Dissertationen und Habilitationen

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Möws, Roland;
Spektrallücken von indefiniten Sturm-Liouville-Operatoren, 2013. - Online-Ressource (PDF-Datei: XI, 67 S., 820,4 KB) : Ilmenau, Techn. Univ., Diss., 2013
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In der Dissertationsschrift "Spektrallücken von indefiniten Sturm-Liouville-Operatoren" werden verschiedene Klassen von selbstadjungierten Operatoren und Relationen in indefiniten Innenprodukträumen betrachtet. Die Arbeit enthält zwei Hauptergebnisse: (A) Für lokal definisierbare Relationen wird gezeigt, dass die Endlichkeit der Anzahl der Eigenwerte in einer reellen Spektrallücke des essentiellen Spektrums unter endlichdimensionalen Störungen erhalten bleibt. (B) Für eine Unterklasse der lokal definisierbare Relationen, nämlich für Relationen mit endlich vielen negativen Quadraten, werden die Anzahl der Eigenwerte der gestörten Relation in einer reellen Spektrallücke des essentiellen Spektrums nach oben/unten durch die Anzahl der Eigenwerte derungestörten Relation und weiteren Korrekturgrößen abgeschätzt. Dabei werden hier nur eindimensionale Störungen betrachtet. Zudem gelingt der Nachweis, dass die in dieser Promotionsschrift vorgestellten Abschätzungen scharf sind.Diese abstrakten Ergebnisse aus dem ersten Teil der Arbeit werden im zweiten Teil auf Sturm-Liouville-Differentialoperatoren mit einer indefinitenGewichtsfunktion angewandt. In vielen Fällen werden die Abschätzungen leicht verbessert.



http://www.db-thueringen.de/servlets/DocumentServlet?id=22550
Regen, Friedrich;
On cycles and independence in graphs, 2011. - Online-Ressource (PDF-Datei: 84 S., 1166 KB) Ilmenau : Techn. Univ., Diss., 2010

Das erste Fachkapitel ist der Berechnung von Kreispackungszahlen, d.h. der maximalen Größe kanten- bzw. eckendisjunkter Kreispackungen, gewidmet. Da diese Probleme bekanntermaßen sogar für subkubische Graphen schwer sind, behandelt der erste Abschnitt die Komplexität des Packens von Kreisen einer festen Länge l in Graphen mit Maximalgrad Delta. Dieses für l=3 von Caprara und Rizzi gelöste Problem wird hier auf alle größeren Kreislängen l verallgemeinert. Der zweite Abschnitt beschreibt die Struktur von Graphen, für die die Kreispackungszahlen einen vorgegebenen Abstand zur zyklomatischen Zahl haben. Die 2-zusammenhängenden Graphen mit dieser Eigenschaft können jeweils durch Anwendung einer einfachen Erweiterungsregel auf eine endliche Menge von Graphen erzeugt werden. Aus diesem Strukturergebnis wird ein fpt-Algorithmus abgeleitet. Das zweite Fachkapitel handelt von der Größenordnung der minimalen Anzahl von Kreislängen in einem Hamiltongraph mit q Sehnen. Eine Familie von Beispielen zeigt, dass diese Unterschranke höchstens die Wurzel von q+1 ist. Dem Hauptsatz dieses Kapitels zufolge ist die Zahl der Kreislängen eines beliebigen Hamiltongraphen mit q Sehnen mindestens die Wurzel von 4/7*q. Der Beweis beruht auf einem Lemma von Faudree et al., demzufolge der Graph, der aus einem Weg mit Endecken x und y und q gleichlangen Sehnen besteht, x-y-Wege von mindestens q/3 verschiedenen Längen enthält. Der erste Abschnitt enthält eine Korrektur des ursprünglich fehlerhaften Beweises und zusätzliche Schranken. Der zweite Abschnitt leitet daraus die Unterschranke für die Anzahl der Kreislängen ab. Das letzte Fachkapitel behandelt Unterschranken für den Unabhängigkeitsquotienten, d.h. den Quotienten aus Unabhängigkeitszahl und Ordnung eines Graphen, für Graphen gegebener Dichte. In der Einleitung werden bestmögliche Schranken für die Klasse aller Graphen sowie für große zusammenhängende Graphen aus bekannten Ergebnissen abgeleitet. Danach wird die Untersuchung auf durch das Verbot kleiner ungerader Kreise eingeschränkte Graphenklassen ausgeweitet. Das Hauptergebnis des ersten Abschnitts ist eine Verallgemeinerung eines Ergebnisses von Heckman und Thomas, das die bestmögliche Schranke für zusammenhängende dreiecksfreie Graphen mit Durchschnittsgrad bis zu 10/3 impliziert und die extremalen Graphen charakterisiert. Der Rest der ersten beiden Abschnitte enthält Vermutungen ähnlichen Typs für zusammenhängende dreiecksfreie Graphen mit Durchschnittsgrad im Intervall [10/3, 54/13] und für zusammenhängende Graphen mit ungerader Taillenweite 7 mit Durchschnittsgrad bis zu 14/5. Der letzte Abschnitt enthält analoge Beobachtungen zum Bipartitionsquotienten. Die Arbeit schließt mit Vermutungen zu Unterschranken und die zugehörigen Klassen extremaler Graphen für den Bipartitionsquotienten.



