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Univ.-Prof. Dr. rer. nat. habil. Gabriele Eichfelder

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INHALTE

Forschung

Forschung

Projects

 

Mixed integer nonlinear multiobjective optimization by outer approximations

Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 432218631

M. Sc. Leo Warnow, 2020-2023

The aim of the planned research is to develop a deterministic algorithmic solution procedure for multiobjective mixed integer nonlinear optimization problems (MOMIPs). Thus, we aim to solve problems which have multiple objectives and integer and continuous variables at the same time. These types of optimization problems arise in many application fields such as location or production planning, chemical engineering, finance, and manufacturing. MOMIPs combine all the difficulties of both, multiobjective optimization and mixed integer nonlinear programming, which are among the class of theoretically difficult problems (NP-complete). These problems are intrinsically nonconvex and thus require global optimization techniques. Therefore, the design of efficient solution methods is a big challenge.

 

Int2Grids: Integration of intelligent neighbourhood networks into interconnected networks; Sub-Project: Analysis of the influence of uncertainties for the development of a robust multiobjective optimization

Bundesministerium für Wirtschaft und Energie (BMWi) - Project number 03EI4013B

M. Sc. Ernest Quintana Aparicio, 2020-2023

          

Deutscher Titel: Integration von intelligenten Quartiersnetzen in Verbundnetze: Untersuchung des Einflusses von Unsicherheiten zur Entwicklung einer robusten Mehrzieloptimierung

Verbundvorhaben mit Prof. Christof Büskens, Universität Bremen; Prof. Sebastian Lehnhoff,  OFFIS e.V. , Institut für Informatik IAV, Oldenburg; IAV GmbH; EWE Netz GmbH

If neighborhood networks are integrated into overarching distributing networks, a pure optimization of the neighborhood networks under an externally defined weighting of the relevant targets does not do sufficiently justice to the problem. Moreover, uncertainties in the form of fluctuations or other disturbances can appear and a found solution has to be robust against that. In this subproject, the possibilities of the neighborhood networks for providing network and system services are investigated with respect to the individual targets, without aggregating these targets by a weighted sum, and, what is more, with regard to possible uncertainties. The individual criteria are considered individually as competing objectives. A trade-off between them is evaluated in a second step only, when the different, optimal possibilities, taking into account all criteria at the same time, have been determined. Thereby, the uncertainties are modeled using set-optimization to find robust solutions with new-to-develop procedures. If the uncertainties would not be considered within the optimization, the results would not be reliable. The susceptibility to faults could add up and have a negative effect on the entire system and lead to an unwanted destabilization of the network.

The focus of the work will be the study of the effects of uncertainties by using tools from set optimization. We will also study whether and how a combination of set optimization with sensitivity analysis can be useful. The working plan also contains solving the arising bi-level problems by using scalarization approaches, as well as to combine these approaches with KKT-based methods to identify similar structures and to develop hybrid algorithms. Another aspect is the extension of the developed methods to mixed integer problems. The new methods will be compared with existing ones, validated and tested, and all new research results will be published.

Pressemeldung

Optimierte Rezepturen für die Kunststoffmodifizierung

Firma GRAFE Advanced Polymers GmbH

Dr. Tobias Gerlach, 2020

Untersuchung der Anwendbarkeit mathematischer Methoden zur Erstellung optimierter Rezepturen zur Kunststoffmodifizierung.

