Projekte

Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 576381369

2026 -2029

In diesem Projekt möchten wir die Möglichkeiten der Approximation der Menge der nichtdominierten Punkte eines konvexen nichtlinearen multikriteriellen Optimierungsproblems durch nichtlineare Kurven untersuchen. Genauer gesagt, möchten wir uns auf bikriterielle konvexe nichtlineare Optimierungsprobleme konzentrieren, d. h. Probleme mit zwei Zielfunktionen. Wir planen deren nichtdominierte Menge durch nichtlineare ebene Kurven zu approximieren. Dafür wollen wir bereits bekannte Ergebnisse für die Approximation konvexer Funktionen nutzen. Wir planen etwa, die etablierten Sandwich-Methoden für konvexe Funktionen als Ausgangspunkt zu verwenden und die dort konstruierten polygonalen Funktionen zu glätten, da glatte Funktionen für komplexere weiterführende Aufgaben praktischer sind. Darüber hinaus möchten wir diese Approximationen zur Lösung komplexerer Optimierungsprobleme einsetzen.

Beteiligte: Prof. Dr. Gabriele Eichfelder; Jakob Schelinski

Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 528525668

2024 - 2027

Obwohl die Gewichtete-Summe-Skalarisierung eine beliebte Methode ist, um Lösungen multikriterieller Optimierungsprobleme zu bestimmen, ist bekannt, dass auf diese Weise im Allgemeinen nicht alle, sondern nur die gestützten Lösungen gefunden werden können. Eine Standardannahme, unter der alle Lösungen gestützt sind, ist die Konvexität des multikriteriellen Problems. Das erste Hauptziel dieses Projekts ist die Identifizierung einer erheblich größeren Klasse multikriterieller Probleme, für die alle Lösungen gestützt sind und daher per Gewichtete-Summe-Skalarisierung berechnet werden können. Solche multikriteriellen Probleme nennen wir gestützt. Da die wesentliche Konsequenz der Konvexität eines multikriteriellen Problems die Konvexität seiner sogenannten oberen Bildmenge ist, besitzen auch versteckt-konvexe Probleme die gewünschte Eigenschaft, womit wir nichtkonvexe Probleme mit konvexer oberer Bildmenge meinen. Darüber hinaus kann ein multikriterielles Problem selbst bei nichtkonvexer oberer Bildmenge gestützt sein. Wir zielen auf ein besseres Verständnis der Klasse der gestützten multikriteriellen Probleme ab, die im obigen Sinne eine zwischen den konvexen und den nichtkonvexen Problemen angesiedelte Kategorie bildet.

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Beteiligte:  Prof. Dr. Gabriele Eichfelder;  Prof. Dr. Oliver Stein; Christian Kugelmann; Felix Neussel

• Gabriele Eichfelder, Christian Kugelmann, E. Alper Yildirim, Convexlikeness and Supportedness in Quadratic Multiobjective Optimization, OptimizationOnline, 2026.
• Felix Neussel, Oliver Stein, On supportedness-promoting image space transformations in multiobjective optimization, Optimization, 2026. 

Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 432218631

2020 - 2023

Ziel dieses Projekts ist die Entwicklung mathematischer Methoden zur numerischen Lösung von gemischt-ganzzahligen nichtlinearen multikriteriellen Optimierungsproblemen (MOMIPs). Wir betrachten also Optimierungsprobleme mit mehreren konkurrierenden Zielfunktionen, bei denen einige der Variablen ganzzahlig und andere kontinuierlich sind. Solche Optimierungsprobleme treten in einer Vielzahl von Anwendungen, wie zum Beispiel in der Produktionsplanung oder in ingenieurwissenschaftlichen Designproblemen, auf. MOMIPs kombinieren dabei die Schwierigkeiten aus zwei Bereichen der mathematischen Optimierung: der multikriteriellen und der gemischt-ganzzahligen Optimierung, die zu den NP-vollständigen Problemen zählt. Diese Optimierungsprobleme gehören wegen der ganzzahligen Variablen zur Klasse der nichtkonvexen Optimierungsprobleme, weswegen Techniken der globalen Optimierung zum Einsatz kommen und die Entwicklung effizienter Verfahren eine große Herausforderung darstellt.

