Studentinnen und Studenten hören eine Vorlesung im Hörsaal, zwei Laptops sind zu sehenTU Ilmenau / Michael Reichel (ari)

Lehre

Unsere Lehrveranstaltungen richten sich sowohl an die Studierenden der Studienrichtung Mathematik als auch an die Studierenden der Studienrichtungen Informatik, Technische Physik sowie der Ingenieur-Studiengänge.

Studienabschlussarbeiten

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Erstellt: Thu, 28 Mar 2024 23:08:52 +0100 in 0.0922 sec


Schröder, Thomas;
Darstellung ebener Gebiete mittels konformer Abbildungen. - 106 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2016

Zur Statistik von Jordangebieten in der Ebene oder zum Zwecke der Mustererkennung bietet es sich an diese Gebiete möglichst so darzustellen, dass gewisse Operationen auf ihnen einfach ausgeführt werden können. Hierbei muss jedoch sicher gestellt werden, dass unter diesen Operationen wieder Jordangebiete entstehen. Eine Möglichkeit dies zu bewerkstelligen ohne viele Nebenbedingungen beachten zu müssen besteht in sogenannter konformer Verheftung. Dank des Riemann'schen Abbildungssatzes ist es möglich sowohl das Innere als auch das Äußere eines einfach zusammenhängenden Gebietes auf das Innere beziehungsweise das Äußere des Einheitskreises konform abzubilden. Diese Abbildungen sind homöomorph auf den Rand des Einheitskreises fortsetzbar und erlauben es dort einen charakteristischen Homöomorphismus des Gebietes zu definieren. Diese charakteristischen Homöomorphismen stellen die gewünschte Darstellung unseres Gebietes dar. Zur Rekonstruktion eines Gebietes aus einem solchen Homöomorphismus dient der Verheftungssatz, welcher es ermöglicht für quasisymmetrische Homöomorphismen gewisse Jordangebiete, sogenannte Quasikreise, zu konstruieren. Diese Arbeit stellt die komplette notwendige Theorie dieses Vorgehens dar. Des Weiteren enthält sie einige numerische Experimente, die das Verfahren illustrieren.



Mehner, Tom;
Nicht-asymptotische Konfidenzbereiche für den intrinsischen Erwartungswert auf dem Kreis. - 42 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016

In der vorliegenden Bachelorarbeit wird zum ersten Mal ein Algorithmus zum Herleiten und Erstellen eines nicht-asymptotischen Konfidenzbereiches für den intrinsischen Erwartungswert von Zufallsvariablen auf dem Einheitskreis ermittelt. Die Korrektheit des Verfahrens wird in Kapitel 3 bewiesen. Auch wird die Länge des ermittelten Konfidenzbereiches mit der Asymptotik verglichen und die Ordnung des Verfahrens an einer numerischen Simulation untersucht.



Semper, Sebastian;
Bounds for the coherence of Khatri-Rao-products and Vandermonde matrices. - 80 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Masterarbeit, 2015

Diese Arbeit handelt von einem kleinen Teil des weiten Feldes Compressed Sensing, welches heutzutage eine große Rolle in der Signal- und Bildverarbeitung spielt. Diese Arbeit besteht aus fünf Kapiteln. Das erste Kapitel erläutert einige grundlegende Begriffe im Zusammenhang mit Compressed Sensing. Unter anderem werden die Begriffe Sparsity, Kohärenz und der Kruskal-Rang eingeführt. Darüber hinaus wird das Vorgehen bei Sparsity Order Estimation beschrieben. Dies dient als Motivation im zweiten Kapitel zunächst das allgemeine Packungsproblem zu erläutern. Hier wird ein bekanntes Resultat für die n-dimensionale Sphäre auf einen projektiven Raum übertragen, welches es uns ermöglicht Schranken für die Packungszahlen von Matrizen mit Rang 1 herzuleiten. Dies ermöglicht die Ableitung von Schranken für die Kohärenz von Khatri-Rao-Produkten, welche ein zentrales Ergebnis dieser Arbeit darstellen. Das dritte Kapitel dreht sich um das Problem, wie man explizit Matrizen mit niedriger Kohärenz konstruieren kann, wobei reell- und komplexwertige Matrizen zum Tragen kommen. Wir stellen Strategien zur Konstruktion von beliebigen Matrizen, Khatri-Rao-Produkten und Vandermonde Matrizen vor. Der Algorithmus für letztere zieht auch untere und obere Köhärenzschranken nach sich. Kapitel vier illustriert einige numerische Resultate für die Schranken und Algorithmen, welche vorher hergeleitet wurden. Wann immer möglich werden numerische Resultate mit theoretischen verglichen. Das letzte Kapitel gibt eine kurze Zusammenfassung der Arbeit und zeigt einige Bereiche auf, welche noch offene Fragen beinhalten.