Algorithmic approaches to set optimization

Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 392195690

M. Sc. Stefan Rocktäschel, 2018-2021

Set optimization problems have recently gained a lot of attraction as they appear in many important and timely applications such as finance (dynamic multivariate risk measures) and robust optimization (for instance in case decision uncertainty is taken into account). The main difficulty is that the values of the objective function are now sets and that a practical relevant optimality notion, known as set approach, requires that these sets have to be compared as a whole. This also implies that there is in general an infinite number of optimal solutions and it has to be the aim to find a representation of this set. While there is a continuously growing research in set optimization, it mostly concentrates on theoretical insights as on relations to other optimality concepts or derivative concepts for optimality conditions. So far there is only very limited research on algorithms for solving set optimization problems. With this project we intend to bring a significant contribution to the development of set optimization with the set approach by providing new theoretical insights which will be used for a new solution algorithm. We will follow a completely new direction by formulating suitable multiobjective optimization problems which can then be solved with the help of parameter dependent scalar-valued subproblems. We will allow the set optimization problems to be nonlinear, but other strong assumptions as on the smoothness will be required to allow to solve the arising scalar-valued subproblems numerically. Moreover, we will also bring new ideas to this growing research area by studying concepts like quality criteria for the evaluation of representations of the image of the optimal solution sets which are now union of sets. We also aim to contribute to the extension of classical concepts from scalar-valued optimization, as local and approximate optimal solutions, to set-valued problems which will be important for any algorithmic developments in this field. Our basic idea is to use minimal value functions for sufficient conditions for optimal solutions of the set optimization problem. Based on them new multiobjective optimization problems will be constructed where the objectives of these problems will be selected adaptively within the algorithm. The arising multiobjective problems will be solved by parameter dependent subproblems. The steering of these parameters will also be done adaptively to find representations of the optimal solution sets of the set optimization problem with a high quality and numerically efficient. The difficulties from the set optimization problem (as non-convexity) directly transfer to the difficulties of the subproblems. This limits the type of problems which can practically be solved. The theoretical results will nevertheless apply to wider classes of set optimization problems and will give a completely new direction also for further theoretical examinations as on optimality conditions.

Exact Approaches for Solving Multiobjective Mixed Integer Nonlinear Programming Problems

DAAD Vsiting Grant, granted to Prof. Marianna De Santis, Sapienza University of Rome for a 4 weeks visit, May 2019

Most real-world optimization problems in the areas of applied sciences, engineering and economics involve multiple, often conflicting and nonlinear, goals. In the mathematical model of these problems, under the necessity of reflecting discrete quantities, logical relationships or decisions, integer and 0-1-variables need to be considered. We are then in the context of MultiObjective Mixed Integer Nonlinear Problems (MO-MINLPs). MO-MINLP problems combine all the diculties of both MultiObjective Problems (MOPs) and Mixed Integer Nonlinear Programming problems (MINLPs), which are among the class of theoretically dicult problems (NP-complete). These problems are intrinsically nonconvex and thus require global optimization techniques. Therefore, the design of ecient solution methods is a big challenge for people working in optimization and operations research. The research activity will be devoted to the study and the de nition of new optimization methodologies to deal with a speci c class of MO-MINLPs: in particular, we plan to focus on convex multiobjective mixed integer programming problems.

  • Marianna De Santis, Gabriele Eichfelder, Julia Niebling and Stefan Rocktäschel, Solving Multiobjective Mixed Integer Convex Optimization Problems, Preprint-Series of the Institute for Mathematics, Technische Universität Ilmenau, Germany, submitted 05/2019. See also OptimizationOnline , 2019.

Global Multiobjective Optimization

Nachwuchsförderprogramm der Carl-Zeiss-Stiftung

M. Sc. Julia Niebling, 2017-2019

This project aims on the development of deterministic and efficient algorithms with a well-founded theoretical background for nonconvex multi-objective optimization problems. Thereby one has to compare vectors of objective function values based on the componentwise ordering in the multi-objective case. The new algorithms shall calculate a covering or a representation of the set of optimal solutions or of the image of this set under the objective function, respectively, with a predefined quality. The new algorithm will be based on the well-known Branch and Bound method, which is a global optimization method to solve scalar-valued problems. This method will be generalized to vector optimization by defining new and appropriate selection and branching rules. The basic idea of this algorithmic approach is a covering of the feasible set using boxes. The selection rules define which boxes will be partitioned in the next iteration of the algorithm and influence thus the quality of the covering/representation and the effectiveness of the procedure. For the bounding step criteria have to be determined which allow to omit sub-boxes in the remaining of the procedure. The main challenge is that the formulation of these criteria in the case of vector optimization requires the comparison of points with sets and sets with sets numerically. For doing this inner and outer approximations have to be found for these sets. This can be done by adapting known procedures for approximating the efficient set of convex multiobjective optimization problems.  Thus, the results of the project will also serve as an important step towards the development of numerical algorithms for the solution of more general set optimization problems.