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Beteiligte:  Prof. Dr. Gabriele Eichfelder;  Leo Warnow

• Software: AdEnA, HyPaD, MOMIBB
• Gabriele Eichfelder, Tobias Gerlach, Leo Warnow, A Test Instance Generator for Multiobjective Mixed-integer Optimization, Mathematical Methods of Operations Research, DOI 10.1007/s00186-023-00826-z, 100, 385–410, 2024.
• Gabriele Eichfelder and Leo Warnow, A hybrid patch decomposition approach to compute an enclosure for multi-objective mixed-integer convex optimization problems, Mathematical Methods of Operations Research, DOI 10.1007/s00186-023-00828-x, 100, 291–320, 2024.
• Gabriele Eichfelder, Oliver Stein, Leo Warnow, A solver for multiobjective mixed-integer convex and nonconvex optimization, DOI 10.1007/s10957-023-02285-2, Journal of Optimization Theory and Application,  203, 1736–1766, 2024.
• Gabriele Eichfelder, Leo Warnow, Advancements in the computation of enclosures for multi-objective optimization problems, European Journal of Operational, 310(1),  315-327, see also OptimizationOnline, 2023.
• Gabriele Eichfelder, Tobias Gerlach, Leo Warnow, Test Instances for Multiobjective Mixed-Integerm Nonlinear Optimization, OptimizationOnline, 2023.
• Gabriele Eichfelder and Leo Warnow, An approximation algorithm for multi-objective optimization problems using a box-coverage, Journal of Global Optimization, 83, 329–357, 2022.

• Gabriele Eichfelder and Leo Warnow, On implementation details and numerical experiments for the HyPaD algorithm to solve multi-objective mixed-integer convex optimization problems, Optimization Online, 2021.

2019 – 2023

Gabriele Eichfelder ist externe Projektpartnerin  (Projektleitung: Lars Grüne, Univ. Bayreuth, Proiekt GR 1569/13-2) siehe auch Projektwebsite.

• Gabriele Eichfelder, Lars Grüne, Lisa Krügel, Jonas Schießl, Relaxed assumptions and a simplified algorithm for multiobjective MPC, Computational Optimization and Applications, 86, 1081–1116, 2023.

Bundesministerium für Wirtschaft und Klimaschutz (BMWK) - Projektnummer 03EI4013B

2020 - 2023

Verbundvorhaben mit Prof. Christof Büskens, Universität Bremen; Prof. Sebastian Lehnhoff,  OFFIS e.V., Institut für Informatik IAV, Oldenburg  IAV GmbH; EWE Netz GmbH

Werden Quartiersnetze in die übergeordneten Netzführungen zur Erbringung von Netz- und Systemdienstleistungen integriert, so wird eine reine Optimierung der Quartiersnetze unter einer von außen vorgegebenen Gewichtung der relevanten Ziele der Problemstellung nur unzureichend gerecht. Zusätzlich können Unsicherheiten etwa in Form von Schwankungen auftreten, jedoch muss die gefundene Lösung dem gegenüber robust sein. In diesem Teilprojekt werden die Möglichkeiten der Quartiersnetze zur Erbringung von Dienstleistungen bezüglich der einzelnen Ziele untersucht, ohne diese mittels Gewichten zu aggregieren - und das unter der Berücksichtigung der auftretenden Unsicherheiten. Die einzelnen Kriterien werden individuell als konkurrierende Ziele betrachtet. Zu einem trade-off zwischen diesen kommt es erst in einem zweiten Schritt, wenn die verschiedenen, unter gleichzeitiger Berücksichtigung aller Kriterien optimalen Möglichkeiten ermittelt wurden. Die auftretenden Unsicherheiten werden dabei mittels Methoden der Mengenoptimierung modelliert, um mit neu zu entwickelnden Verfahren zu robusten Lösungen zu kommen. Würden diese nicht berücksichtigt, so wären die Optimierungsergebnisse bei Schwankungen nicht verlässlich. Die Störanfälligkeit kann sich summieren und damit zu einer ungewollten Destabilisierung des Netzes führen.

