Studienabschlussarbeiten

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Friedrich, Timon;
Über drei Arbeiten aus der Spieltheorie. - Ilmenau. - 53 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2021

Das Ziel dieser Masterarbeit ist es, ausgewählte Arbeiten aus der Spieltheorie, neu darzustellen, weiter zu untersuchen und neue Erkenntnisse zu generieren. Dazu wird folgende Forschungsfrage gestellt: Welche neuen Aussagen können ergänzend zur vorgestellten Literatur bewiesen werden? Um die Frage zu beantworten, werden verschiedene wissenschaftliche Publikationen ausgewertet und ergänzendes Hintergrundwissen zusammengetragen. In Abschnitt 3 sehen wir, dass eine abzählbar unendliche Spielermenge nötig ist, damit ein sogenanntes Wasserfallspiel existiert. Dem Autor ist es gelungen zu beweisen, dass dies für eine beliebige abzählbar unendliche Menge erfüllt ist. Wenn wir beim Austausch der i-ten Aktion durch H bzw. S Gleichheit der Auszahlungsfunktion zulassen, dann können wir zeigen, dass dieses Spiel leicht für eine beliebige abzählbar unendliche Menge konstruierbar ist. Anhand des Untreue-Ehemänner-Problems untersuchen wir in Abschnitt 4 die Auswirkungen der Kommunikationsform. Hierbei stellen wir fest, dass untreue Ehemänner frühestens nach drei Nächten hingerichtet werden können, wenn sich die Frauen nicht über die Treue ihrer Männer unterhalten dürfen. Insgesamt erkennen wir, dass die Anzahl der untreuen Ehemänner für die Argumentation entscheidend ist. Aus diesem Kommunikationsdilemma lernen wir, dass die Wirkung einer Aussage maßgeblich von der Beschaffenheit des Informationskanals abhängt. Dabei nimmt der derzeitige Allgemeinwissensstand eine zentrale Rolle ein. Abschließend können wir mithilfe der evolutionären Spieltheorie feststellen, wie stabil Strategien sind. Dabei erkennen wir, dass das Nash-Gleichgewicht im Urlauberdilemma instabil ist, wenn es zulässig ist, dass sehr große Zahlen notiert werden. Daher ist es, entgegen der klassischen Spieltheorie, sinnvoll von Nash-Gleichgewichten abzuweichen.



Zeyda, Robert;
Über eine Modifikation des Pólyaschen Urnenprozesses. - Ilmenau. - 42 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2017

Diese Arbeit beschäftigt sich mit einer möglichen Verallgemeinerung von Pólyas Urnenprozess aus dem Jahre 1923. Charakteristisch für das Ausgangsproblem ist die Vergrößerung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, je häufiger es in der Vergangenheit eingetreten ist. Dieser Effekt modelliert Zusammenhänge in sozialen Netzwerken, wie die Ausbreitung von Krankheiten. Das Grenzverhalten bezüglich der Häufigkeiten beider Kugelfarben wurde dazu beschrieben und weitere Variationen des Problems mit mehreren Urnen und Kugelfarben aus der Literatur analysiert. Das selbst gestellte Problem verallgemeinert Pólyas Modell derart, dass unter den Urnen $U_1,\dots,U_k$ unabhängig und gleichverteilt zwei Urnen $U_q$ und $U_e$ ausgewählt werden, wobei eine Kugel aus $U_q$ gezogen, zurückgelegt und eine gleichfarbige Kopie in $U_e$ gelegt wird. Dabei wurde die fast sichere Konvergenz der relativen Häufigkeiten von (farbunabhängiger) Kugelzahl einer Urne im Vergleich zum Gesamtbestand sowie der Anzahl der Kugeln einer bestimmten Farbe in einer Urne zur Gesamtzahl gleichfarbiger Kugeln gegen $1/k$ festgestellt. Damit konnte geschlussfolgert werden, dass für den Spezialfall des zweiurnigen Modells die Differenz der relativen Anteile für zwei Farben mit $n \to \infty$ fast sicher gegen 0 konvergiert. Weiter wurden Algorithmen zur Simulation von Realisierungen und der sukzessiven Berechnung der exakten Verteilung angegeben, die die Farbverteilungen der beiden Modelle vergleichen sollen.



Schweser, Thomas;
Graph partitions. - Ilmenau. - 52 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2017

Eine Partition eines Graphen $G$ ist eine Folge $(G_1,G_2,\ldots,G_p)$ paarweise disjunkter induzierter Teilgraphen von $G$ mit $V(G)=V(G_1) \cup V(G_2) \cup \ldots \cup V(G_p)$. Diese Arbeit beschäftigt sich mit Zerlegungen von (Multi-)Graphen unter bestimmten Gradbedingungen. So werden unter anderem eine Verallgemeinerung eines Satzes von Borodin, Kostochka und Toft bewiesen, welcher Zerlegungen von Graphen mit Anforderungen an die Degeneriertheit untersucht. Des Weiteren werden Sätze von Stiebitz, Kaneko, Bazgan, Tuza und Vanderpooten, als auch Liu und Xu verallgemeinert; diese handeln von Graphzerlegungen mit Mindestanforderungen an den Minimalgrad.