  • Julia Niebling, Gabriele Eichfelder, A Branch-and-Bound based Algorithm for Nonconvex Multiobjective Optimization, SIAM Journal on Optimization, 29(1), 794 - 821, 2019.
  • Gabriele Eichfelder, Julia Niebling, Stefan Rocktäschel, An algorithmic approach to multiobjective optimization with decision uncertainty, Journal of Global Optimization,  77,  325, 2020.
  • Gabriele Eichfelder, Kathrin Klamroth, Julia Niebling, Nonconvex Constrained Optimization by a Filtering Branch and Bound, 37p., OptimizationOnline, 2020.
  • Julia Niebling, Gabriele Eichfelder, A Branch-and-Bound Algorithm for Biobjective Problems, Proceedings of the XIII Global Optimization Workshop GOW'16, 57-60, 2016.

GRK 1567:  Lorentz Force Velocimetry and Lorentz Force Eddy Current Testing

B-5 Multi-objective otimization of heterogeneous functions

Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 89085041

associated 2013-2015, Dr. Jana Thomann 2016-2018

 

In several projects of the Research Training Group optimization problems arise which have two or more conflicting objectives. Such problems are called multi-objective optimization problems. For instance, for the Lorentz force velocimetry it is important to find geometric arrangements of magnets such that the weight of the magnets is small while the measurable Lorentz force is large. These two objectives are competing and have to be optimized simultaneously. While the first is comparatively easy to evaluate, the values for the second objective can only be obtained by a time consuming (‘expensive’) numerical simulation run. Therefore, the goal of project B-5 is to develop a general procedure for multi-objective optimization problems where one of the objective functions is simulation based/expensive. A special focus of the project will be on the heterogeneous character of the objective functions. The procedure will be implemented and numerically tested. The algorithm will also be applied to optimization problems which arise in other projects of the Research Training Group as for instance that of the project B-4 from 2013-2015. The PhD student will further use his or her knowledge in mathematical optimization to perform a deep theoretical investigation of the algorithm. It is the aim to show its convergence and its ability to solve the problems of interest with a pre-defined quality.

  • Jana Thomann, Gabriele Eichfelder, A Trust-Region Algorithm for Heterogeneous Multiobjective Optimization, SIAM Journal on Optimization, 29(2), 1017 - 1047, 2019.
  • Jana Thomann, Gabriele Eichfelder, Numerical Results for the Multi-Objective Trust Region Algorithm MHT, Data in Briefs, 25 , 18 pages, 2019.
  • Jana Thomann, Gabriele Eichfelder,  Representation of the Pareto front for heterogeneous multi-objective optimizationzation,  Journal of Applied and Numerical Optimization, 1(3), 293-323, 2019.
  • Sebastian Prinz, Jana Thomann, Gabriele Eichfelder, Thomas Boeck, Jörg Schumacher, Expensive multi-objective optimization of electromagnetic mixing in a liquid metal, 23p., OptimizationOnline , 2019

Proper optimality and scalarizations for vector optimization problems with a variable ordering relation

DFG – Initiation and Intensification of Bilateral Cooperation

August 2012, guest: Prof. Refail Kasimbeyli, Izmir

It is planned to start joint research in the field of vector optimization, i.e. on optimization problems with a vector-valued objective function, and within this field especially on problems with a variable ordering structure replacing the common partial ordering. That problem class was mentioned already in 1974 in a fundamental paper on vector optimization problems but since then not much research was done in this area. A reason for that might have been that no applications were known using such an ordering principle which allows the preferences to depend on the current values in the image space. Recently, several applications for instance in medical image registration or portfolio optimization have risen the interest and for that reason it is of importance to study these optimization problems more deeply. The basic theory is meanwhile understood, but for deeper understanding several optimality concepts like the notion of proper optimality -- known from vector optimization in partially ordered spaces because of their importance in applications -- need to be studied in this new context. Proper optimality is in general closely related to scalarization functionals such that one needs to study also those and the applicants plan to apply their joint knowledge also here.

