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Arbeitsgruppe Optimierung


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Ansprechpartner

Univ.-Prof. Dr. rer. nat. habil. Gabriele Eichfelder

Fachgebietsleiterin

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INHALTE

Vektor- und Mengenoptimierung

In der Vektoroptimierung werden Optimierungsprobleme mit einer vektorwertigen Zielfunktion betrachtet. Die Mengenoptimierung (d. h. die Optimierung mit mengenwertigen Abbildungen) ist eine Erweiterung der Vektoroptimierung auf den mengenwertigen Fall und erfordert den Vergleich von Mengen.

Numerische Verfahren der Vektoroptimierung

Skalarisierungen in der Vektor- und Mengenoptimierung

Ordnungsrelationen und Präferenzstrukturen

Optimalitätsbedingungen und Dualität

Numerische Verfahren der Vektoroptimierung

Zum Lösen von speziellen Klassen von Vektoroptimierungsproblemen wurden verschiedene neue Verfahren entwickelt.

 

Abbildung 1 Approximation der effizienten Menge mit neuem Verfahren (links) und mit der Methode der gewichteten Summe (rechts).

 

Für multikriterielle, insbesondere für bikriterielle Probleme, wurde ein Verfahren entwickelt, welches eine konzise und gleichzeitig repräsentative Approximation der Bildmenge der minimalen Elemente, der sog. effizienten Menge, in halbgeordneten Vektorräumen ermöglicht. Hierzu wurde ein neues Verfahren zur adaptiven Parametersteuerung für viele Skalarisierungsansätze (u. a. Verfahren von Pascoletti und Serafini, e-constraint-Methode, modifiziertes Polak-Verfahren, NBI-Methode von Das und Dennis, ...) entwickelt.

In der multikriteriellen Zwei-Ebenen-Optimierung (Bilevel-Optimierung) betrachtet man miteinander gekoppelte Optimierungsprobleme auf zwei Ebenen, bei denen die Entscheidungsvariable des übergeordneten Problems als Parametrisierung des untergeordneten Optimierungsproblems angesehen werden kann. Die Minimallösung des untergeordneten Problems fließt wiederum in die Zielfunktion des Optimierungsproblems der oberen Ebene ein. Speziell für bikriterielle Zielfunktionen sowohl auf der oberen als auch auf der unteren Ebene wurde ein numerisches Verfahren zur Lösung eines solchen Problems entwickelt.

Im Zusammenhang mit einer Problemstellung aus der Datenreduzierung in der  Magnetresonanztomographie, wie sie in Zusammenarbeit mit der Siemens AG untersucht wurde, wurde zudem die folgende Fragestellung betrachtet: wie kann die zulässige Menge eines Vektoroptimierungsproblems geeignet erweitert werden, so dass die Menge der Optimallösungen des modifizierten Vektoroptimierungsproblems gezielt reduziert werden kann. Dies wurde ebenfalls numerisch umgesetzt. Das betrachtete Vektoroptimierungsproblem war dabei ein Problem im Raum der hermiteschen Matrizen, halbgeordnet durch den Kegel der positiv semidefiniten Matrizen.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder, Adaptive Scalarization Methods in Multiobjective Optimization. Springer, 2008.

G. Eichfelder, An Adaptive Scalarization Method in Multi-Objective Optimization, SIAM Journal on Optimization, 2009.

G. Eichfelder, Multiobjective bilevel optimization, Mathematical Programming Ser. A, 2010.

G. Eichfelder und M. Gebhardt, Method for determining sensitivity matrices for hotspots.
Patent (granted) US8624593 und CN102193078 und US20110224924, März 2011.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Skalarisierungen in der Vektor- und Mengenoptimierung

Ein wichtiger Zugang für theoretische Untersuchungen und für die Entwicklung numerischer Verfahren in der Vektor- und Mengenoptimierung sind Skalarisierungsansätze. Dabei wird das ursprüngliche Problem durch ein meist parameterabhängiges skalarwertiges Optimierungsproblem ersetzt. Durch verschiedene Wahlen von Parametern können so verschiedene Optimallösungen gefunden werden. Durch die Anwendung von Resultaten der skalarwertigen Optimierung können zudem theoretische Resultate für die vektor- und mengenwertigen Optimierungsprobleme abgeleitet werden.

Neben den in der Literatur bekannten Ansätzen, wie dem Tammer-Weidner-Funktional oder linearen Skalarisierungen, wurde eine neue Skalarisierung eingeführt. Diese basiert auf einer Darstellung der betrachteten Ordnungskegel als Bishop-Phelps Kegel.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder, Adaptive Scalarization Methods in Multiobjective Optimization.
Springer, 2008.

