Studentinnen und Studenten hören eine Vorlesung im Hörsaal, zwei Laptops sind zu sehenTU Ilmenau / Michael Reichel (ari)

Lehre

Unsere Lehrveranstaltungen richten sich sowohl an die Studierenden der Studienrichtung Mathematik als auch an die Studierenden der Studienrichtungen Informatik, ..., Technische Physik sowie der Ingenieur-Studiengänge.

Studienabschlussarbeiten

Anzahl der Treffer: 47
Erstellt: Mon, 04 Jul 2022 23:10:44 +0200 in 0.0463 sec


Krämer, Alexander;
Berechnung von Greeks mittels Malliavin-Kalkül. - Ilmenau. - 73 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2021

Gegenstand dieser Arbeit ist es, gewisse Funktionale der Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen (kurz SDE) auf Differenzierbarkeit nach Parametern der SDE zu untersuchen und diese Ableitungen gegebenenfalls als Erwartungswert darzustellen, um eine möglichst einfache numerische Berechnung mittels MonteCarloSimulation zu ermöglichen. Im Zentrum der Betrachtung steht die finanzmathematische Anwendung und die Berechnung von Greeks. Ziel soll es sein, die theoretische Grundlage für einen numerischen Versuchslauf zu erarbeiten. Zu diesem Zweck werden zunächst die SDE aufgestellt und die wichtigsten allgemeinen Voraussetzungen aufgeführt. Anschließend wird der Malliavin-Kalkül eingeführt, der das zentrale Werkzeug in dieser Arbeit darstellt. Dessen zwei Operatoren, die Malliavin-Ableitung und der Divergenzoperator, werden definiert und auf einige wichtige grundlegende Eigenschaften untersucht. Außerdem wird die grundlegende Anwendung der Malliavin-Ableitung auf die Lösung der SDE behandelt. Anschließend wird die Darstellung von Greeks als Erwartungswerte mittels Malliavin-Kalkül untersucht. Es werden auch die Grenzen dieser Methode bei bestimmten Greeks aufgezeigt und ein paar Alternativen für das Erreichen des angestrebten Ziels dargestellt. Zum Abschluss wird kurz ein Blick auf die numerische Lösung von SDEs geworfen, um bei der Monte-Carlo-Simulation die auftretenden Zufallsgrößen genau genug simulieren zu können.



Bernstein, Tobias;
Nichtasymptotische Multiskalenansätze zur Dichteschätzung. - Ilmenau. - 44 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021

In der vorliegenden Arbeit werden simultane Konfidenzbereiche für geglättete Wahrscheinlichkeitsdichten hergeleitet. Wir beschränken uns auf den Fall u.i.v. reellwertiger Beobachtungen, denen eine stetige Verteilung zugrunde liegt und die fast sicher Werte in einem kompakten Intervall annehmen. Zum Schätzen der geglätteten Dichte werden Kerndichteschätzer mit variabler positiver Bandbreite verwendet, wobei wir beliebige Lipschitz-stetige Kerne zulassen. Zunächst werden einige bekannte Eigenschaften des Kerndichteschätzers gezeigt. Danach ermitteln wir erst für feste Bandbreite und später simultan für alle Bandbreiten Konfidenzbereiche in der Supremumsnorm für die tatsächlichen geglätteten Dichten. Hierbei verwenden wir nichtasymptotische Methoden und erhalten konservative Konfidenzbereiche.



Trautmann, Luca;
Doob-Martin-Ränder kombinatorischer Familien. - Ilmenau. - 83 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2021

Der Zustandsraum von Markovketten lässt sich durch die Doob-Martin-Kompaktifizierung um den Martin-Rand erweitern, sodass diese fast sicher konvergieren. In dieser Arbeit werden die Doob-Martin-Kompaktifizierungen verschiedener kombinatorischer Markovketten und kombinatorischer Familien betrachtet. Hierbei wird nachgewiesen, dass der Martin-Rand kombinatorischer Familien bestehend aus Permutationen S* und schlichter Graphen G bezüglich einer Vielzahl kombinatorischer Markovketten der Menge der Permutons beziehungsweise Graphons entspricht. Allgemeiner werden für beliebige kombinatorische Familien mit geeignetem Einbettungsbegriff kombinatorische Markovketten konstruiert. Diese Markovketten sind eng mit den Einbettungsbegriffen verknüpft und die über sie definierten Doob-Martin-Kompaktifizierungen können als natürliche Kompaktifizierung der kombinatorischen Familie aufgefasst werden. Die Annahmen über die Einbettungsbegriffe der kombinatorischen Familien sind hierbei so schwach gewählt, dass neben den G und S* viele der bisher in der Literatur betrachteten kombinatorischen Familien als Spezialfälle dieses neuen generischen Ansatzes betrachtet werden können.



