Bei dissipativen dynamischen Systemen ist - insbesondere im Rahmen der Modellbildung - meist das Langzeitverhalten, und damit der sogenannte Attraktor des dynamischen Systems von besonderem Interesse. Eine wichtige Eigenschaft des Attraktors ist dabei dessen Dimension. Zum einen kann die Dimension des Attraktors einen Anhaltspunkt für die Art des vorliegenden dynamischen Systems geben: ganzzahlige Dimensionswerte deuten auf reguläre, nicht ganzzahlige Dimensionswerte hingegen auf chaotische dynamische Systeme hin. Darüber hinaus kann die Dimension des Attaktors beispielsweise bei der Modellbildung einen Anhaltspunkt für die Anzahl der benötigten unabhängigen Variablen liefern. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich daher mit den Möglichkeiten die Dimension eines (diskreten) dissipativen dynamischen Systems numerisch zu bestimmen. Ausgehend von einer Zusammenfassung der wichtigsten mathematischen Grundlagen und einer kurzen Einführung in die Begriffe der dynamischen Systeme, werden die verschiedenen, in der Literatur gängigen Dimensionsbegriffe einheitlich motiviert und dargelegt. Nach einer Bewertung der numerischen Bestimmbarkeit der unterschiedlichen Dimensionsbegriffe werden für die am geeignetsten erscheinenden Dimensionsbegriffe - Lyapunov-Dimension und Korrelationsdimension - Algorithmen motiviert und dargestellt sowie diese Algorithmen an Beispielen getestet. Abschließend werden die erhaltenen Resultate bzgl. der Genauigkeit der Resultate und der dafür benötigten Laufzeiten miteinander verglichen.

Das Ergebnis der Bachelorarbeit mit dem Thema: "Ein implizites parallelisierbares Runge-Kutta-Verfahren" ist das Auffinden eines problemspezifischen implizites Runge-Kutta-Verfahrens der Konsistenzordnung 2, welches die Eigenschaft der A-Stabilität erfüllt. Zunächst wird im ersten Kapitel ein kurzer Überblick über die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen gegeben. Anschließend wird auf die Grundlagen der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen eingegangen, verschiedene implizite Runge-Kutta-Verfahren vorgestellt und deren Stabilitätseigenschaften beschrieben. Im fünften Kapitel werden Verfahren zur numerischen Lösung von Gleichungenssystemen vorgestellt, um somit die Gleichungen, welche bei der Berechnung der impliziten Runge-Kutta-Verfahren auftreten, zu berechnen. Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit der Konstruktion des Runge-Kutta-Verfahrens und des Algorithmus zur Lösung eines Anfangwertproblems. Ferner wurden die Stabilitätseigenschaften des Verfahrens untersucht. Hierbei hat sich herausgestellt, dass das konstruierte Verfahren A-stabil, AN-stabil, B-stabil und algebraisch stabil ist. Allerdings sind die Voraussetzungen der starken A-Stabilität und der L-Stabilität nicht erfüllt. Anschließend wurde der Algorithmus an einem einfachen Testproblem, sowie an einer Variante des Broadwell-Modells überprüft. Im letzten Kapitel wurde mit einem adaptiven Verfahren noch eine Möglichkeit angegeben, den lokalen Diskretisierungsfehler mithilfe eines Kontrollverfahrens abschätzen zu können. Die im Unterkapitel 5.3 angegebenen Eigenschaften der Funktion J stimmen mit denen des Kollisionsoperators des allgemeinen diskreten Geschwindigkeitsmodells überein, wobei dieser parallel ausgewertet wird. Aus diesem Grund eignet sich der Algorithmus zur numerischen Lösung der Standardform des diskreten, linearisierten Geschwindigkeitsmodells der Boltzmanngleichung. Aufgrund der Stabilitätseigenschaften des impliziten Runge-Kutta-Verfahrens, lässt dieses Verfahren eine größere Schrittweite zur Berechnung der Lösung zu. Dies führt letztendlich zu einer schnelleren Berechnung der Differentialgleichungen bzw. bietet es die Möglichkeit bei komplexeren Modellen überhaupt zu einer Lösung zu gelangen.

In dieser Arbeit geht es um die näherungsweise Bestimmung von nichtlinearen skalaren Gleichungen mit festem Parameterwert a. Es wurde untersucht, ob die quadratische Konvergenz des Newtonverfahrens auf eine beliebig hohe Konvergenzordnung ausgeweitet werden kann. Dies wurde an einigen Beispielen in Maple untersucht.

Meine Diplomarbeit beschreibt die numerische Verfahren für die lineare Advektionsgleichungen. Die linearen Advektionsgleichungen sind spezielle partielle Differentialgleichungen. Mit der verschiedene numerische Verfahren kann man die Nährungswert von den liearen Advektionsgleichung bestimmen. Die verschiedene Verfahren haben verschiedene Eigenschaften, z.B Konvergent, Stabilität, CFL-Bedingung usw. Wenn ein numerische Verfahren Konsistent und Stabilität ist, ist das Verfahren Konvergent. Für mehrer Dimensionen kann man durch spezielle numerische Verfahren anwenden, z.B. Taylorreihen-Verfahren, Charaktristiken-Verfahren und Operator-Splitting-Verfahren.

Dynamische Systeme sind ein wesentlicher Bestandteil zur Beschreibung zeitabhängiger Prozesse. Da allerdings die quantitative Analyse dynamischer Systeme eien sehr komplexe Problematik ist, wurden, um diesen Sachverhalt zu vereinfachen, gewisse gemittelte größen, die sogenannten Lyapunov-Exponenten eingeführt. Diese sind ein maß dafür, wie stark sich zwei benachbarte Trajektorien im Verlauf des dynamischen Systems einander annähern oder voneinander entfernen. Die Menge aller Lyapunov-Exponenten eines Systems nennt man das LCE-Spektrum. Es dient der Klassifikation der verschiedenen Attraktortypen und des Chaos. Im Rahmen dieser Arbeit wurden drei numerische Verfahren zur Bestimmung des LCE-Spektrums aufbereitet, praktisch in Matlab umgesetzt und miteinander verglichen. Die in dieser Arbeit vorgestellten Berechnungsverfahren basieren auf der Gram-Schmidt-Orthogonalisierung, der Singulärwertzerlegung und der QR-Zerlegung. Für diese Verfahren werden Möglichkeiten zur Bestimmung einer geeigneten Anzahl an Iterationsschritten und einer günstigen Integrationsschrittweite vorgestellt, die auch als Ansatzpunkt für die Vergleiche verwendet werden.