  • Gabriele Eichfelder and Refail Kasimbeyli, Properly optimal elements in vector optimization with variable ordering structures, Journal of Global Optimization, Volume 60(4), 689-712, 2014. [pdf]

Vektor- und Mengenoptimierung

Stand: 2016, wird demnächst überarbeitet.

In der Vektoroptimierung werden Optimierungsprobleme mit einer vektorwertigen Zielfunktion betrachtet. Die Mengenoptimierung (d. h. die Optimierung mit mengenwertigen Abbildungen) ist eine Erweiterung der Vektoroptimierung auf den mengenwertigen Fall und erfordert den Vergleich von Mengen.

Numerische Verfahren der Vektoroptimierung

Skalarisierungen in der Vektor- und Mengenoptimierung

Ordnungsrelationen und Präferenzstrukturen

Optimalitätsbedingungen und Dualität

Numerische Verfahren der Vektoroptimierung

Zum Lösen von speziellen Klassen von Vektoroptimierungsproblemen wurden verschiedene neue Verfahren entwickelt. Siehe auch unter Software.

 

Abbildung 1 Approximation der effizienten Menge mit neuem Verfahren (links) und mit der Methode der gewichteten Summe (rechts).

 

Für multikriterielle, insbesondere für bikriterielle Probleme, wurde ein Verfahren entwickelt, welches eine konzise und gleichzeitig repräsentative Approximation der Bildmenge der minimalen Elemente, der sog. effizienten Menge, in halbgeordneten Vektorräumen ermöglicht. Hierzu wurde ein neues Verfahren zur adaptiven Parametersteuerung für viele Skalarisierungsansätze (u. a. Verfahren von Pascoletti und Serafini, e-constraint-Methode, modifiziertes Polak-Verfahren, NBI-Methode von Das und Dennis, ...) entwickelt.

In der multikriteriellen Zwei-Ebenen-Optimierung (Bilevel-Optimierung) betrachtet man miteinander gekoppelte Optimierungsprobleme auf zwei Ebenen, bei denen die Entscheidungsvariable des übergeordneten Problems als Parametrisierung des untergeordneten Optimierungsproblems angesehen werden kann. Die Minimallösung des untergeordneten Problems fließt wiederum in die Zielfunktion des Optimierungsproblems der oberen Ebene ein. Speziell für bikriterielle Zielfunktionen sowohl auf der oberen als auch auf der unteren Ebene wurde ein numerisches Verfahren zur Lösung eines solchen Problems entwickelt.

Im Zusammenhang mit einer Problemstellung aus der Datenreduzierung in der  Magnetresonanztomographie, wie sie in Zusammenarbeit mit der Siemens AG untersucht wurde, wurde zudem die folgende Fragestellung betrachtet: wie kann die zulässige Menge eines Vektoroptimierungsproblems geeignet erweitert werden, so dass die Menge der Optimallösungen des modifizierten Vektoroptimierungsproblems gezielt reduziert werden kann. Dies wurde ebenfalls numerisch umgesetzt. Das betrachtete Vektoroptimierungsproblem war dabei ein Problem im Raum der hermiteschen Matrizen, halbgeordnet durch den Kegel der positiv semidefiniten Matrizen.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder, Adaptive Scalarization Methods in Multiobjective Optimization. Springer, 2008.

G. Eichfelder, An Adaptive Scalarization Method in Multi-Objective Optimization, SIAM Journal on Optimization, 2009.

G. Eichfelder, Multiobjective bilevel optimization, Mathematical Programming Ser. A, 2010.

G. Eichfelder und M. Gebhardt, Method for determining sensitivity matrices for hotspots.
Patent (granted) US8624593 und CN102193078 und US20110224924, März 2011.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Skalarisierungen in der Vektor- und Mengenoptimierung

Ein wichtiger Zugang für theoretische Untersuchungen und für die Entwicklung numerischer Verfahren in der Vektor- und Mengenoptimierung sind Skalarisierungsansätze. Dabei wird das ursprüngliche Problem durch ein meist parameterabhängiges skalarwertiges Optimierungsproblem ersetzt. Durch verschiedene Wahlen von Parametern können so verschiedene Optimallösungen gefunden werden. Durch die Anwendung von Resultaten der skalarwertigen Optimierung können zudem theoretische Resultate für die vektor- und mengenwertigen Optimierungsprobleme abgeleitet werden.

