Normalformen und Störungen niedrigen Ranges von Matrixbüscheln. - 46 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016
In dieser Arbeit wird die Weierstraß-Form für Matrixbüschel vorgestellt, die, wie beispielsweise in neueren Veröffentlichungen [1] und [3], unter Zuhilfenahme der in [12] erstmals vorgestellten Wong Sequenzen, bewiesen wird. Einerseits liefern die Wong Sequenzen, im Gegensatz zu dem Beweis aus [7], eine geometrische Anschauung. Andererseits lässt sich ohne größeren Aufwand die Quasi-Weierstraß-Form, eine Normalform für Matrixbüschel auf beliebigen Körpern, ableiten. Des Weiteren werden Störungen von Matrixbüscheln untersucht und dabei anhand von Beispielen ein Einstieg in dieses aktuelle Forschungsthema mit zahlreichen Veröffentlichungen, wie zum Beispiel in [5], [11], [10], ermöglicht. Bereits in den 1960er Jahren verfasste F. R. Gantmacher sein Standardwerk über Matrizentheorie [7], in dem er sich unter Anderem mit dem verallgemeinerten Eigenwertproblem auseinandersetzte. Nach Gantmacher [7, S. 373]: "Ein Kriterium für die strenge Äquivalenz sowie die kanonische Form regulärer Matrizenbüschel wurde im Jahr 1867 von K. Weierstraß aufgestellt; die Grundlage bildete seine Elementarteilertheorie [...] Analoge Fragen für singuläre Büschel wurden später (im Jahr 1890) durch die Untersuchungen von L. Kronecker gelöst." Aufbauend auf seinen Leistungen wurden in der Folgezeit weiterführende Arbeiten zum Thema Matrixpolynome [8], im Speziellen Matrixbüschel, erarbeitet. Ebenfalls in den 1960er Jahren entwickelte vor allem G. H. Golub die ersten stabilen Algorithmen, die eine Transformation größerer Matrizen ermöglichen. Die Ergebnisse seiner Arbeit, welche in dem Buch Matrix Computations [9] gesammelt sind, stellen bis heute die Grundlage für viele Forschungsarbeiten dar. Ziel aktueller Untersuchungen ist vor allem die Suche nach dem singulären Matrixbüschel mit dem geringsten Abstand zu einem gegebenen regulären Matrixbüschel [5], wobei eine generelle Problemlösung noch außer Reichweite liegt.
Färbungskritische signierte Graphen. - 37 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016
Ein signierter Graph ist ein Graph, in dem jede Kante mit +1 oder -1 bewertet (signiert) ist. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit kritischen signierten Graphen und ihren Färbungen. Kritische signierte Graphen sind besonders interessant, weil sich Färbungsprobleme signierter Graphen oft auf Färbungsprobleme kritischer signierter Graphen zurückführen lassen. So werden zunächst wichtige, bereits bekannte Ergebnisse der chromatischen Zahl signierter Graphen wiedergegeben und anschließend Färbungen kritischer signierter Graphen diskutiert. Den Hauptteil der Arbeit bildet dann der Vergleich gewöhnlicher kritischer Graphen mit kritischen signierten Graphen. Dabei wird sich zeigen, dass viele Eigenschaften kritischer Graphen auch für kritische signierte Graphen gelten. Den Abschluss bilden dann der Zusammenhang sowie die Hajós-Konstruktion kritischer signierter Graphen. Auch hier wird überprüft inwieweit sich Eigenschaften von kritischen Graphen auf kritische signierte Graphen übertragen lassen.
Continuous reformulations of binary quadratic programs. - 46 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016
Diese Arbeit beschäftigt sich mit binären quadratischen Optimierungsproblem und zugehörigen kontinuierlichen Mengen-semidefiniten Relaxierungen, die unter bestimmten Bedingungen äquivalent sind. Zu diesem Zweck wird der dabei genutzte Mengen-semidefinite Kegel untersucht, indem die Menge, über der er definiert ist, als endlich erzeugter Kegel aufgefasst wird. Des weiteren wird das duale Problem zum relaxierten Optimierungsproblem aufgestellt. Zum Abschluss bietet diese Arbeit einen Ausblick auf Möglichkeiten, eine ähnliche Relaxierung auch mit gemischt-binären quadratischen Optimierungsproblemen durchzuführen.
Deterministische Irrfahrten auf Graphen. - 31 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Diplomarbeit 2016
Die Arbeit behandelt die deterministische Irrfahrt I in der Eckenversion und die deterministische Irrfahrt I' in der Kantenversion.
Nicht-asymptotische Konfidenzbereiche für den intrinsischen Erwartungswert auf dem Kreis. - 42 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016
In der vorliegenden Bachelorarbeit wird zum ersten Mal ein Algorithmus zum Herleiten und Erstellen eines nicht-asymptotischen Konfidenzbereiches für den intrinsischen Erwartungswert von Zufallsvariablen auf dem Einheitskreis ermittelt. Die Korrektheit des Verfahrens wird in Kapitel 3 bewiesen. Auch wird die Länge des ermittelten Konfidenzbereiches mit der Asymptotik verglichen und die Ordnung des Verfahrens an einer numerischen Simulation untersucht.