G. Eichfelder und R. Kasimbeyli, Properly optimal elements in vector optimization with variable ordering structures. Journal of Global Optimization, Vol. 60(5), 597 – 627, 2014.

G. Eichfelder und M. Pilecka, Set approach for set optimization with variable ordering structures. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

T. Q. Bao, G. Eichfelder, B. Soleimani und Chr. Tammer, Ekeland’s variational principle for vector optimization with variable ordering structure. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Ordnungsrelationen und Präferenzstrukturen

Bei Vektoroptimierungsproblemen spielen Ordnungskonzepte im Bildraum eine wichtige Rolle. Diese Binärrelationen bilden zum Beispiel die Präferenzen eines Entscheidungsträgers ab, der mehrere Ziele gleichzeitig verfolgt. Anwendungen etwa in der medizinischen Bildregistrierung zeigen, dass Halbordnungen nicht immer ausreichen, um Probleme mathematisch zu formulieren. Stattdessen wurden variable Ordnungskonzepte betrachtet. Diese werden durch eine kegelwertige Abbildung und spezielle binäre Relationen mathematisch modelliert.

Mit dem Ziel der Entwicklung einer grundlegenden Theorie für derartige Probleme wurden bisher Eigenschaften optimaler Elemente, Skalarisierungen, Optimalitätsbedingungen, Variationsprinzipien und Dualitätsaussagen studiert. Hinzu kommt die Entwicklung numerischer Verfahren, um solche Probleme auch in der Praxis lösen zu können.

In der Mengenoptimierung müssen zudem Binärrelationen zum Vergleich von Mengen betrachtet werden. Diese sind oft nicht transitiv oder nicht einmal reflexiv. In der Mengenoptimierung mit variablen Ordnungsrelationen wurden hierzu eine Vielzahl von möglichen Binärrelationen studiert und ihre praktische Relevanz diskutiert.

Ausgewählte Publikationen:

G. Eichfelder und T. X. D. Ha, Optimality conditions for vector optimization problems with variable ordering structures. Optimization, Vol. 62(5), 597 – 627, 2013.

G. Eichfelder, Variable Ordering Structures in Vector Optimization. Springer, Heidelberg, ISBN: 978-3-642-54282-4.

G. Eichfelder und R. Kasimbeyli, Properly optimal elements in vector optimization with variable ordering structures. Journal of Global Optimization, Vol. 60(5), 597 – 627, 2014.

G. Eichfelder und M. Pilecka, Set approach for set optimization with variable ordering structures. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

G. Eichfelder und T. Gerlach, Characterization of proper optimal elements with variable ordering structures. Optimization, Doi 10.1080/02331934.2015.1040793, 2015.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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Optimalitätsbedingungen und Dualität

Grundlegend in der Theorie der mathematischen Optimierung sind Untersuchungen zu Optimalitätsbedingungen sowie die Formulierung und Betrachtung dualer Probleme. Die bekanntesten Optimalitätsbedingungen der nichtlinearen Optimierung sind sicherlich die KKT-Bedingungen. Ein möglicher Zugang zur Herleitung von Optimalitätsbedingungen für vektor- und mengenwertigen Optimierungsproblemen sind dabei oft Skalarisierungsansätze. Unter Nutzung neuer Skalarisierungen wurden erstmals Optimalitätsbedingungen für Optimierungsprobleme mit variablen Ordnungsstrukturen eingeführt.

Durch die Formulierung geeigneter dualer Probleme, etwa allgemeiner dualer Mengen oder etwa mit Hilfe linearer Funktionale, können den ursprünglichen primalen Problemen duale (etwa Maximierungs- statt Minimierungs-)Probleme zugeordnet werden.  

Ausgewälte Publikationen:

G. Eichfelder, Variable Ordering Structures in Vector Optimization. Springer, Heidelberg, ISBN: 978-3-642-54282-4.

G. Eichfelder und T. X .D. Ha, Optimality conditions for vector optimization problems with variable ordering structures. Optimization, Vol. 62(5), 597 – 627, 2013.

T .Q. Bao, G. Eichfelder, B. Soleimani und Chr. Tammer, Ekeland’s variational principle for vector optimization with variable ordering structure. Preprint-Serie des Instituts für Mathematik, TU Ilmenau, 2014.

Zuletzt geändert am 01.04.2015

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