http://www.db-thueringen.de/servlets/DocumentServlet?id=18161
Hopfe, Norman;
Feedback control : systems with higher unknown relative degree, input constraints and positivity. - Ilmenau : Univ.-Verl. Ilmenau, 2010. - Online-Ressource (PDF-Datei: 270 S., 5,98 MB) : Ilmenau, Techn. Univ., Diss., 2010
Parallel als Druckausg. erschienen

Diese Dissertation behandelt die Regelung von linearen Systemen mit m Eingängen und m Ausgängen und unbekanntem, aber beschränktem, Relativgrad und lineare Volterra-Stieltjes Systeme. Die folgenden Regler werden betrachtet: adaptive Rückführung des Ausgangssignals und dessen Ableitung und Funnel Regelung. Das Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Reglers, der ohne Systemidentifikation auskommt. Die Systeme erfüllen die klassischen Annahmen der adaptiven Regelung. Insbesondere werden Systeme mit höherem Relativgrad betrachtet. Zunächst wird ein adaptiver Regler entwickelt, der vom Systemverhalten lernt und ein vorab festgelegtes Regelungsziel gewährleistet. Der bekannteste Regler ist der lambda Regler. Dieser Regler folgt jedem System, dessen Relativgrad bekannt ist. Dieser Regler wird auf Systeme mit unbekanntem Relativgrad erweitert für die eine obere Schranke bekannt ist. Dies wird dadurch erreicht, dass eine Rückführung des Ausgangssignals und dessen Ableitungen benutzt werden. Ein Vorteil des vorgestellten Reglers ist seine Einfachheit. Hauptnachteil ist, dass die Regelgüte nicht direkt in den Entwurf eingeht und die Verstärkung groß werden kann. Das bekannte Konzept der Funnel Regelung für Systeme mit Relativgrad eins wird eingeführt. Es wird gezeigt, dass der klassische Funnel Regler, angewendet auf Eingangsbeschränkungen, die Regelungsziele des Funnel Reglers gewährleistet. Eingangsbeschränkungen sind ein wichtiges Merkmal dieser Arbeit. Ein zweites Ziel ist es, die Ergebnisse des Funnel Reglers auf Systeme mit Relativgrad zwei zu verallgemeinern. Die Einfachheit der Kontrollstrategie kann erhalten werden, wenn die Rückführung der Ableitungen erlaubt ist. Dieser neue Funnel Regler ist robust gegenüber Systemen mit unbekanntem Relativgrad eins oder zwei und Eingangsbeschränkungen können auf Systeme mit Relativgrad zwei verallgemeinert werden. Letztlich werden Volterra-Stieltjes Systeme hinsichtlich Positivität, verschiedenen Stabilitätskonzepten, Nulldynamik und Funnel Regler betrachtet. Explizite Kriterien für die Stabilitätskonzepte werden abgeleitet. Diese Ergebnisse werden genutzt, um den Funnel Regler auf Volterra-Stieltjes Systeme zu verallgemeinern. Positivität der Lösung des geschlossenen Systems ist sicher gestellt, Eingangsbeschränkungen sind möglich und Nicht- Negativität des Einganges kann unter weiteren Annahmen gewährleistet werden.



