univ.-Prof. Dr. rer. nat. habil. Gabriele Eichfelder

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INHALTE

Forschung

Forschung

Vektor- und Mengenoptimierung

In der Vektoroptimierung werden Optimierungsprobleme mit einer vektorwertigen Zielfunktion betrachtet. Die Mengenoptimierung (d. h. die Optimierung mit mengenwertigen Abbildungen) ist eine Erweiterung der Vektoroptimierung auf den mengenwertigen Fall und erfordert den Vergleich von Mengen.

Numerische Verfahren der Vektoroptimierung

Skalarisierungen in der Vektor- und Mengenoptimierung

Ordnungsrelationen und Präferenzstrukturen

Optimalitätsbedingungen und Dualität

Numerische Verfahren der Vektoroptimierung

Zum Lösen von speziellen Klassen von Vektoroptimierungsproblemen wurden verschiedene neue Verfahren entwickelt.

 

Abbildung 1 Approximation der effizienten Menge mit neuem Verfahren (links) und mit der Methode der gewichteten Summe (rechts).

 

Für multikriterielle, insbesondere für bikriterielle Probleme, wurde ein Verfahren entwickelt, welches eine konzise und gleichzeitig repräsentative Approximation der Bildmenge der minimalen Elemente, der sog. effizienten Menge, in halbgeordneten Vektorräumen ermöglicht. Hierzu wurde ein neues Verfahren zur adaptiven Parametersteuerung für viele Skalarisierungsansätze (u. a. Verfahren von Pascoletti und Serafini, e-constraint-Methode, modifiziertes Polak-Verfahren, NBI-Methode von Das und Dennis, ...) entwickelt.

In der multikriteriellen Zwei-Ebenen-Optimierung (Bilevel-Optimierung) betrachtet man miteinander gekoppelte Optimierungsprobleme auf zwei Ebenen, bei denen die Entscheidungsvariable des übergeordneten Problems als Parametrisierung des untergeordneten Optimierungsproblems angesehen werden kann. Die Minimallösung des untergeordneten Problems fließt wiederum in die Zielfunktion des Optimierungsproblems der oberen Ebene ein. Speziell für bikriterielle Zielfunktionen sowohl auf der oberen als auch auf der unteren Ebene wurde ein numerisches Verfahren zur Lösung eines solchen Problems entwickelt.

Im Zusammenhang mit einer Problemstellung aus der Datenreduzierung in der  Magnetresonanztomographie, wie sie in Zusammenarbeit mit der Siemens AG untersucht wurde, wurde zudem die folgende Fragestellung betrachtet: wie kann die zulässige Menge eines Vektoroptimierungsproblems geeignet erweitert werden, so dass die Menge der Optimallösungen des modifizierten Vektoroptimierungsproblems gezielt reduziert werden kann. Dies wurde ebenfalls numerisch umgesetzt. Das betrachtete Vektoroptimierungsproblem war dabei ein Problem im Raum der hermiteschen Matrizen, halbgeordnet durch den Kegel der positiv semidefiniten Matrizen.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder, Adaptive Scalarization Methods in Multiobjective Optimization. Springer, 2008.

G. Eichfelder, An Adaptive Scalarization Method in Multi-Objective Optimization, SIAM Journal on Optimization, 2009.

G. Eichfelder, Multiobjective bilevel optimization, Mathematical Programming Ser. A, 2010.

G. Eichfelder und M. Gebhardt, Method for determining sensitivity matrices for hotspots.
Patent (granted) US8624593 und CN102193078 und US20110224924, März 2011.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Skalarisierungen in der Vektor- und Mengenoptimierung

Ein wichtiger Zugang für theoretische Untersuchungen und für die Entwicklung numerischer Verfahren in der Vektor- und Mengenoptimierung sind Skalarisierungsansätze. Dabei wird das ursprüngliche Problem durch ein meist parameterabhängiges skalarwertiges Optimierungsproblem ersetzt. Durch verschiedene Wahlen von Parametern können so verschiedene Optimallösungen gefunden werden. Durch die Anwendung von Resultaten der skalarwertigen Optimierung können zudem theoretische Resultate für die vektor- und mengenwertigen Optimierungsprobleme abgeleitet werden.