Der Arbeitsschwerpunkt wird die Ermittlung der Auswirkungen von Schwankungen in unsicherheits­behafteten Variablen mittels Mengenoptimierung sein. Dabei wird auch untersucht, ob eine Kombination mit Erkenntnissen der Sensitivitätsanalyse hilfreich ist. Die Planung sieht auch vor, die auftretenden Bi-level Probleme mittels Skalierungsansätzen zu lösen, sowie diese mit KKT-basierten Ansätzen zu hybriden Verfahren zu kombinieren. Ein weiterer Aspekt ist die Erweiterung der Verfahren auf gemischt ganzzahlige Probleme. Die entwickelten Methoden werden verglichen, validiert und getestet, sowie die ermittelten Erkenntnisse publiziert.

Beteiligte:  Prof. Dr. Gabriele Eichfelder;  Dr. Ernest Quintana

• MOBO Multiobjective Bilevel Solver Github
• Gabriele Eichfelder, Ernest Quintana, Set-based Robust Optimization of Uncertain Multiobjective Problems via Epigraphical Reformulations, European Journal of Operational Research 313(3), 871-882, 2024.  (  OptimizationOnline)
• Gabriele Eichfelder, Ernest Quintana and Stefan Rocktäschel, A Vectorization Scheme for Nonconvex Set Optimization Problems, SIAM Journal on Optimization, 32(2), 1184-1209, 2022.

Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 392195690

2018 - 2022

Die mengenwertige Optimierung ist ein aktuelles und schnell fortschreitendes Gebiet der mathematischen Optimierung. Die intensive Forschung in diesem Bereich wird durch wichtige Anwendungsgebiete wie etwa dem Finanzwesen (dynamische multivariate Risikomaße) oder der robusten Optimierung (Unsicherheiten bezüglich der Realisierung von Entscheidungsvariablen) motiviert. Die wesentliche Herausforderung ist, dass die Werte der Zielfunktionen nun Mengen sind, die für praktisch relevante Optimalitätsbegriffe (bekannt als Mengenzugang) als Ganzes miteinander verglichen werden müssen. Dies hat zudem zur Folge, dass die Menge der optimalen Lösungen im Allgemeinen unendlich ist und es das Ziel sein muss, gute Approximationen dieser Menge zu bestimmen. Es gibt eine stetig wachsende Zahl an Publikationen in der Mengenoptimierung basierend auf dem Mengenzugang, die sich jedoch vor allem auf theoretische Aspekte konzentrieren. Numerische Lösungsverfahren gibt es nur sehr eingeschränkt, etwa nur für lineare Probleme oder nur auf dem direkten Vergleich der Werte der Zielfunktion beruhend. Mit diesem Projekt ist es unser Ziel, wesentliche Beiträge zur Weiterentwicklung der Mengenoptimierung zu liefern, indem wir theoretische Resultate entwickeln, die direkt für die Entwicklung eines Algorithmus' genutzt werden.

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Beteiligte:  Prof. Dr. Gabriele Eichfelder;  Stefan Rocktäschel

• Gabriele Eichfelder, Tobias Gerlach, Stefan Rocktäschel, Convexity and continuity of specific set-valued maps and their extremal value functions, Journal of Applied and Numerical Optimization, 5(1), 71-92, 2023.
• Gabriele Eichfelder, Ernest Quintana and Stefan Rocktäschel, A Vectorization Scheme for Nonconvex Set Optimization Problems, SIAM Journal on Optimization, 32(2), 1184-1209, 2022.
• Gabriele Eichfelder and Stefan Rocktäschel, Solving set-valued optimization problems using a multiobjective approach, Optimization, ,72(3),  789-820, 2023. 
• Tobias Gerlach and Stefan Rocktäschel, On convexity and quasiconvexity of extremal value functions in set optimization. Appl. Set-Valued Anal. Optim,
  DOI: 10.23952/asvao.3.2021.3.04, 2021. 