Greens Satz als Alternative zum Maximumprinzip. - 46 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016
Inhalt dieser Bachelorarbeit sind Optimalsteuerungsprobleme und mögliche Lösungsansätze. Es wird ein Problem aus der Biologie mit ökonomischer Anwendung betrachtet und versucht, es zum einen mit dem Maximumprinzip von Pontryagin und zum anderen mithilfe des Integralsatzes von Green zu lösen. Das zu untersuchende Optimalsteuerungsproblem betrifft die Fischzucht. Wie in den Wirtschaftswissenschaften üblich, geht es darum, den Gewinn zu maximieren. Dies soll durch einen optimalen Befischungsplan realisiert werden. Um diesen Plan zu bestimmen, wird ein passendes mathematisches Modell benötigt, auf dem die Entscheidungsfindung aufbaut. Es handelt sich also um eine Aufgabenstellung aus dem Bereich Operations Research. Beiden Lösungswegen wird zunächst ein Gerüst aus mathematischen Definitionen und Sätzen zugrunde gelegt. Darauf aufbauend wird das jeweilige Vorgehen Schritt für Schritt erklärt. Ziel ist es, am Ende der Untersuchungen eine/die optimale Lösung direkt anzugeben. Dieser Bachelorarbeit liegen weitere Arbeiten von unterschiedlichen Autoren zugrunde. Die Aufgabe besteht zunächst darin, die Vorgehensweisen nachzuvollziehen. Dazu müssen nicht durchgeführte Nebenrechnungen eigenständig erarbeitet werden. Dabei wird vor allem auf mathematische Korrektheit geachtet. Darüber hinaus werden an gegebener Stelle gänzlich eigene Lösungsansätze verfolgt.
Ein Branch-and-Bound-Verfahren für bikriterielle Optimierungsprobleme. - 75 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Masterarbeit, 2015
Diese Masterarbeit beschäftigt sich mit einem Branch-and-Bound-Algorithmus für bikriterielle boxbeschränkte Optimierungsprobleme. Derartige Probleme treten zum Beispiel in den Ingenieur- oder Wirtschaftwissenschaften häufig auf. Dabei interessiert man sich für die globalen Lösungen. Nach der Bereitstellung der theoretische Grundlagen, werden die Idee und prinzipiellen Schritte für den Algorithmus vorgestellt, der eine Approximation der Lösungsmenge liefert. Dafür müssen sogenannte Auswahl-, Verwerfungs- und Abbruchkriterien entwickelt werden. Die Verwerfungskriterien sind dabei ein besonders wichtiger Aspekt. Diese untersuchen mit unterschiedlichen Methoden, ob eine Box optimale Lösungen enthalten kann. Das Kriterium, welches den Idealpunkt und den $\alpha$BB-Ansatz nutzt, wird in dieser Arbeit verbessert. Der beschriebene Algorithmus wurde in MATLAB implementiert und anhand von bekannten Testfunktionen ausführlich numerisch getestet.
Decomposed descent methods in multiobjective optimization. - 74 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2015
In vielen Anwendungsbereichen der multikriteriellen Optimierung treten heterogene Zielfunktionen auf. Diese Heterogenität kann beispielsweise in der Berechnungszeit liegen. In den bisherigen Methoden der multikriteriellen Optimierung zur Berechnung effizienter Punkte werden mögliche Unterschiede der Zielfunktionen jedoch nicht berücksichtigt. Deshalb werden in der vorliegenden Masterarbeit erste Ansätze untersucht, die mögliche Heterogenität der Zielfunktionen einzubeziehen. Dabei beschränken sich die Betrachtungen auf bikriterielle Optimierungsprobleme. Zwei der drei untersuchten Ansätze wurden in Matlab implementiert und an selbst gewählten Testfunktionen getestet.
Die verallgemeinerte Goldberg-Vermutung. - 52 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2015
In dieser Arbeit wurde der f-chromatische Index, d.h., die Kantenfärbungszahl eines gewichteten Graphen auf obere und untere Schranken untersucht. Die verallgemeinerte Goldberg-Vermutung ist eine solche obere Schranke. Die Parametrisierung der verallgemeinerten Goldberg-Vermutung wurde bisher nur für m=9 bewiesen. In dieser Arbeit wird Parametrisierung mittels einer neuen Methode von Tashkinov für m=11 gezeigt und ein neuer Beweis für m=9 geliefert.
Zur Struktur kritischer Hypergraphen. - 41 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2015
In dieser Arbeit werden kritische Hypergraphen betrachtet. Dabei werden bekannte Sätze von Graphen auf Hypergraphen erweitert und bewiesen, speziell über den Zusammenhang.