Neben den in der Literatur bekannten Ansätzen, wie dem Tammer-Weidner-Funktional oder linearen Skalarisierungen, wurde eine neue Skalarisierung eingeführt. Diese basiert auf einer Darstellung der betrachteten Ordnungskegel als Bishop-Phelps Kegel.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder, Adaptive Scalarization Methods in Multiobjective Optimization.
Springer, 2008.

G. Eichfelder und R. Kasimbeyli, Properly optimal elements in vector optimization with variable ordering structures. Journal of Global Optimization, Vol. 60(5), 597 – 627, 2014.

G. Eichfelder und M. Pilecka, Set approach for set optimization with variable ordering structures. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

T. Q. Bao, G. Eichfelder, B. Soleimani und Chr. Tammer, Ekeland’s variational principle for vector optimization with variable ordering structure. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Ordnungsrelationen und Präferenzstrukturen

Bei Vektoroptimierungsproblemen spielen Ordnungskonzepte im Bildraum eine wichtige Rolle. Diese Binärrelationen bilden zum Beispiel die Präferenzen eines Entscheidungsträgers ab, der mehrere Ziele gleichzeitig verfolgt. Anwendungen etwa in der medizinischen Bildregistrierung zeigen, dass Halbordnungen nicht immer ausreichen, um Probleme mathematisch zu formulieren. Stattdessen wurden variable Ordnungskonzepte betrachtet. Diese werden durch eine kegelwertige Abbildung und spezielle binäre Relationen mathematisch modelliert.

Mit dem Ziel der Entwicklung einer grundlegenden Theorie für derartige Probleme wurden bisher Eigenschaften optimaler Elemente, Skalarisierungen, Optimalitätsbedingungen, Variationsprinzipien und Dualitätsaussagen studiert. Hinzu kommt die Entwicklung numerischer Verfahren, um solche Probleme auch in der Praxis lösen zu können.

In der Mengenoptimierung müssen zudem Binärrelationen zum Vergleich von Mengen betrachtet werden. Diese sind oft nicht transitiv oder nicht einmal reflexiv. In der Mengenoptimierung mit variablen Ordnungsrelationen wurden hierzu eine Vielzahl von möglichen Binärrelationen studiert und ihre praktische Relevanz diskutiert.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder und T. X. D. Ha, Optimality conditions for vector optimization problems with variable ordering structures. Optimization, Vol. 62(5), 597 – 627, 2013.

G. Eichfelder, Variable Ordering Structures in Vector Optimization. Springer, Heidelberg, ISBN: 978-3-642-54282-4.

G. Eichfelder und R. Kasimbeyli, Properly optimal elements in vector optimization with variable ordering structures. Journal of Global Optimization, Vol. 60(5), 597 – 627, 2014.

G. Eichfelder und M. Pilecka, Set approach for set optimization with variable ordering structures. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

G. Eichfelder und T. Gerlach, Characterization of proper optimal elements with variable ordering structures. Optimization, Doi 10.1080/02331934.2015.1040793, 2015.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Optimalitätsbedingungen und Dualität

Grundlegend in der Theorie der mathematischen Optimierung sind Untersuchungen zu Optimalitätsbedingungen sowie die Formulierung und Betrachtung dualer Probleme. Die bekanntesten Optimalitätsbedingungen der nichtlinearen Optimierung sind sicherlich die KKT-Bedingungen. Ein möglicher Zugang zur Herleitung von Optimalitätsbedingungen für vektor- und mengenwertigen Optimierungsproblemen sind dabei oft Skalarisierungsansätze. Unter Nutzung neuer Skalarisierungen wurden erstmals Optimalitätsbedingungen für Optimierungsprobleme mit variablen Ordnungsstrukturen eingeführt.

