Studienabschlussarbeiten am Institut

In dieser Arbeit wurden mit Hilfe von C++ Programmen verschiedene numerische Untersuchungen zu diskreten Modellen der Boltzmann-Gleichung durchgeführt. Im Kapitel II. wurden am kleinsten Kollisionsmodell (6-Punkte Modelle) die Eigenschaften gezeigt und anschließend für größere Modelle verallgemeinert. Im Kapitel III. 'Numerische Untersuchungen' ist zuerst die Abhängigkeit der Lösung vom Gitter näher untersucht worden. Wir kamen zu dem Schluss, je näher der Extrempunkt (Peak) der Funktion $ M_G(v_x^{(i)},v_y^{(i)}) $ an einem Gitterpunkt liegt, um so besser wird die Energie $ E_N $ approximiert. Erhöht man die Punkte Anzahl der Modelle (vom 24-Punkte zum 96-Punkte Modell) wird die Energie $E_N$ ebenfalls besser approximiert. Probleme traten nur auf, wenn die Temperatur $ T$ sehr klein oder sehr groß wurde. Beim Test der Anfangsbedingungen wurde festgestellt, dass die Wahl der Anfangsbedingungen einen großen Einfluss auf die Berechnungen haben. In einem weiteren Punkt der Arbeit wurden die Abklingzeiten vom H- und vom M-Funktional verglichen. Wir haben festgestellt, dass das H-Funktional schneller abklingt als das M-Funktional. Bei dem M-Funktional hängt der Funktionsverlauf sehr stark von der Wahl der Variablen $ \alpha $ und $ \beta $ ab. Die Wahl der Anfangsgeschwindigkeiten spielt bei den beiden Funktionalen keine große Rolle. Im nächsten Punkt hat sich die Arbeit mit der Konstruktion diskreter Lösungen zu vorgegebenen Momenten beschäftigt. Als Grundlage diente hierfür das Newton-Verfahren. Hier hat sich gezeigt, dass die numerisch errechneten Grenzen in einigen Fällen von den theoretisch ermittelten Grenzen abweichen. Im Abschnitt III.5 haben wir das qualitative Verhalten unterschiedlicher Modelle untersucht. Mit Hilfe des Newton-Verfahrens wurde nach der Wahl von Anfangsbedingungen eine Grenzfunktion berechnet. Danach wurde mit den Anfangsbedingungen das Hauptprogramm gestartet. In jedem Schritt wurde das 4. Moment berechnet und mit dem 4. Moment der Grenzfunktion verglichen. Als Ergebnis haben wir die Funktion $\phi(t)$ erhalten und festgestellt, dass sie in den Bereichen gemäß Tabelle 1 (Kapitel III.1) einen linearen Verlauf hat. Der optimale Verlauf zeigte sich im 96-Punkte Modell mit der Anfangsbedingung $\theta=1$ und dem Vorfaktor $\alpha_1=1$ vor dem Stoßoperator. Diese Werte wurden dann im Abschnitt III.3 übernommen. Hier wurde gezeigt, dass die Lösung die Eigenschaften des BKW-Typ erfüllen. Das Kapitel IV. stellt die Programme, die während der numerischen Untersuchungen benutzt wurden, näher vor. Im Anhang sind die Abbildungen, die im Text nur schwer erkennbar sind, nochmals dargestellt. Weiterhin sind die Tabellen und die Quellcodes der einzelnen Programme angegeben.

Die Beschreibung eines technischen oder physikalischen Systems geschieht oft durch ein lineares System. Eine wichtige Größe ist dabei der sogenannte Relativgrad. Die Zustandsrückführung eines linearen, zeitinvarianten, minimalphasigen Eingrößensystems mit positivem Hochverstärkungsfaktor geschieht oft durch ein sogenanntes konstantes Feedback. In dieser Arbeit wird gezeigt, dass diese Art der Rückführung bei der Stabilisierung von Systemen mit höherem Relativgrad versagt. Es wird eine neue Klasse von hochverstärkenden, parameterabhängigen dynamischen Reglern angegeben, die unter gewissen Voraussetzungen an das Systemmodell diesen Mangel der konstanten Zustandsrückführung beseitigen. Dabei geht der Relativgrad in die Darstellung des Reglers explizit mit ein. Bei der Modellierung eines technischen oder physikalischen Systems ist der Relativgrad oftmals nicht exakt bekannt. Eine wichtige Frage ist, wie robust diese neue Reglerklasse gegenüber Unsicherheiten bei der Kenntnis des Relativgrades ist. Diese Frage kann beantwortet werden und es zeigt sich, dass bei dieser Klasse von Reglern der Relativgrad exakt bekannt sein muss, um Stabilit¨at zu erreichen. Dies ist Grundlage eine zweite Klasse von hochverstärkenden parameterabhängigen dynamischen Reglern anzugeben, wobei die exakte Kenntnis des Relativgrades nicht erforderlich ist und die Kenntnis einer oberen Schranke genügt. Das Hauptresultat dieser Arbeit ist, unter gewissen Voraussetzungen an das Systemmodell und unter Verwendung dieser zwei Reglerklassen, die parametermonotone adaptive Stabilisierung von minimalphasigen, linearen Eingrößensystemen mit einem adaptiven Gesetz, das in der Literatur so nicht auftaucht.

Für zeitinvariante Eingangs/Ausgangssysteme existieren verschiedene Charakterisierungen für den sogenannten Relativgrad des Systems. Man unterscheidet zwischen linearen und nichtlinearen Eingangs/Ausgangssystemen. In dieser Arbeit wird eine verallgemeinerte Definition des Relativgrades für zeitvariante nicht-lineare Systeme angegeben und darauf aufbauend eine Charakterisierung des Relativgrades zeitvarianter linearer Systeme begründet. Diese Charakterisierung stützt sich ausschließlich auf die zeitabhängigen Systemmatrizen und deren Ableitungen. Es wird gezeigt, dass in dieser Darstellung des Relativgrades zeitvarianter linearer Systeme die bekannte Darstellung für zeitinvariante lineare Systeme aufgehoben ist und, interpretiert man das zeitvariante lineare System als zeitinvariantes nichtlineares System, die Definition ebenso aufgehoben ist. Die Darstellung des Relativgrades zeitvarianter linearer Systeme wird nun genutzt, um bezüglich einer zeitvarianten linearen Transformation eine Normalform für zeitvariante lineare Systeme zu entwickeln, welche in ihrer Struktur der Normalform zeitinvarianter linearer Systeme gleicht. Die Normalform für zeitvariante lineare Systeme wird schließlich als Grundlage der Betrachtung der sogenannten Nulldynamik dieser Systeme verwendet. Dazu wird Beschränktheit sowie Stabilität der Nulldynamik definiert und es wird bewiesen, dass die Nulldynamik eines zeitvarianten linearen Systems genau dann beschränkt ist, wenn die Nulldynamik der korrespondierenden Normalfrom beschränkt ist. Entsprechende Behauptungen werden auch für asymptotische und exponentielle Stabilität gezeigt.