http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn=urn:nbn:de:gbv:ilm1-2010000306
Trunk, Carsten;
Spectral theory for second order systems and indefinite Sturm-Liouville problems. - Getr. Zählung Ilmenau : Techn. Univ., Habil.-Schr., 2010

Löwenstein, Christian;
In the complement of a dominating set, 2010. - Online-Ressource (PDF-Datei: 101 S.,793 KB) : Ilmenau, Techn. Univ., Diss., 2010
Parallel als Druckausg. erschienen

Eine Menge von Ecken D eines Graphen G=(V,E) ist eine Dominanzmenge, falls jede Ecke aus V\D mindestens einen Nachbarn in D hat. Die disjunkte Dominazzahl eines Graphen G ist die minimale Kardinalität zweier disjunkter Dominanzmengen von G. Wir beweisen untere Schranken für die disjunkte Dominanzzahl für Graphen mit Minimalgrad 2, für Graphen mit großem Minimalgrad und für kubische Graphen.Eine Menge von Ecken T eines Graphen G=(V,E) ist eine totale Dominanzmenge, falls jede Ecke aus V mindestens einen Nachbarn in T hat. Wir charakterisieren Graphen mit Minimalgrad 2 ohne induzierten 5-Kreisen und Graphen mit Minimalgrad mindestens 3, die eine Dominanzmenge, eine totale Dominanzmenge und eine nichtleere Eckenmenge, die paarweise disjunkt sind, haben.Eine Menge von Ecken I eines Graphen G=(V,E) ist eine unabhängige Menge, falls alle Ecken aus I paarweise in G nicht benachbart sind. Wir geben eine konstruktive Charakterisierung für Bäume an, die eine maximale unabhänige Menge und eine dazu disjunkte minimale Dominanzmenge haben und wir zeigen, dass das zugehörige Entscheidungsproblem für allgemene Graphen NP-schwer ist. Zusätzlich zeigen wir mehrere strukturelle Ergebnisse und Komplexitätsergebnisse betreffend Paare disjunkter Mengen, die dominierend, unabhängig oder beides sind. Weiter beweisen wir untere Schranken für die maximale Kardinalität einer unabhängigen Menge von Graphen, die einen kleinen Durchschnittsgrad und keine kurzen Kreise ungerader Länge haben.Ein zusammenhängender Graph G hat spanning tree congestion höchstens s, falls G einen aufspannenden Baum T hat, so dass für jede Kante e von T der Kantenschnitt, der in G definiert ist durch die zwei Komponenten von T-e, höchstens s Kanten enthält. Wir beweisen, dass jeder zusammenhängneder Graph der Ordnung n spanning tree congestion höchstens n^(3/2) hat und wir zeigen, dass das zugehörige Entscheidungsproblem NP-schwer ist.



http://www.db-thueringen.de/servlets/DocumentServlet?id=16280
Artmann, Sarah;
Über die Dominanzzahl in Graphen unter Nutzung verschiedener Konzepte, 2010. - Online-Ressource (PDF-Datei: 81 S., 707 KB) : Ilmenau, Techn. Univ., Diss., 2010
Parallel als Druckausg. erschienen