Neben den in der Literatur bekannten Ansätzen, wie dem Tammer-Weidner-Funktional oder linearen Skalarisierungen, wurde eine neue Skalarisierung eingeführt. Diese basiert auf einer Darstellung der betrachteten Ordnungskegel als Bishop-Phelps Kegel.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder, Adaptive Scalarization Methods in Multiobjective Optimization.
Springer, 2008.

G. Eichfelder und R. Kasimbeyli, Properly optimal elements in vector optimization with variable ordering structures. Journal of Global Optimization, Vol. 60(5), 597 – 627, 2014.

G. Eichfelder und M. Pilecka, Set approach for set optimization with variable ordering structures. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

T. Q. Bao, G. Eichfelder, B. Soleimani und Chr. Tammer, Ekeland’s variational principle for vector optimization with variable ordering structure. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Ordnungsrelationen und Präferenzstrukturen

Bei Vektoroptimierungsproblemen spielen Ordnungskonzepte im Bildraum eine wichtige Rolle. Diese Binärrelationen bilden zum Beispiel die Präferenzen eines Entscheidungsträgers ab, der mehrere Ziele gleichzeitig verfolgt. Anwendungen etwa in der medizinischen Bildregistrierung zeigen, dass Halbordnungen nicht immer ausreichen, um Probleme mathematisch zu formulieren. Stattdessen wurden variable Ordnungskonzepte betrachtet. Diese werden durch eine kegelwertige Abbildung und spezielle binäre Relationen mathematisch modelliert.

Mit dem Ziel der Entwicklung einer grundlegenden Theorie für derartige Probleme wurden bisher Eigenschaften optimaler Elemente, Skalarisierungen, Optimalitätsbedingungen, Variationsprinzipien und Dualitätsaussagen studiert. Hinzu kommt die Entwicklung numerischer Verfahren, um solche Probleme auch in der Praxis lösen zu können.

In der Mengenoptimierung müssen zudem Binärrelationen zum Vergleich von Mengen betrachtet werden. Diese sind oft nicht transitiv oder nicht einmal reflexiv. In der Mengenoptimierung mit variablen Ordnungsrelationen wurden hierzu eine Vielzahl von möglichen Binärrelationen studiert und ihre praktische Relevanz diskutiert.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder und T. X. D. Ha, Optimality conditions for vector optimization problems with variable ordering structures. Optimization, Vol. 62(5), 597 – 627, 2013.

G. Eichfelder, Variable Ordering Structures in Vector Optimization. Springer, Heidelberg, ISBN: 978-3-642-54282-4.

G. Eichfelder und R. Kasimbeyli, Properly optimal elements in vector optimization with variable ordering structures. Journal of Global Optimization, Vol. 60(5), 597 – 627, 2014.

G. Eichfelder und M. Pilecka, Set approach for set optimization with variable ordering structures. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

G. Eichfelder und T. Gerlach, Characterization of proper optimal elements with variable ordering structures. Optimization, Doi 10.1080/02331934.2015.1040793, 2015.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Optimalitätsbedingungen und Dualität

Grundlegend in der Theorie der mathematischen Optimierung sind Untersuchungen zu Optimalitätsbedingungen sowie die Formulierung und Betrachtung dualer Probleme. Die bekanntesten Optimalitätsbedingungen der nichtlinearen Optimierung sind sicherlich die KKT-Bedingungen. Ein möglicher Zugang zur Herleitung von Optimalitätsbedingungen für vektor- und mengenwertigen Optimierungsproblemen sind dabei oft Skalarisierungsansätze. Unter Nutzung neuer Skalarisierungen wurden erstmals Optimalitätsbedingungen für Optimierungsprobleme mit variablen Ordnungsstrukturen eingeführt.

