Lehre

Gegenstand dieser Arbeit ist es, gewisse Funktionale der Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen (kurz SDE) auf Differenzierbarkeit nach Parametern der SDE zu untersuchen und diese Ableitungen gegebenenfalls als Erwartungswert darzustellen, um eine möglichst einfache numerische Berechnung mittels MonteCarloSimulation zu ermöglichen. Im Zentrum der Betrachtung steht die finanzmathematische Anwendung und die Berechnung von Greeks. Ziel soll es sein, die theoretische Grundlage für einen numerischen Versuchslauf zu erarbeiten. Zu diesem Zweck werden zunächst die SDE aufgestellt und die wichtigsten allgemeinen Voraussetzungen aufgeführt. Anschließend wird der Malliavin-Kalkül eingeführt, der das zentrale Werkzeug in dieser Arbeit darstellt. Dessen zwei Operatoren, die Malliavin-Ableitung und der Divergenzoperator, werden definiert und auf einige wichtige grundlegende Eigenschaften untersucht. Außerdem wird die grundlegende Anwendung der Malliavin-Ableitung auf die Lösung der SDE behandelt. Anschließend wird die Darstellung von Greeks als Erwartungswerte mittels Malliavin-Kalkül untersucht. Es werden auch die Grenzen dieser Methode bei bestimmten Greeks aufgezeigt und ein paar Alternativen für das Erreichen des angestrebten Ziels dargestellt. Zum Abschluss wird kurz ein Blick auf die numerische Lösung von SDEs geworfen, um bei der Monte-Carlo-Simulation die auftretenden Zufallsgrößen genau genug simulieren zu können.

Der Zustandsraum von Markovketten lässt sich durch die Doob-Martin-Kompaktifizierung um den Martin-Rand erweitern, sodass diese fast sicher konvergieren. In dieser Arbeit werden die Doob-Martin-Kompaktifizierungen verschiedener kombinatorischer Markovketten und kombinatorischer Familien betrachtet. Hierbei wird nachgewiesen, dass der Martin-Rand kombinatorischer Familien bestehend aus Permutationen S* und schlichter Graphen G bezüglich einer Vielzahl kombinatorischer Markovketten der Menge der Permutons beziehungsweise Graphons entspricht. Allgemeiner werden für beliebige kombinatorische Familien mit geeignetem Einbettungsbegriff kombinatorische Markovketten konstruiert. Diese Markovketten sind eng mit den Einbettungsbegriffen verknüpft und die über sie definierten Doob-Martin-Kompaktifizierungen können als natürliche Kompaktifizierung der kombinatorischen Familie aufgefasst werden. Die Annahmen über die Einbettungsbegriffe der kombinatorischen Familien sind hierbei so schwach gewählt, dass neben den G und S* viele der bisher in der Literatur betrachteten kombinatorischen Familien als Spezialfälle dieses neuen generischen Ansatzes betrachtet werden können.

Diese Arbeit beschäftigt sich damit, das Integral einer Funktion gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß zu approximieren, welches implizit als invariante Verteilung einer Markovkette gegeben ist. Dabei wird eine Verallgemeinerung des Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahrens eingeführt und die Konvergenz des dabei entstehenden Approximationsterms bewiesen. Dabei werden sowohl Markovketten in diskreter als auch in stetiger Zeit behandelt. Weiterhin wird die Übergangsmatrix in diskreter Zeit mit einer linearen Abbildung derart transformiert, dass Selbstübergänge ausgeschlossen werden. Analog dazu wird die Generatormatrix in stetiger Zeit derart transformiert, dass alle Übergänge mit Rate Eins erfolgen.

Bei Datenanalysen werden Informationen oft in Kontingenztafeln zusammengefasst. In dieser Arbeit untersuchen die Abhängigkeit zweier Merkmale. Anstatt einen chi-Quadrat-Test anzuwenden, berechnen wir hierzu simultane Konfidenzintervalle der bedingten Wahrscheinlichkeiten. Daraus leiten wir einen Test auf Unabhängigkeit ab.

In dieser Arbeit formulieren wir, motiviert durch das Problem der Vorhersage des Ausbreitungskanals in einem MIMO Übertragungssystem, verallgemeinerte Zustandsraummodelle und Kalman-Filter auf Mannigfaltigkeiten. Die Ausbreitungskanäle lassen sich durch komplexe 3-Weg Tensoren niedrigen Ranges beschreiben. Zur Reduktion der zu schätzenden Parameter dienen Tensorzerlegungen. Zunächst weisen wir nach, dass die Menge dieser Tensorzerlegungen einen homogenen Raum bildet. Im Anschluss formulieren wir Zustandsraummodelle, wobei der Zustandsraum durch den homogenen Raum der Tensorzerlegungen und der Beobachtungsraum, durch den Raum der komplexen 3-Weg Tensoren gegeben ist. Das Vorhersageproblem lösen wir mit Hilfe eines verallgemeinerten Kalman-Filters. Abschließend testen wir durch Simulation eines einfachen Zustandsraummodells, wie gut das gewonnene Verfahren zur Rekonstruktion dient.