Durch die Formulierung geeigneter dualer Probleme, etwa allgemeiner dualer Mengen oder etwa mit Hilfe linearer Funktionale, können den ursprünglichen primalen Problemen duale (etwa Maximierungs- statt Minimierungs-)Probleme zugeordnet werden.  

Ausgewälte Publikationen:

G. Eichfelder, Variable Ordering Structures in Vector Optimization. Springer, Heidelberg, ISBN: 978-3-642-54282-4.

G. Eichfelder und T. X .D. Ha, Optimality conditions for vector optimization problems with variable ordering structures. Optimization, Vol. 62(5), 597 – 627, 2013.

T .Q. Bao, G. Eichfelder, B. Soleimani und Chr. Tammer, Ekeland’s variational principle for vector optimization with variable ordering structure. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Globale Optimierung

Kopositive Optimierung

In der mengen-semidefiniten Optimierung werden Optimierungsprobleme mit einer vektorwertigen Zielfunktion und speziellen Ungleichungsrestriktionen untersucht. Ist Y ein normierter Vektorraum und K eine Teilmenge von Y, so basieren diese Ungleichungsrestriktionen auf einer Halbordnung im Raum der stetigen linearen Abbildungen L(Y,Y * ), die durch den Kegel C^K_L der so genannten K-semidefiniten Abbildungen gegeben ist:

C^K_L := C^K_{L(Y, Y^*)} := \{A \in L(Y, Y*) \; | \; \langle Ay, y \rangle \geq 0 für alle y \in K\}.

Es wird also gefordert, dass die zur linearen Abbildung A gehörige quadratische Form nichtnegativ auf einer Teilmenge K des Raumes Y ist. Im endlichdimensionalen Fall Y=R^n erhalten wir für K=R^n semidefinite und für K=R^n_+ kopositive Optimierungsprobleme und erweitern diese wichtigen Problemklassen vektorwertig. Für den K-semidefiniten Kegel wurden bereits Rechenregeln und verschiedene Eigenschaften sowie der Dualkegel und das Innere untersucht. Für das Vektoroptimierungsproblem wurden Optimalitätsbedingungen sowie Dualitätsaussagen entwickelt. Zur Lösung dieser Probleme steht ein Penalty-Ansatz zur Verfügung.

Es konnte weiterhin gezeigt werden, dass sich quadratische nichtkonvexe Optimierungsprobleme mit linearen Nebenbedingungen und Binärvariablen über einer Menge K unter geeigneten Voraussetzungen an K als lineare Optimierungsprobleme über den Dualkegel der K-semidefiniten Matrizen formulieren lassen.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder und J. Jahn, Set-semidefinite Optimization, Journal of Convex Analysis, 2008.

G. Eichfelder und J. Jahn, Foundations of set-semidefinite optimization. Kapitel 18 in: Nonlinear Analysis and Variational Problems, P. Pardalos, Th. M. Rassias und A. A. Khan (Eds.), Springer, 259 – 284, 2009.

G. Eichfelder und J. Povh, On the set-semidefinite representation of nonconvex quadratic programs over arbitrary feasible sets, Optimization, Vol. 62(5), 597 - 627, 2013.

P. Dickinson, G. Eichfelder und J. Povh, On the set-semidefinite representation of nonconvex quadratic programs over arbitrary feasible sets, Optimization Letters Vol. 7(6), 1387 – 1397, 2013.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Numerische Verfahren der kopositiven Optimierung

Kopositive Optimierungsprobleme sind lineare Optimierungsprobleme über dem Kegel der kopositiven Matrizen. Diese Problemklasse ist von besonderem Interesse, da sich etwa das Max-Clique-Problem als kopositives Optimierungsproblem formulieren lässt. Eine Matrix A ist kopositiv, wenn deren quadratische Form xTAx für alle nicht-negativen x nur nicht-negative Werte annimmt. Um eine Matrix auf Kopositivität zu testen, wurde ein Branch-and-Bound-Verfahren entwickelt, welches auf verschiedenen hinreichenden Kriterien und Simplexpartitionierungen basiert. Zur Auswertung der hinreichenden Kriterien sind lineare und konvexe Optimierungsprobleme zu lösen.