Durch die Formulierung geeigneter dualer Probleme, etwa allgemeiner dualer Mengen oder etwa mit Hilfe linearer Funktionale, können den ursprünglichen primalen Problemen duale (etwa Maximierungs- statt Minimierungs-)Probleme zugeordnet werden.  

Ausgewälte Publikationen:

G. Eichfelder, Variable Ordering Structures in Vector Optimization. Springer, Heidelberg, ISBN: 978-3-642-54282-4.

G. Eichfelder und T. X .D. Ha, Optimality conditions for vector optimization problems with variable ordering structures. Optimization, Vol. 62(5), 597 – 627, 2013.

T .Q. Bao, G. Eichfelder, B. Soleimani und Chr. Tammer, Ekeland’s variational principle for vector optimization with variable ordering structure. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Globale Optimierung

Kopositive Optimierung

In der mengen-semidefiniten Optimierung werden Optimierungsprobleme mit einer vektorwertigen Zielfunktion und speziellen Ungleichungsrestriktionen untersucht. Ist Y ein normierter Vektorraum und K eine Teilmenge von Y, so basieren diese Ungleichungsrestriktionen auf einer Halbordnung im Raum der stetigen linearen Abbildungen L(Y,Y * ), die durch den Kegel C^K_L der so genannten K-semidefiniten Abbildungen gegeben ist:

C^K_L := C^K_{L(Y, Y^*)} := \{A \in L(Y, Y*) \; | \; \langle Ay, y \rangle \geq 0 für alle y \in K\}.

Es wird also gefordert, dass die zur linearen Abbildung A gehörige quadratische Form nichtnegativ auf einer Teilmenge K des Raumes Y ist. Im endlichdimensionalen Fall Y=R^n erhalten wir für K=R^n semidefinite und für K=R^n_+ kopositive Optimierungsprobleme und erweitern diese wichtigen Problemklassen vektorwertig. Für den K-semidefiniten Kegel wurden bereits Rechenregeln und verschiedene Eigenschaften sowie der Dualkegel und das Innere untersucht. Für das Vektoroptimierungsproblem wurden Optimalitätsbedingungen sowie Dualitätsaussagen entwickelt. Zur Lösung dieser Probleme steht ein Penalty-Ansatz zur Verfügung.

Es konnte weiterhin gezeigt werden, dass sich quadratische nichtkonvexe Optimierungsprobleme mit linearen Nebenbedingungen und Binärvariablen über einer Menge K unter geeigneten Voraussetzungen an K als lineare Optimierungsprobleme über den Dualkegel der K-semidefiniten Matrizen formulieren lassen.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder und J. Jahn, Set-semidefinite Optimization, Journal of Convex Analysis, 2008.

G. Eichfelder und J. Jahn, Foundations of set-semidefinite optimization. Kapitel 18 in: Nonlinear Analysis and Variational Problems, P. Pardalos, Th. M. Rassias und A. A. Khan (Eds.), Springer, 259 – 284, 2009.

G. Eichfelder und J. Povh, On the set-semidefinite representation of nonconvex quadratic programs over arbitrary feasible sets, Optimization, Vol. 62(5), 597 - 627, 2013.

P. Dickinson, G. Eichfelder und J. Povh, On the set-semidefinite representation of nonconvex quadratic programs over arbitrary feasible sets, Optimization Letters Vol. 7(6), 1387 – 1397, 2013.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Numerische Verfahren der kopositiven Optimierung

Kopositive Optimierungsprobleme sind lineare Optimierungsprobleme über dem Kegel der kopositiven Matrizen. Diese Problemklasse ist von besonderem Interesse, da sich etwa das Max-Clique-Problem als kopositives Optimierungsproblem formulieren lässt. Eine Matrix A ist kopositiv, wenn deren quadratische Form xTAx für alle nicht-negativen x nur nicht-negative Werte annimmt. Um eine Matrix auf Kopositivität zu testen, wurde ein Branch-and-Bound-Verfahren entwickelt, welches auf verschiedenen hinreichenden Kriterien und Simplexpartitionierungen basiert. Zur Auswertung der hinreichenden Kriterien sind lineare und konvexe Optimierungsprobleme zu lösen.