Die Dominanzzahl in Graphen ist die minimale Mächtigkeit einer Knotenpunktmenge D, für die jeder Knoten entweder in D enthalten ist oder einen Nachbarn in D besitzt. Da das zugehörige Entscheidungsproblem NP-vollständig ist, versucht man obere Schranken für die Dominanzzahl in verschiedenen Graphenklassen zu finden und diese zu realisieren. Ein Ansatz, zu solchen Schranken zu kommen, ist die probabilistische Methode nach Alon und Spencer. Hierbei werden Knoten mit einer Wahrscheinlichkeit zwischen Null und Eins zu der Menge hinzugenommen und diese dann zu einer dominierenden Menge ergänzt. Mit Hilfe sogenannter Abstiegsverfahren kann man dann für die einzelnen Knoten zu den "realisierenden" Wahrscheinlichkeiten Null und Eins übergehen. Die dabei erzielten Verbesserungen werden bestimmt und so neue Schranken für reguläre und allgemeine Graphen gewonnen. Diese hängen jedoch von der Mächtigkeit einer Menge von Knoten (oder Schranken für diese) ab, die paarweise einen gewissen Abstand voneinander haben. Weiter wird ein verallgemeinerter Ansatz für die Bestimmung der Verbesserung von Schranken für die Dominanzzahl durch Abstiegsverfahren entwickelt. Der in diesem Zusammenhang beschriebene Algorithmus für allgemeine bzw. bipartite Graphen kann für viele multilineare Funktionen, die eine obere Schranke für die Dominanzzahl bilden, angewandt werden und liefert in jedem Fall neue, verbesserte Ergebnisse gegenüber der Ausgangsschranke. Durch die Verallgemeinerung der Methode von Alon und Spencer können zudem direkt bessere Schranken für die Dominanzzahl allgemeiner Graphen erreicht werden. Auf bipartiten Graphen, für die bisher nur wenige eigenständige Schranken bekannt sind, werden weitere Verbesserungen erzielt. Die Resultate werden numerisch ausgewertet und bekannten Schranken gegenüber gestellt.



http://www.db-thueringen.de/servlets/DocumentServlet?id=15940
Scheide, Diego;
Edge colourings of multigraphs, 2009. - Online-Ressource (PDF-Datei: 112 S., 2666 KB) : Ilmenau, Techn. Univ., Diss., 2009

Das Kantenfärbungsproblem besteht darin, den chromatischen Index eines (Multi-)Graphen G zu ermitteln, d.h. die minimale Anzahl an Farben, mit denen man die Kanten von G so färben kann, dass keine zwei benachbarten Kanten die gleiche Farbe erhalten. Kantenfärbungsprobleme treten in verschiedenen Scheduling-Anwendungen auf, typischerweise in Verbindung mit Task-Processing oder Netzwerk-Kommunikation. Da das Kantenfärbungsproblem NP-schwer ist, sind gute Approximationsalgorithmen gefordert. In dieser Dissertation werden verschiedene Färbungstechniken erweitert und neue Färbungsalgorithmen entworfen. Ausgehend von einem klassischen Resultat von Vizing, wird ein neuer Graphenparameter - die Fächerzahl - vorgestellt. Dies führt zu einem Färbungsalgorithmus, der durch eine spezielle Kantensortierung Vizings Fächer in bestmöglicher Weise nutzen kann. Eines der größten bisher ungelösten Probleme auf dem Gebiet der Kantenfärbungen ist Goldbergs Vermutung. Goldberg (und unabhängig davon auch Andersen und Seymour) vermutete eine obere Schranke für den chromatischen Index chi', die vom Maximalgrad Delta und einer maximalen Dichte w abhängt, und zwar chi'<=max{Delta+1,w}. Da Delta und w beides untere Schranken für chi' sind, hat Goldbergs Schranke somit eine absolute Abweichung von höchstens 1 vom Optimum. In dieser Dissertation werden einige neue obere Schranken für chi' entwickelt, die die Lücke zwischen den bereits bekannten Schranken und Goldbergs vermuteter Schranke verkleinert. Die beiden wichtigsten neuen Schranken sind max{Delta+1+(Delta-2)/14,w} und max{Delta+sqrt((Delta-1)/2),w}. Die Laufzeiten der zugehörigen Färbungsalgorithmen sind polynomiell beschränkt bzgl. der Eckenzahl und der Kantenzahl des zu färbenden Graphen. Da aber ein Graph einfach durch Angabe der Ecken und Kantenvielfachheiten beschrieben werden kann, sind die genannten Algorithmen somit keine echten Polynomialzeitalgorithmen. Im letzten Kapitel der Dissertation wird allerdings gezeigt, wie sich durch alternative Datenstrukturen und ein ivide-and-Conquer-Verfahren diese Algorithmen auch als Polynomialzeitalgorithmen implementieren lassen.