Unter Nutzung von theoretischen Resultaten, die sich durch einen Zusammenhang zu gemischt-ganzzahligen Optimierungsproblemen und zu linearen Komplementaritätsproblemen ergeben, wurden weitere hinreichende und notwendige Kriterien für Kopositivät entwickelt und zu einem weiteren numerischen Algorithmus kombiniert.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder und I. Bomze, Copositivity detection by difference-of-convex decomposition and ω-subdivision. Mathematical Programming Ser. A, Vol. 138, 365 – 400, 2013.

C. Brás, G. Eichfelder und J. Júdice, Copositivity tests based on the Linear Complementarity Problem. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Optimierung in Anwendungen

Industriekooperationen mit

  • Tetra - Gesellschaft für Sensorik, Robotik und Automation mbH, Ilmenau (Master-Arbeit in 2014)
  • Fraunhofer IOSB-AST (Institutsteil Angewandte Systemtechnik des Fraunhofer "Institute of Optronics, System Technologies and Image Exploitation"), Ilmenau, im Bereich Kraftwerkseinsatzplanung (Bachelor-Arbeit in 2014) 
  • Siemens AG, Healthcare Sector, Erlangen, im Bereich SAR Modellierung für MR-Bildgebung (zuletzt April 2012 - März 2013)

Optimierung in der elektromagnetischen Strömungsmessung

Multikriterielle Optimierung in der Strahlentherapie

Datenreduzierung in der Magnetresonanztomographie

Optimierung in der elektromagnetischen Strömungsmessung

Eine der größten Herausforderungen der industriellen Strömungslehre ist es, die Fließgeschwindigkeit sehr heißer und aggressiver Flüssigkeiten wie Metall- und Glasschmelzen zu bestimmen. Mit dieser Herausforderung eng verwandt ist das Problem der Detektion von unzugänglich tief liegenden Materialdefekten in elektrisch leitfähigen Festkörpern. Im Jahr 2004 haben Wissenschaftler der Technischen Universität Ilmenau begonnen, zwei neuartige Methoden zu entwickeln, um diese beiden Herausforderungen zu meistern: Die elektromagnetische Strömungsmessung und die Wirbelstromprüfung mittels Lorentzkraft basieren auf dem Prinzip, die entstehenden Lorentzkräfte zu messen, wenn elektrisch leitfähige, sich bewegende Substanzen mit einem magnetischen Feld wechselwirken. In diesem Zusammenhang treten multikriterielle Optimierungsprobleme auf, bei denen Zielfunktionsauswertungen zeitaufwendige Simulationen erfordern. Zudem weisen diese Optimierungsprobleme meist einen heterogenen Charakter auf, d. h. nur eine der Zielfunktionen ist zeitaufwendig („teuer“) während die anderen Zielfunktionen etwa analytisch gegeben sind. Speziell für solche Probleme werden im Rahmen des Graduiertenkollegs „Elektromagnetische Strömungsmessung und Wirbelstromprüfung mittels Lorentzkraft" Optimierungsverfahren entwickelt. 

Graduiertenkolleg „Elektromagnetische Strömungsmessung und Wirbelstromprüfung mittels Lorentzkraft"

Anordnung von Punktmagneten zur Lorentzkraftmessung um ein Rohr

Ausgewählte Publikationen:

D. Terzijska, M. Porcelli und G. Eichfelder, Multi-objective optimization in the Lorentz force velocimetry framework. (Poster und Abstract), 13th International Workshop on Optimization and Inverse Problems in Electromagnetism, 2014, Delft, The Netherlands, 2014.