Unter Nutzung von theoretischen Resultaten, die sich durch einen Zusammenhang zu gemischt-ganzzahligen Optimierungsproblemen und zu linearen Komplementaritätsproblemen ergeben, wurden weitere hinreichende und notwendige Kriterien für Kopositivät entwickelt und zu einem weiteren numerischen Algorithmus kombiniert.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder und I. Bomze, Copositivity detection by difference-of-convex decomposition and ω-subdivision. Mathematical Programming Ser. A, Vol. 138, 365 – 400, 2013.

C. Brás, G. Eichfelder und J. Júdice, Copositivity tests based on the Linear Complementarity Problem. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Optimierung in Anwendungen

wird demnächst überarbeitet (März 2020)

 

Industriekooperationen mit

Firma GRAFE Advanced Polymers GmbH, forschungsnahe Dienstleistung: Optimierte Rezepturen für die Kunststoffmodifizierung, Untersuchung der Anwendbarkeit mathematischer Methoden zur Erstellung optimierter Rezepturen zur Kunststoffmodifizierung. 04-06/2020http://www.tetra-ilmenau.de/

Tetra - Gesellschaft für Sensorik, Robotik und Automation mbH, Ilmenau (Master-Arbeit in 2014)

Fraunhofer IOSB-AST (Institutsteil Angewandte Systemtechnik des Fraunhofer "Institute of Optronics, System Technologies and Image Exploitation"), Ilmenau, im Bereich Kraftwerkseinsatzplanung (Bachelor-Arbeit in 2014)

Siemens AG, Healthcare Sector, Erlangen, im Bereich SAR Modellierung für MR-Bildgebung (zuletzt April 2012 - März 2013)

 

Optimierung in der elektromagnetischen Strömungsmessung

Multikriterielle Optimierung in der Strahlentherapie

Datenreduzierung in der Magnetresonanztomographie

Optimierung in der elektromagnetischen Strömungsmessung

Eine der größten Herausforderungen der industriellen Strömungslehre ist es, die Fließgeschwindigkeit sehr heißer und aggressiver Flüssigkeiten wie Metall- und Glasschmelzen zu bestimmen. Mit dieser Herausforderung eng verwandt ist das Problem der Detektion von unzugänglich tief liegenden Materialdefekten in elektrisch leitfähigen Festkörpern. Im Jahr 2004 haben Wissenschaftler der Technischen Universität Ilmenau begonnen, zwei neuartige Methoden zu entwickeln, um diese beiden Herausforderungen zu meistern: Die elektromagnetische Strömungsmessung und die Wirbelstromprüfung mittels Lorentzkraft basieren auf dem Prinzip, die entstehenden Lorentzkräfte zu messen, wenn elektrisch leitfähige, sich bewegende Substanzen mit einem magnetischen Feld wechselwirken. In diesem Zusammenhang treten multikriterielle Optimierungsprobleme auf, bei denen Zielfunktionsauswertungen zeitaufwendige Simulationen erfordern. Zudem weisen diese Optimierungsprobleme meist einen heterogenen Charakter auf, d. h. nur eine der Zielfunktionen ist zeitaufwendig („teuer“) während die anderen Zielfunktionen etwa analytisch gegeben sind. Speziell für solche Probleme werden im Rahmen des Graduiertenkollegs „Elektromagnetische Strömungsmessung und Wirbelstromprüfung mittels Lorentzkraft" Optimierungsverfahren entwickelt. 

Graduiertenkolleg „Elektromagnetische Strömungsmessung und Wirbelstromprüfung mittels Lorentzkraft"

Anordnung von Punktmagneten zur Lorentzkraftmessung um ein Rohr

Ausgewählte Publikationen:

D. Terzijska, M. Porcelli und G. Eichfelder, Multi-objective optimization in the Lorentz force velocimetry framework. (Poster und Abstract), 13th International Workshop on Optimization and Inverse Problems in Electromagnetism, 2014, Delft, The Netherlands, 2014.