Zeng, Sebastian;
Generalized stochastic processes and stochastic differential equations. - 55 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2015

m Rahmen der vorliegenden Bachelorarbeit wird mit Hilfe verallgemeinerter Funktionen eine Lösungstheorie für eine bestimmte Gruppe linearer stochastischer Differentialgleichungen erarbeitet. Das dafür benötigte Wissen aus der Theorie der verallgemeinerten Funktionen sowie die benötigten Kenntnisse aus der Theorie der verallgemeinerten stochastischen Prozesse wird einleitend knapp und in einem modernen mathematischen Stil dargestellt. Darauffolgend nutzen wir dieses Wissen, um für eine gegebene stochastische Differentialgleichung eine Lösung zu ermitteln. Das Hauptergebnis besteht in der Formulierung sowie dem Beweis eines Theorems, welches Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gewährleistet. Abschließend soll die Analyse zweier bekannter Beispiele zeigen, dass die entwickelte Theorie durchaus Anwendung in der Praxis findet.



Glock, Matthias;
Banachräume mit reproduzierenden Kernen. - 43 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2015

Diese Arbeit ist in sechs Kapitel unterteilt. Die Einleitung gibt einen kurzen Überblick über die Theorie der reproduzierenden Kerne für Hilberträume und motiviert zugleich die Verallgemeinerung auf Banachräume. Im zweiten Kapitel sind die theoretischen Grundlagen zusammengestellt, welche notwendig sind um spezielle Banachräume zu entwickeln, welche reproduzierende Kerne besitzen können. Kapitel 3 befasst sich schließlich mit Banachräumen mit reproduzierenden Kernen (RKBS), welche aufgrund der Theorie des zweiten Kapitels definiert werden können. Insbesondere werden hier grundlegende Resultate aus der Hilbertraumtheorie analog auf RKBS verallgemeinert. In Kapitel 4 wird erläutert, wie sich RKBS zur Lösung von Interpolationsproblemen einsetzen lassen. In Kapitel 5 wird die Theorie der letzten beiden Kapitel an zwei ausführlichen Beispielen erläutert. Im letzten Kapitel werden die Ergebnisse diskutiert und es gibt einen Ausblick auf mögliche weitere Forschung.



Wieditz, Johannes;
Nicht-asymptotische Konfidenzbereiche für extrinsische Erwartungswerte zirkulärer Daten. - 60 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2014

In dieser Arbeit werden nicht-asymptotische Konfidenzbereiche für den extrinsischen Erwartungswert von Zufallsvariablen mit Werten auf dem Einheitskreis konstruiert. Dabei wird neben der Hoeffdingschen Ungleichung, der Tschebyscheffschen Ungleichung und Hoeffdings Theorem˜3, eine verschärfte Version der Hoeffdingschen Ungleichung für die Konstruktion verwendet. Letztere wird dazu hergeleitet und bewiesen. Die Konfidenzbereiche werden dann für zwei Anwendungsbeispiele mit unterschiedlich stark konzentrierten Daten konstruiert und sowohl untereinander als auch mit asymptotischen Konfidenzbereichen verglichen.



Schneider, Daniel;
On confidence sets in multiobjective optimization. - 41 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2014

Es gibt viele multikriterielle Optimierungsprobleme in denen verschiedene Größen unbekannt sind und daher geschätzt werden müssen. Solche Schätzungen liefern eine Folge von Ersatzproblemen. Daher wäre es nützlich die Qualität dieser Probleme in Bezug auf die zulässige Menge, die effiziente Menge und die zugehörige Lösungsmenge zu kennen. Das Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung geeigneter quantitativer Aussagen zur Konvergenz der Mengenfolgen die durch das Lösen der Ersatzprobleme entstehen. Weiterhin wird gezeigt wie diese Aussagen dazu benutzt werden können, um Konfidenzmengen zu erhalten.



Beck, Matthias;
Dichteschätzungen mit Epi-Splines. - 108 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2014

Die Masterarbeit befasst sich mit einer neuartigen Methode innerhalb der nichtparametrischen Dichteschätzung, die auf sogenannten Epi-Splines beruht. Zunächst geht es in der Arbeit um die Aufbereitung eines Artikels von Johannes O. Royset und Roger J-B Wets zur Schätzung eindimensionaler Dichten mittels exponentieller Epi-Splines. Dieser Ansatz wird schließlich in der Arbeit auf den zweidimensionalen Fall erweitert und es wird dabei das theoretische Fundament zur Schätzung bivariater Dichtefunktionen gelegt. Hierbei wird unter anderem eine Konsistenz-Aussage der entstehenden Dichteschätzer für eine spezielle Klasse von Dichten hergeleitet. Empirische Studien, die vor allem für den eindimensionalen Fall durchgeführt wurden, bildeten die Grundlage, um sowohl mögliche Potentiale als auch Schwachstellen des Schätzverfahrens aufzudecken.