Möller, Florian;
Das Max-k-Kantenfärbungsproblem. - Ilmenau. - 29 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2017

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit den Max-k-Kantenfärbungsproblem. Dabei betrachten wir die Resultate von Farnik, Kowalik und Socała aus ihrer Arbeit "Beyond the Shannon Bound" und führen die Beweise schneller und verständlicher. Zum Abschluß beschäftigen wir uns noch mit Färbungsalgorithmen um einen Graphen mit den Konzept des Max-k-Kantenfärbungsproblem zu färben.



Hippmann, Lisa;
Färbungskritische signierte Graphen. - 37 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016

Ein signierter Graph ist ein Graph, in dem jede Kante mit +1 oder -1 bewertet (signiert) ist. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit kritischen signierten Graphen und ihren Färbungen. Kritische signierte Graphen sind besonders interessant, weil sich Färbungsprobleme signierter Graphen oft auf Färbungsprobleme kritischer signierter Graphen zurückführen lassen. So werden zunächst wichtige, bereits bekannte Ergebnisse der chromatischen Zahl signierter Graphen wiedergegeben und anschließend Färbungen kritischer signierter Graphen diskutiert. Den Hauptteil der Arbeit bildet dann der Vergleich gewöhnlicher kritischer Graphen mit kritischen signierten Graphen. Dabei wird sich zeigen, dass viele Eigenschaften kritischer Graphen auch für kritische signierte Graphen gelten. Den Abschluss bilden dann der Zusammenhang sowie die Hajós-Konstruktion kritischer signierter Graphen. Auch hier wird überprüft inwieweit sich Eigenschaften von kritischen Graphen auf kritische signierte Graphen übertragen lassen.



Fanselow, Niklas;
Die verallgemeinerte Goldberg-Vermutung. - 52 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2015

In dieser Arbeit wurde der f-chromatische Index, d.h., die Kantenfärbungszahl eines gewichteten Graphen auf obere und untere Schranken untersucht. Die verallgemeinerte Goldberg-Vermutung ist eine solche obere Schranke. Die Parametrisierung der verallgemeinerten Goldberg-Vermutung wurde bisher nur für m=9 bewiesen. In dieser Arbeit wird Parametrisierung mittels einer neuen Methode von Tashkinov für m=11 gezeigt und ein neuer Beweis für m=9 geliefert.



Steinacker, Alex;
Zur Struktur kritischer Hypergraphen. - 41 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2015

In dieser Arbeit werden kritische Hypergraphen betrachtet. Dabei werden bekannte Sätze von Graphen auf Hypergraphen erweitert und bewiesen, speziell über den Zusammenhang.



Schweser, Thomas;
Zur listenchromatischen Zahl signierter Graphen. - 39 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2015

Signierte Graphen sind Graphen, in denen jede Kante mit +1 oder -1 beschriftet (signiert) ist. Die vorliegende Arbeit gibt zunächst bereits bekannte Ergebnisse wieder, insbesondere zur signierten chromatischen Zahl, und beschäftigt sich danach intensiv mit Listenfärbungen signierter Graphen. Insbesondere wird eine Listenversion des Satzes von Brooks für signierte Graphen bewiesen. Den Abschluss der Arbeit bildet ein Kapitel über kritische und listenkritische signierte Graphen. In diesem liegt der Schwerpunkt darauf, eine Schranke für die minimale Anzahl von Kanten in schlichten k-listenkritischen signierten Graphen nachzuweisen. Ein kurzer Exkurs zu toroidalen Graphen schließlich zeigt den Nutzen dieser Schranke auf und motiviert dazu, sich weiter mit der Thematik der signierten Graphen zu beschäftigen.



Zeyda, Robert;
Algorithmen zur Berechnung des Volumens beschränkter nicht notwendig konvexer Polyeder im R 3. - 41 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2015

Die effiziente Volumenberechnung allgemeiner beschränkter Polyeder hat große Bedeutung in geometrischen und computergrafischen Bereichen. In dieser Arbeit wird dazu unter Benutzung geeigneter Datenstrukturen eine Methode aus der Literatur zur Berechnung von Geradenschnittpunkten aufgegriffen. Mithilfe dieser wird eine Struktur verwaltet, die das Problem zerlegt und sukzessive Teilvolumen aufaddiert. Damit ergibt sich für einen gegebenen Polyeder mit n berandenden Polygonen und höchstens m Ecken für jedes Polygon eine Laufzeit von O((nm + s) log(nm) + n 2 m 2 log n) mit s <= n 2 m 2. Die Schranke, insbesondere der Wert s, bietet Verbesserungsmöglichkeiten in der Abschätzung. Nach Konstruktion sind Verallgemeinerungen des gegeben Algorithmus für Polyederschnitte möglich. Dem gegenüber wird eine Methode mit Laufzeit O(nm) beschrieben, die eine konsistente Orientierung der Polygone fordert.



Mendez, Thomas;
Baumweite endlicher Graphen und Separatortheoreme. - 21 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2014

Die Ergebnisse dieser Bachelorarbeit sind Aussagen über den Zusammenhang zwischen Baumweite und Zerlegbarkeit eines Graphen.