G. Eichfelder, X. Gandibleux, M.J. Geiger, J. Jahn, A. Jaszkiewicz, J. Knowles, P.K. Shukla, H. Trautmann und S. Wessing, Heterogeneous Functions, Seminarbericht, Understanding Complexity in Multiobjective Optimization, Dagstuhl Seminar 15031, 2015.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Multikriterielle Optimierung in der Strahlentherapie

In der intensitätsmodulierten Strahlentherapie treten ebenfalls komplexe Vektoroptimierungsprobleme auf. Hierbei geht es um eine effektive Bestrahlung eines Tumors bei gleichzeitiger Schonung des umliegenden gesunden Gewebes. Solche Optimierungsprobleme mit 400 Variablen und über 17.000 Restriktionen wurden durch ein neu entwickeltes Verfahren zur adaptiven Parametersteuerung gelöst. Dabei wird die Anzahl der Zielfunktionen durch die Anzahl der (relevanten) umliegenden gesunden Organe bestimmt.


Axialer Körperschnitt mit CT-Gerät.


Eine Approximation der effizienten Menge dieses Problems mit Hilfe eines adaptiven Verfahrens im Falle eines Prostatakarzinoms (umliegende gesunde Organe: Blase und Rektum) ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Approximation der effizienten Menge des bikriteriellen Optimierungsproblems.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder,
ε-Constraint Method with Adaptive Parameter Control and an Application To Intensity-Modulated Radiotherapy, In: Multicriteria Decision Making and Fuzzy Systems, Theory, Methods and Applications, eds.: K.-H. Küfer, H. Rommelfanger, C. Tammer and K. Winkler, Shaker, Aachen, 2006, p. 25 - 42.

G. Eichfelder, An Adaptive Scalarization Method in Multi-Objective Optimization, SIAM Journal on Optimization 19 (2009) 1694-1718.

G. Eichfelder, Adaptive Scalarization Methods in Multiobjective Optimization (Springer, Berlin, 2008).

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Datenreduzierung in der Magnetresonanztomographie

Signifikante Fortschritte in der Medizintechnik lassen sich heute oftmals nur durch Einsatz der Vektoroptimierung erzielen. Bei der Weiterentwicklung bekannter Geräte und auch bei der Entwicklung vollständig neuer medizintechnischer Geräte wird die Vektoroptimierung zurzeit erfolgreich eingesetzt. Bei der Magnetresonanztomographie (MRT) wird die Wechselwirkung des Messobjekts, z. B. des menschlichen Körpers, mit verschiedenen magnetischen Feldern ausgenutzt. Durch die hohen Magnetfelder, die hierfür nötig sind, kann es jedoch zu lokaler Erwärmung des Gewebes kommen. Aus diesem Grund müssen die sogenannten SAR-Werte in jedem 10g-Bereich des Körpers überwacht werden. Hierzu ist je Bereich die Integrationen über eine quadratische Form nötig. Um die enorme Anzahl an Daten sinnvoll zu reduzieren, können Techniken der Vektoroptimierung verwendet werden. Dabei geht es um die Frage: wie kann die zulässige Menge eines Vektoroptimierungsproblems geeignet erweitert werden, so dass die Menge der Optimallösungen des modifizierten Vektoroptimierungsproblems gezielt reduziert werden kann.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder und M. Gebhardt, Local specific absorption rate control for parallel transmission by virtual observation points. Magnetic Resonance in Medicine Vol. 66(5) (2011) 1468–1476, 2011.

G. Eichfelder und M. Gebhardt, Method for determining sensitivity matrices for hotspots. Patent (granted) US8624593 und CN102193078 und US20110224924, März 2011.

G. Eichfelder und M. Gebhardt, Verfahren zur Bestimmung von Sensitivitätsmatrizen für kritische Hotspots. Patent (granted) DE102010011588B4, Januar 2014.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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