2020

Kooperationsprojekt mit der Firma GRAFE Advanced Polymers GmbH.

Untersuchung der Anwendbarkeit mathematischer Methoden zur Erstellung optimierter Rezepturen zur Kunststoffmodifizierung.

Beteiligte:  Prof. Dr. Gabriele Eichfelder;  Dr. Tobias Gerlach

DAAD Vsiting Grant, granted to Prof. Marianna De Santis, Sapienza University of Rome for a 4 weeks visit

2019

Most real-world optimization problems in the areas of applied sciences, engineering and economics involve multiple, often conflicting and nonlinear, goals. In the mathematical model of these problems, under the necessity of reflecting discrete quantities, logical relationships or decisions, integer and 0-1-variables need to be considered. We are then in the context of MultiObjective Mixed Integer Nonlinear Problems (MO-MINLPs). MO-MINLP problems combine all the diculties of both MultiObjective Problems (MOPs) and Mixed Integer Nonlinear Programming problems (MINLPs), which are among the class of theoretically dicult problems (NP-complete). These problems are intrinsically nonconvex and thus require global optimization techniques. Therefore, the design of ecient solution methods is a big challenge for people working in optimization and operations research. The research activity will be devoted to the study and the denition of new optimization methodologies to deal with a specic class of MO-MINLPs: in particular, we plan to focus on convex multiobjective mixed integer programming problems.

• Marianna De Santis, Gabriele Eichfelder, Julia Niebling and Stefan Rocktäschel, Solving Multiobjective Mixed Integer Convex Optimization Problems, SIAM Journal on Optimization, 30(4), 3122-3145, 2020.
• Marianna De Santis and Gabriele Eichfelder, A Decision Space Algorithm for Multiobjective Convex Quadratic Integer Optimization, Computers and Operations Research, 134, 2021. 

Nachwuchsförderprogramm der Carl-Zeiss-Stiftung für Frau Julia Niebling

2017 - 2019

This project aims on the development of deterministic and efficient algorithms with a well-founded theoretical background for nonconvex multi-objective optimization problems. Thereby one has to compare vectors of objective function values based on the componentwise ordering in the multi-objective case. The new algorithms shall calculate a covering or a representation of the set of optimal solutions or of the image of this set under the objective function, respectively, with a predefined quality. The new algorithm will be based on the well-known Branch and Bound method, which is a global optimization method to solve scalar-valued problems. This method will be generalized to vector optimization by defining new and appropriate selection and branching rules. The basic idea of this algorithmic approach is a covering of the feasible set using boxes. The selection rules define which boxes will be partitioned in the next iteration of the algorithm and influence thus the quality of the covering/representation and the effectiveness of the procedure. For the bounding step criteria have to be determined which allow to omit sub-boxes in the remaining of the procedure. The main challenge is that the formulation of these criteria in the case of vector optimization requires the comparison of points with sets and sets with sets numerically. For doing this inner and outer approximations have to be found for these sets. This can be done by adapting known procedures for approximating the efficient set of convex multiobjective optimization problems.  Thus, the results of the project will also serve as an important step towards the development of numerical algorithms for the solution of more general set optimization problems.

Beteiligte: Dr. Julia Niebling

• Julia Niebling, Gabriele Eichfelder, A Branch-and-Bound based Algorithm for Nonconvex Multiobjective Optimization, SIAM Journal on Optimization, 29(1), 794 - 821, 2019.

• Gabriele Eichfelder, Julia Niebling, Stefan Rocktäschel, An algorithmic approach to multiobjective optimization with decision uncertainty, Journal of Global Optimization,  77,  3–25, 2020.

