Studienabschlussarbeiten am Institut

Die Diplomarbeit befasst sich mit universalen Konfidenzintervallen für den Modalwert einer eindimensionalen stetigen Verteilung. Diese Konfidenzintervalle werden bestimmt als geeignete Umgebungen der Maximalstellen von Dichteschätzern. Die Methode beruht auf allgemeinen Resultaten von G. Pflug und S. Vogel über Konfidenzmengen für Lösungen von Entscheidungsproblemen und liefert für jeden Stichprobenumfang Intervalle, die den Modalwert mit einer vorgegebenen Genauigkeit überdecken.- Zunächst werden die Aussagen bewiesen, auf denen die Methode aufbaut. Anschließend werden die Voraussetzungen dieser Aussagen für Modalwertschätzer überprüft, die auf Kernschätzern für die Dichtefunktion beruhen. Zum Nachweis der benötigten Konvergenzraten und "Tail-Behavior-Funktionen" für die gleichmäßige Konvergenz in Wahrscheinlichkeit der Dichteschätzer werden Maßkonzentrationsaussagen eingesetzt.

Gegenstand dieser Arbeit ist das Problem der Oberflächenmaximierung eines Rotationskörpers als Optimalsteuerproblem mit Zustandsrestriktionen. Hierfür werden zwei Fälle untersucht: Die Extremalen liegen symmetrisch unter einer symmetrischen, nicht-konstanten Restriktion und die Extremalen liegen nicht-symmetrisch unter einer symmetrischen, nicht-konstanten Restriktion. Das Hauptaugenmerk liegt auf der Auswertung der notwendigen Optimalitätsbedingungen.

In meiner Diplomarbeit geht es um die Schätzung in Scheinbar unverbundenen Regressionsmodellen (SUR). Nach einer Einführung in die SUR- Modelle mit M Regressionsgleichungen beschäftigen wir uns mit dem Problem, des effizienten Schätzens der Regressionskoeffizienten bei unbekannter Kovarianzmatrix. Dazu wird zunächst ein allgemeiner SUR- bzw. FGLS- Schätzer betrachtet und im Anschluss zwei spezielle Ausprägungen dieses Schätzers definiert. Zum einen der SUR-Schätzer mit Restriktionen, kurz SURR und zum anderen jener ohne Restriktionen genannt SUUR. - Nach diesen einführenden Betrachtungen reduzieren wir unser SUR Modell auf ein SUR- Modell mit zwei Gleichungen und nennen es SUR2. Es werden in SUR2 allgemeine SUR- bzw. FGLS- Schätzer für die Regressionskoeffizienten hergeleitet und diese Konzepte auf die SUUR und SURR Schätzer übertragen. Alsdann wird das Modell SUR2 weiter vereinfacht werden, d.h. wir untersuchen dann ein Zwei- Gleichungs- SUR Modell mit orthogonalen Regressoren und nennen dieses SUR3. Jenes SUR3 Modell und die Schätzung darin nimmt den Hauptteil der Diplomarbeit ein. Dazu werden in aufwändigen Rechnungen Kovarianzmatrizen der SUUR und SURR-Schätzer im Modell SUR3 hergeleitet. Damit sind Effizienzvergleiche zwischen diesen Schätzern möglich und werden ausführlich diskutiert. Danach wird die Stichprobenverteilung des SUUR- Schätzers im Mittelpunkt stehen. Genauer wird eine Dichtefunktion des zufälligen Schätzfehlers des SUUR Schätzers bestimmt. Es wird sich zeigen, dass diese Dichte bei großen Stichprobenumfängen gegen die Normalverteilung strebt. - Welche Bedeutung SUR- Modelle und SUR-Schätzungen in der Praxis haben, wird zum Ende der Diplomarbeit an einem kleinen Beispiel aus Grunfelds Investitionstheorie illustriert.

In der Arbeit wird die Regressionsfunktion betrachtet und deren mittlere Ableitung geschätzt. Für diesen Schätzer wird mit dem mittleren quadratischen Fehler (MSE) eine Fehlerabschätzung und eine Konvergenzrate angegeben. Weiter werden auf Basis des MSE die optimale Bandbreite und die optimale Kernfunktion bestimmt. Im Anschluss erfolgt mit dem Law of demand ein Anwendungsbeispiel.

In dieser Arbeit wurden mit Hilfe von C++ Programmen verschiedene numerische Untersuchungen zu diskreten Modellen der Boltzmann-Gleichung durchgeführt. Im Kapitel II. wurden am kleinsten Kollisionsmodell (6-Punkte Modelle) die Eigenschaften gezeigt und anschließend für größere Modelle verallgemeinert. Im Kapitel III. 'Numerische Untersuchungen' ist zuerst die Abhängigkeit der Lösung vom Gitter näher untersucht worden. Wir kamen zu dem Schluss, je näher der Extrempunkt (Peak) der Funktion $ M_G(v_x^{(i)},v_y^{(i)}) $ an einem Gitterpunkt liegt, um so besser wird die Energie $ E_N $ approximiert. Erhöht man die Punkte Anzahl der Modelle (vom 24-Punkte zum 96-Punkte Modell) wird die Energie $E_N$ ebenfalls besser approximiert. Probleme traten nur auf, wenn die Temperatur $ T$ sehr klein oder sehr groß wurde. Beim Test der Anfangsbedingungen wurde festgestellt, dass die Wahl der Anfangsbedingungen einen großen Einfluss auf die Berechnungen haben. In einem weiteren Punkt der Arbeit wurden die Abklingzeiten vom H- und vom M-Funktional verglichen. Wir haben festgestellt, dass das H-Funktional schneller abklingt als das M-Funktional. Bei dem M-Funktional hängt der Funktionsverlauf sehr stark von der Wahl der Variablen $ \alpha $ und $ \beta $ ab. Die Wahl der Anfangsgeschwindigkeiten spielt bei den beiden Funktionalen keine große Rolle. Im nächsten Punkt hat sich die Arbeit mit der Konstruktion diskreter Lösungen zu vorgegebenen Momenten beschäftigt. Als Grundlage diente hierfür das Newton-Verfahren. Hier hat sich gezeigt, dass die numerisch errechneten Grenzen in einigen Fällen von den theoretisch ermittelten Grenzen abweichen. Im Abschnitt III.5 haben wir das qualitative Verhalten unterschiedlicher Modelle untersucht. Mit Hilfe des Newton-Verfahrens wurde nach der Wahl von Anfangsbedingungen eine Grenzfunktion berechnet. Danach wurde mit den Anfangsbedingungen das Hauptprogramm gestartet. In jedem Schritt wurde das 4. Moment berechnet und mit dem 4. Moment der Grenzfunktion verglichen. Als Ergebnis haben wir die Funktion $\phi(t)$ erhalten und festgestellt, dass sie in den Bereichen gemäß Tabelle 1 (Kapitel III.1) einen linearen Verlauf hat. Der optimale Verlauf zeigte sich im 96-Punkte Modell mit der Anfangsbedingung $\theta=1$ und dem Vorfaktor $\alpha_1=1$ vor dem Stoßoperator. Diese Werte wurden dann im Abschnitt III.3 übernommen. Hier wurde gezeigt, dass die Lösung die Eigenschaften des BKW-Typ erfüllen. Das Kapitel IV. stellt die Programme, die während der numerischen Untersuchungen benutzt wurden, näher vor. Im Anhang sind die Abbildungen, die im Text nur schwer erkennbar sind, nochmals dargestellt. Weiterhin sind die Tabellen und die Quellcodes der einzelnen Programme angegeben.