Fredrich, Sina;
Simultane Konfidenzintervalle für die Multinomialverteilung. - Ilmenau. - 76 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021

In dieser Arbeit werden simultane Konfidenzintervalle mithilfe der Bonferroni-Methode und der Scheffé-Methode für den Wahrscheinlichkeitenvektor einer Multinomialverteilung hergeleitet. Diese werden dann auf eigens erhobene Daten eines Galtonbrettes angewendet, um die Nutzbarkeit dieser Apparatur zu Lehrzwecken zu beurteilen. Dabei wird untersucht, welche der beiden Methoden für diese Anwendung zu kleineren Konfidenzintervallen führt. Es zeigt sich, dass die Bonferroni-Methode, die im Gegensatz zur Scheffé-Methode die linearen Abhängigkeiten in den Komponenten des Wahrscheinlichkeitenvektors ignoriert, die kleineren Intervalle erzeugt. Die Anwendung der simultanen Konfidenzintervalle an dem Galtonbrett führt zu der Erkenntnis, dass dieses für zwei der insgesamt drei Einstellungen seinen Lehrzweck erfüllt.



Kohl, Stefan;
Eine Verallgemeinerung der Markov-Chain-Monte-Carlo-Methode. - Ilmenau. - 45 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2020

Diese Arbeit beschäftigt sich damit, das Integral einer Funktion gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß zu approximieren, welches implizit als invariante Verteilung einer Markovkette gegeben ist. Dabei wird eine Verallgemeinerung des Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahrens eingeführt und die Konvergenz des dabei entstehenden Approximationsterms bewiesen. Dabei werden sowohl Markovketten in diskreter als auch in stetiger Zeit behandelt. Weiterhin wird die Übergangsmatrix in diskreter Zeit mit einer linearen Abbildung derart transformiert, dass Selbstübergänge ausgeschlossen werden. Analog dazu wird die Generatormatrix in stetiger Zeit derart transformiert, dass alle Übergänge mit Rate Eins erfolgen.



Staub, Tobias;
Stochastic differential equations via rough paths. - Ilmenau. - 99 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2020

In dieser Arbeit wird ein analytischer Ansatz vorgestellt, der es ermöglicht stochastische Differentialgleichungen pfadweise zu interpretieren. Wir verwenden hierfür Rough Path Integrationstheorie. Zunächst werden Rough Path Integrale eingeführt und einige Eigenschaften dieser sowie der zugehörigen Differential- bzw. Integralgleichungen gezeigt. Danach wird dies verwendet um Lösungstheorie für stochastische Differentialgleichungen zu erhalten.



Yu, Bin;
Simultane Konfidenzintervalle für Kontingenztafeln. - Ilmenau. - 40 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2020

Bei Datenanalysen werden Informationen oft in Kontingenztafeln zusammengefasst. In dieser Arbeit untersuchen die Abhängigkeit zweier Merkmale. Anstatt einen chi-Quadrat-Test anzuwenden, berechnen wir hierzu simultane Konfidenzintervalle der bedingten Wahrscheinlichkeiten. Daraus leiten wir einen Test auf Unabhängigkeit ab.



Mu, Weikang;
Eine Delta-Methode für den Wasserstein-Abstand. - Ilmenau. - 44 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2019

Die Steinsche Methode dient der Herleitung von Grenzwertsätzen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie erlaubt es, dabei auch Konvergenzgeschwindigkeiten zu bestimmen, da sie den Abstand der Verteilung der betrachteten Zufallsvariable zur asymptotischen Verteilung abschätzt. Diese Arbeit beschäftigt sich hauptsächlich mit der Steinschen Methode ohne Reskalierung, wobei die zugehörigen Approximationsfehler quantifiziert. Dies wird anschließend für die Delta-Methode verwendet, welche eine große Rolle in der asymptotischen Statistik spielt.



Zeng, Sebastian;
Ein verallgemeinerter Kalman-Filter für den homogenen Raum der Tensorzerlegungen . - Ilmenau. - 64 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2019

In dieser Arbeit formulieren wir, motiviert durch das Problem der Vorhersage des Ausbreitungskanals in einem MIMO Übertragungssystem, verallgemeinerte Zustandsraummodelle und Kalman-Filter auf Mannigfaltigkeiten. Die Ausbreitungskanäle lassen sich durch komplexe 3-Weg Tensoren niedrigen Ranges beschreiben. Zur Reduktion der zu schätzenden Parameter dienen Tensorzerlegungen. Zunächst weisen wir nach, dass die Menge dieser Tensorzerlegungen einen homogenen Raum bildet. Im Anschluss formulieren wir Zustandsraummodelle, wobei der Zustandsraum durch den homogenen Raum der Tensorzerlegungen und der Beobachtungsraum, durch den Raum der komplexen 3-Weg Tensoren gegeben ist. Das Vorhersageproblem lösen wir mit Hilfe eines verallgemeinerten Kalman-Filters. Abschließend testen wir durch Simulation eines einfachen Zustandsraummodells, wie gut das gewonnene Verfahren zur Rekonstruktion dient.



Staub, Tobias;
Ein Zentraler Grenzwertsatz für unvollständige U-Statistiken. - Ilmenau. - 49 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

In dieser Arbeit wird ein hinreichendes Kriterium dafür entwickelt, dass eine unvollständige U-Statistik asymptotisch normalverteilt ist. Genauer wird der Wasserstein-Abstand zur Normalverteilung mittels Steins Methode abgeschätzt. Der Beweis basiert auf einer Variation des Beweises für den gewöhnlichen Zentralen Grenzwertsatz. Schließlich wird der gezeigte Satz auf U-Statistiken und Erd˝os-Rényi-Zufallsgraphen angewendet.