• Gabriele Eichfelder, Kathrin Klamroth, Julia Niebling, Nonconvex Constrained Optimization by a Filtering Branch and Bound,
  Journal of Global Optimization,80, 31–61, 2021.

• Gabriele Eichfelder, Kathrin Klamroth, Julia Niebling, Using a B&B algorithm from multiobjective optimization to solve constrained optimization problems, AIP Conference Proceedings 2070, 020028 (2019) https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.5089995

• Julia Niebling, Gabriele Eichfelder, A Branch-and-Bound Algorithm for Biobjective Problems, Proceedings of the XIII Global Optimization Workshop GOW'16, 57-60, 2016.

Project B5 in GRK 1567:  Lorentz Force Velocimetry and Lorentz Force Eddy Current Testing

Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 89085041

associated 2013 - 2015, Dr. Jana Thomann 2016 - 2019

In several projects of the Research Training Group optimization problems arise which have two or more conflicting objectives. Such problems are called multi-objective optimization problems. For instance, for the Lorentz force velocimetry it is important to find geometric arrangements of magnets such that the weight of the magnets is small while the measurable Lorentz force is large. These two objectives are competing and have to be optimized simultaneously. While the first is comparatively easy to evaluate, the values for the second objective can only be obtained by a time consuming (‘expensive’) numerical simulation run. Therefore, the goal of project B-5 is to develop a general procedure for multi-objective optimization problems where one of the objective functions is simulation based/expensive. A special focus of the project will be on the heterogeneous character of the objective functions. The procedure will be implemented and numerically tested. The algorithm will also be applied to optimization problems which arise in other projects of the Research Training Group as for instance that of the project B-4 from 2013-2015. The PhD student will further use his or her knowledge in mathematical optimization to perform a deep theoretical investigation of the algorithm. It is the aim to show its convergence and its ability to solve the problems of interest with a pre-defined quality.

Beteiligte:  Prof. Dr. Gabriele Eichfelder;  Dr. Jana Thomann

• Jana Thomann, Gabriele Eichfelder, A Trust-Region Algorithm for Heterogeneous Multiobjective Optimization, SIAM Journal on Optimization, 29(2), 1017 - 1047, 2019.

• Jana Thomann, Gabriele Eichfelder, Numerical Results for the Multi-Objective Trust Region Algorithm MHT, Data in Briefs, 25 , 18 pages, 2019.

• Jana Thomann, Gabriele Eichfelder,  Representation of the Pareto front for heterogeneous multi-objective optimizationzation, Journal of Applied and Numerical Optimization, 1(3), 293-323, 2019.

• Sebastian Prinz, Jana Thomann, Gabriele Eichfelder, Thomas Boeck and Jörg Schumacher, Expensive multi-objective optimization of electromagnetic mixing in a liquid metal, Optimization and Engineering, 22(2), 1065-1089, 2021

DFG – Initiation and Intensification of Bilateral Cooperation

August 2012, guest: Prof. Refail Kasimbeyli, Izmir

It is planned to start joint research in the field of vector optimization, i.e. on optimization problems with a vector-valued objective function, and within this field especially on problems with a variable ordering structure replacing the common partial ordering. That problem class was mentioned already in 1974 in a fundamental paper on vector optimization problems but since then not much research was done in this area. A reason for that might have been that no applications were known using such an ordering principle which allows the preferences to depend on the current values in the image space. Recently, several applications for instance in medical image registration or portfolio optimization have risen the interest and for that reason it is of importance to study these optimization problems more deeply. The basic theory is meanwhile understood, but for deeper understanding several optimality concepts like the notion of proper optimality -- known from vector optimization in partially ordered spaces because of their importance in applications -- need to be studied in this new context. Proper optimality is in general closely related to scalarization functionals such that one needs to study also those and the applicants plan to apply their joint knowledge also here.

• Gabriele Eichfelder and Refail Kasimbeyli, Properly optimal elements in vector optimization with variable ordering structures, Journal of Global Optimization, Volume 60(4), 689-712, 2014.