Niebling, Julia;
Ein Beitrag zu Graphenpackungen. - 34 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2013

Zu zwei gegebenen endlichen, schlichten und ungerichteten Graphen $G$ und $H$ können verschiedene Packungskonzepte betrachtet werden. Zwei eckendisjunkte induzierte Untergraphen $H$ und $H'$ von $G$ heißen unabhängig, wenn $G$ keine Kante zwischen $H$ und $H'$ enthält. So ist $\alpha(G, H)$ die größte Anzahl eckendisjunkter Kopien von $H$, die induzierte Untergraphen von $G$ und paarweise unabhängig sind. Für $H=K_1$ stellt $\alpha(G, K_1)$ die Unabhängigkeitszahl $\alpha(G)$ dar. Die Bestimmung von $\alpha(G, H)$ ist im Allgemeinen schwer. In "Packing of induced subgraphs" von J. Harant, S. Richter und H. Sachs werden unter anderen im Fall, dass $G$ ein $r$-regulärer Graph ist, zwei obere Schranken für $\alpha(G, H)$ bewiesen. Motiviert dadurch stellt sich die Frage nach einem Satz, der für nicht notwendig reguläre Graphen $G$ gilt und den Satz aus der Literatur verallgemeinern kann. In dieser Arbeit wird ein neuer Satz mit Hilfsmitteln aus der Graphentheorie, linearen Algebra und Lagrange-Theorie bewiesen. Der Satz gilt für nicht notwendig reguläre Graphen $G$ und ist in einem Spezialfall eine Verallgemeinerung des Satzes von Harant, Richter und Sachs. Zur Berechnung der bewiesenen Schranken müssen sowohl induzierte Untergraphen von $H$, als auch mehrere Gleichungssysteme gelöst werden. Dieser Aufwand ist dennoch durchaus vertretbar, da meist "kleine" Graphen $H$ in $G$ gepackt werden und die Menge der induzierten Untergraphen von $H$ damit überschaubar bleibt.



Semper, Sebastian;
Gitterfreie Invertierung der Radontransformation mit reproduzierenden Kernen. - 60 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2013

Diese Arbeit ist in sechs Kapitel unterteilt. Die Einleitung dient einerseits der Erläuterung der praktischen Problemstellung am Beispiel der Computertomographie und andererseits bereits der Einführung einiger grundlegender Objekte, welche vor allem im zweiten Teil eine übergeordnete Rolle spielen werden. Weiterhin die Methode der gefilterten Rückprojektionen zur Invertierung der Radontransformation vorgestellt und deren Vor- und Nachteile beleuchtet. Das zweite Kapitel legt zunächst alle theoretischen Grundlagen für die Entwicklung der Theorie und erläutert die mathematische Seite des neuen Verfahrens zur Invertierung der Radontransformation. Im Zuge dessen ergibt sich auch ein neues Ergebnis über lineare stetige Funktionale in Hilberträumen mit reproduzierenden Kernen. Kapitel 2 endet mit dem Invertierungstheorem, welches den Mittelpunkt dieser Arbeit darstellt. Es erlaubt eine Approximation der inversen Radontransformation, die viel weniger Anforderungen an die Messdaten stellt, als beispielsweise die gefilterte Rückprojektion. Die hier entwickelte Methode wird im Folgenden der Einfachheit halber Kernmethode genannt werden. Kapitel 3 befasst sich damit, ein konkretes Beispiel von Kernfunktionen im Sinne der entwickelten Theorie aufzubereiten, um diese in einer praktischen Problemstellung verwenden zu können. Weiterhin wird der Einfluss von einigen weiteren Parametern erläutert, welche bei der Approximation eine Rolle spielen. In den letzten Kapiteln wird zunächst eine kurze Erklärung der benutzten Numerik gegeben. Dann wird die Kernmethode mit verschiedenen Datensätzen getestet und untersucht. Schlussendlich werden die Ergebnisse der Kernmethode mit denen der gefilterten Rückprojektion verglichen. Der Schluss beinhaltet einige weiterführende Aspekte und gibt mögliche Anhaltspunkte für weitere Untersuchungen der Kernmethode.