http://www.db-thueringen.de/servlets/DocumentServlet?id=13785
Mueller, Markus;
Output feedback control and robustness in the gap metric. - Ilmenau : Univ.-Verl. Ilmenau, 2009. - Online-Ressource (PDF-Datei: 254 S., 1,82 MB) : Ilmenau, Techn. Univ., Diss., 2009
Parallel als Druckausg. erschienen

Die vorgelegte Arbeit behandelt den Entwurf und die Robustheit von drei verschiedenen Regelstrategien für lineare Differentialgleichungssysteme mit mehrdimensionalen Ein- und Ausgangssignalen (MIMO): Stabilisierung durch Ausgangs-Ableitungs-Rückführung, Lambda-tracking und Funnel-Regelung. Damit diese Regler bei der Anwendung auf ein lineares System die gewünschten Stabilisierung/Regelung erbringen, ist eine explizite Kenntnis der Systemmatrizen nicht notwendig. Es müssen nur strukturelle Eigenschaften des Systems bekannt sein: der Relativgrad, dass das System minimalphasig ist, und dass die sogenannte "high-frequency gain" Matrix positiv definit ist. Diese stukturellen Eigenschaften werden für MIMO-Systeme in den ersten Kapiteln der Arbeit ausführlich behandelt. Für MIMO-Systeme mit nicht striktem Relativgrad wird eine Normalform hergeleitet, die die gleichen Eigenschaften wie die bekannte Normalform für SISO-Systeme oder MIMO-Systeme mit striktem Relativgrad aufweist. Die Normalform sowie Minimalphasigkeit und Positivität der "high-frequency gain" Matrix bilden die Grundlage dafür, dass die oben genannten Regelstrategien Systeme mit diesen Eigenschaften im jeweiligen Sinn stabilisieren. Robustheit bzw. robuste Stabilisierung beschreibt folgendes Prinzip: falls ein geschlossener Kreis aus einem linearen System und einem Regler in gewissem Sinne stabil ist und die Gap-Metrik (der Abstand) zwischen dem im geschlossenen Kreis betrachteten System und einem anderen "neuen" System hinreichend klein ist, so ist der geschlossene Kreis aus dem "neuen" System und dem gleichen Regler wieder stabil. Die gleiche Aussage stimmt auch für den Fall, dass man den Regler und nicht das System austauscht. Für Ausgangs-Ableitungs-Rückführung wird gezeigt, dass, falls diese ein System stabilisiert, die auftretenden Ableitungen des Ausgangs durch Euler-Approximationen der Ableitungen ersetzt werden können, falls diese hinreichend genau sind. Für Lambda-tracking und Funnel-Regelung wird gezeigt, dass beide Regler auch für die Stabilisierung linearer Systeme verwendet werden können, die einen geringen Abstand zu einem System haben, dass die o.g. Voraussetzungen erfüllt, selbst diese Voraussetzungen aber nicht erfüllen.



http://www.db-thueringen.de/servlets/DocumentServlet?id=13790
Trenn, Stephan;
Distributional differential algebraic equations. - Ilmenau : Univ.-Verl. Ilmenau, 2009. - Online-Ressource (PDF-Datei: 189 S., 1,15 MB) : Zugl.: Ilmenau, Techn. Univ., Diss., 2009

