Studienabschlussarbeiten am Institut

Abstrakte Konvexität behandelt Mengensysteme, die einige Eigenschaften mit den klassischen konvexen Mengen des $\mathbb{R}^n$ gemeinsam haben. Diskrete Strukturen, wie Graphen und partiell geordnete Mengen, induzieren konvexe Räume und verwandte mathematische Strukturen auf deren Grundmengen auf verschiedenste Art und Weise. - Der erste Teil behandelt sogenannte Strict Betweenness Relationen. Zwei Relationen dieser Art werden von Graphen und partiell geordneten Mengen induziert. Es wird gezeigt für welche Strict Betweeneess Relationen sowohl Graphen als auch partiell geordnete Mengen existieren, die diese induzieren. Das Hauptresultat gibt an, dass die Komponenten bzw. schwachen Komponenten von Graphen und partiell geordneten Mengen eines solchen induzierenden Paares eine schichtartige Struktur haben müssen. Es wird weiter gezeigt, dass unter gewissen Minimalitätsforderungen das induzierende Graph-Poset-Paar einer Strict Betweenness Relation eindeutig ist. - Ein weiteres Konzept von Konvexität, $\Delta$-Konvexität auf Kantenmengen von Graphen, wird im zweiten Teil behandelt. Im Speziellen werden Graphklassen, deren minimale $\Delta$-Hüllenmengen ihre spannenden Bäume sind, betrachtet. Zunächst werden zwei Resultate von Jamison \cite{Jamison} präsentiert. Dann werden einige weitere Beispiele solcher Klassen aufgezeigt. Zum Schluss wird gezeigt, dass alle Graphen, deren minimale $\Delta$-Hüllenmengen ihre spannenden Bäume sind, eine bestimmte Eigenschaft haben, um damit zu zeigen, dass die Vermutung Jamisons, dass alle null-homotopischen Graphen zu dieser Klasse gehören, falsch ist.

Differential - algebraische Gleichungen, kurz DAEs, treten in Naturwissenschaften in natürlicher Weise oft auf. Die Lösungen solcher DAEs sind allerdings oftmals nicht explizit angebbar, oder zu komplex um an ihnen ein Systemverhalten ablesen zu können. Aus diesem Grund werden sie zum Teil mithilfe einer Laplace-transformation gelöst, wobei eine sogenannte symbolische Approximation im Frequenzbereich durchgeführt wird. Dieses Verfahren führt im allgemeinen zu wesentlich einfacheren Systemen mit gut handhabbaren Lösungen. Den hierbei entstehenden Fehler kann man im Frequenzbereich gut abschätzen, wie sich dieser aber im Zeitbereich verhält ist weitesgehend unbekannt. Aus diesem Grund werden in dieser Arbeit untersucht, wie sich Störungen von DAEs im Frequenzbereich auf die Lösung im Zeitbereich auswirken und es werden Fehlerschranken für die Lösung im Zeitbereich entwickelt. Hierbei wird nur zugrunde gelegt, dass man weiß, wie die Störung aussah, wie die Lösung des gestörten Systems aussieht und dass das Eingangssignal aus dem Raum Lø stammt. Als Grundlage dient die Laplace-theorie, um dann mithilfe der Theorie der Lebesgue- und Hardyräume Fehlerschranken im Zeitbereich zu gewinnen. Schließlich wird anhand eines praxisnahen Beispiels demonstriert, in welchen Fällen diese Fehlerschranken nützlich sind.

Meine Diplomarbeit beschreibt die numerische Verfahren für die lineare Advektionsgleichungen. Die linearen Advektionsgleichungen sind spezielle partielle Differentialgleichungen. Mit der verschiedene numerische Verfahren kann man die Nährungswert von den liearen Advektionsgleichung bestimmen. Die verschiedene Verfahren haben verschiedene Eigenschaften, z.B Konvergent, Stabilität, CFL-Bedingung usw. Wenn ein numerische Verfahren Konsistent und Stabilität ist, ist das Verfahren Konvergent. Für mehrer Dimensionen kann man durch spezielle numerische Verfahren anwenden, z.B. Taylorreihen-Verfahren, Charaktristiken-Verfahren und Operator-Splitting-Verfahren.

In dieser Arbeit betrachten wir die obere Schranke m(n-f(k-2)) für die Summe der Quadrate der Knotengrade eines dreikreisfreien k-chromatischen Graphen mit n Knotenpunkten und m Kanten. Dabei sei f(l), für ein l aus den natürlichen Zahlen, die minimale Anzahl von Knotenpunkten eines Graphen, so dass dieser l-chromatisch ist. Weiterhin ziehen wir Schlußfolgerungen aus dieser Schranke und betrachten sie für Graphen mit chlomatischer Zahl von 2 bis 7 näher.

Restringierte Vektoroptimierungsprobleme sind Probleme, die mehrere Zielfunktionen und Restriktionen besitzen. Sie treten in verschiedenen Bereichen wie z.B. das Finanz- und Ingenieurwesen auf. Um diese Art von Problemen zu lösen gibt es mehrere Verfahren, wobei in dieser Arbeit speziell die evolutionären Algorithmen untersucht wurden. Zunächst wird Theorie zu Vektoroptimierungsproblemen erläutert. Anschließend werden evolutionäre Algorithmen und deren Berücksichtigung von Restriktionen vorgestellt. Zuletzt werden Beispiele gerechnet.