G. Eichfelder, X. Gandibleux, M.J. Geiger, J. Jahn, A. Jaszkiewicz, J. Knowles, P.K. Shukla, H. Trautmann und S. Wessing, Heterogeneous Functions, Seminarbericht, Understanding Complexity in Multiobjective Optimization, Dagstuhl Seminar 15031, 2015.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Multikriterielle Optimierung in der Strahlentherapie

In der intensitätsmodulierten Strahlentherapie treten ebenfalls komplexe Vektoroptimierungsprobleme auf. Hierbei geht es um eine effektive Bestrahlung eines Tumors bei gleichzeitiger Schonung des umliegenden gesunden Gewebes. Solche Optimierungsprobleme mit 400 Variablen und über 17.000 Restriktionen wurden durch ein neu entwickeltes Verfahren zur adaptiven Parametersteuerung gelöst. Dabei wird die Anzahl der Zielfunktionen durch die Anzahl der (relevanten) umliegenden gesunden Organe bestimmt.


Axialer Körperschnitt mit CT-Gerät.


Eine Approximation der effizienten Menge dieses Problems mit Hilfe eines adaptiven Verfahrens im Falle eines Prostatakarzinoms (umliegende gesunde Organe: Blase und Rektum) ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Approximation der effizienten Menge des bikriteriellen Optimierungsproblems.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder,
ε-Constraint Method with Adaptive Parameter Control and an Application To Intensity-Modulated Radiotherapy, In: Multicriteria Decision Making and Fuzzy Systems, Theory, Methods and Applications, eds.: K.-H. Küfer, H. Rommelfanger, C. Tammer and K. Winkler, Shaker, Aachen, 2006, p. 25 - 42.

G. Eichfelder, An Adaptive Scalarization Method in Multi-Objective Optimization, SIAM Journal on Optimization 19 (2009) 1694-1718.

G. Eichfelder, Adaptive Scalarization Methods in Multiobjective Optimization (Springer, Berlin, 2008).

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Datenreduzierung in der Magnetresonanztomographie

Signifikante Fortschritte in der Medizintechnik lassen sich heute oftmals nur durch Einsatz der Vektoroptimierung erzielen. Bei der Weiterentwicklung bekannter Geräte und auch bei der Entwicklung vollständig neuer medizintechnischer Geräte wird die Vektoroptimierung zurzeit erfolgreich eingesetzt. Bei der Magnetresonanztomographie (MRT) wird die Wechselwirkung des Messobjekts, z. B. des menschlichen Körpers, mit verschiedenen magnetischen Feldern ausgenutzt. Durch die hohen Magnetfelder, die hierfür nötig sind, kann es jedoch zu lokaler Erwärmung des Gewebes kommen. Aus diesem Grund müssen die sogenannten SAR-Werte in jedem 10g-Bereich des Körpers überwacht werden. Hierzu ist je Bereich die Integrationen über eine quadratische Form nötig. Um die enorme Anzahl an Daten sinnvoll zu reduzieren, können Techniken der Vektoroptimierung verwendet werden. Dabei geht es um die Frage: wie kann die zulässige Menge eines Vektoroptimierungsproblems geeignet erweitert werden, so dass die Menge der Optimallösungen des modifizierten Vektoroptimierungsproblems gezielt reduziert werden kann.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder und M. Gebhardt, Local specific absorption rate control for parallel transmission by virtual observation points. Magnetic Resonance in Medicine Vol. 66(5) (2011) 1468–1476, 2011.

G. Eichfelder und M. Gebhardt, Method for determining sensitivity matrices for hotspots. Patent (granted) US8624593 und CN102193078 und US20110224924, März 2011.

G. Eichfelder und M. Gebhardt, Verfahren zur Bestimmung von Sensitivitätsmatrizen für kritische Hotspots. Patent (granted) DE102010011588B4, Januar 2014.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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