Lineare implizite Differentialgleichungen der Form Ex'=Ax+f werden untersucht. Da die Matrix E nicht als invertierbar angenommen wird, enthält das Gleichungssystem neben den Differentialgleichungen auch algebraische Gleichungen. Deshalb werden diese Gleichungen differential-algebraische Gleichungen (differential algebraic equations, DAEs) genannt. Ein wesentliches Ziel der Dissertation ist es, Distributionen (oder verallgemeinerte Funktionen) als Lösungen zuzulassen und gleichzeitig soll es möglich sein, zeitvariante DAEs zu untersuchen, deren Koeffizientenmatrizen Sprünge haben können. Dazu wird zunächst ein geeigneter Lösungsraum hergeleitet. Insbesondere ist es mit diesem Lösungsraum möglich, die wichtige Klasse der geschalteten DAEs (switched DAEs) zu untersuchen. Als Lösungsraum wird der Raum der stückweise glatten Distributionen (piecewise-smooth distributions) eingeführt. Für diesen Raum ist es möglich, eine Multiplikation zu definieren, so dass auch DAEs betrachtet werden können, deren Koeffizienten ebenfalls distributionelle Einträge haben. Eine distributionelle DAE ist eine Gleichung der Form Ex'=Ax+f, bei der die Matrizen E und A stückweise glatte Distributionen als Einträge enthalten und die Lösungen x sowie die Inhomogenitäten f ebenfalls stückweise glatte Distributionen sind. Für distributionelle DAEs wird die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen untersucht, dazu wird das Konzept der Regularität für distributionelle DAEs eingeführt. Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen hergeleitet. Als Spezialfälle werden die beiden Gleichungen x'=Ax+f (so genannte distributionelle ODEs) und Nx'=x+f (so genannte reine distributionelle DAEs) untersucht, für die explizite Lösungsformeln angegeben werden können. Geschaltete DAEs sind distributionelle DAEs mit stückweise konstanten Koeffizientenmatrizen. Es werden hinreichende Bedingung hergeleitet, die sicherstellen, dass die Lösungen von geschalteten DAEs keine Impulse enthalten. Weiterhin wird untersucht, unter welchen Bedingungen das beliebige Schalten zwischen stabilen Teilsystemen zu einem stabilen Gesamtsystem führt. Schließlich werden Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit für distributionelle DAEs untersucht. Hierbei wird berücksichtigt, dass das Eingangssignal Impulse enthalten kann und damit theoretisch eine "instantane" Steuerung möglich ist. Für eine DAE der Form N'=x+bu, y=cx, mit Konstanten, nilpotenten N sowie konstanten Vektoren b und c wird eine Normalform angegeben, die eine einfache Charakterisierung der Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit ermöglicht.



http://www.db-thueringen.de/servlets/DocumentServlet?id=13581
Rieß, Thorsten;
A Lin's method approach to heteroclinic connections involving periodic orbits : analysis and numerics, 2008. - Online-Ressource (PDF-Datei: 134 S., 2071 KB) : Ilmenau, Techn. Univ., Diss., 2008
Parallel als Druckausg. erschienen

Die Dissertationsschrift beschäftigt sich mit der Bifurkationsanalyse von heteroklinen Zyklen, die eine hyperbolische Gleichgewichtslage und einen hyperbolischen periodischen Orbit miteinander verbinden. Im ersten Teil der Arbeit wird eine Erweiterung von Lins Methode entwickelt, die auf einer Kopplung des globalen kontinuierlichen Systems und des diskreten Systems, das die Dynamik in der Umgebung des periodischen Orbits beschreibt, beruht. Die Methode erlaubt es, Bifurkationsgleichungen für das gegebene Szenario zu formulieren. Die Bifurkationsgleichungen für homokline Orbits an die Gleichgewichtslage und homokline Orbits an den periodischen Orbit werden qualitativ gelöst und diskutiert, ebenso wird der Fall einer quadratischen Berührung behandelt. Im zweiten Teil der Dissertation wird auf Basis der theoretischen Ergebnisse eine numerische Methode entwickelt, die es erlaubt, verbindende Orbits zwischen Gleichgewichtslagen und periodischen Orbits zu finden und im Parameterraum zu verfolgen. Die Methode wird an drei ausgewählten Beispielen demonstriert, dabei werden die theoretischen Ergebnisse aus dem ersten Teil der Arbeit bestätigt. Eine Erweiterung der numerischen Methode auf verbindende Orbits zwischen zwei hyperbolischen periodischen Orbits wird abgeleitet.



http://www.db-thueringen.de/servlets/DerivateServlet/Derivate-14786/ilm1-2007000415.pdf