Ein starkes Gesetz der großen Zahlen für Epidemien auf inhomogenen Bevölkerungen. - Ilmenau. - 49 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2023
Wir formulieren und beweisen ein Gesetz der großen Zahlen für ein zeitdiskretes stochastisches SIR-Modell einer Epidemie, welches eine Erweiterung des entsprechenden Modells für homogene Bevölkerungen ist: Nach Ziehen einer potentiell inhomogenen Bevölkerung startet eine Epidemie, wobei die Infektions- und Genesungswahrscheinlichkeiten von dieser zufälligen Bevölkerung abhängen. Das zentrale Ergebnis der Arbeit besagt, dass zu jedem Zeitpunkt die empirischen Maße der aktuell Suszeptiblen, Infizierten und Genesenen punktweise in Wahrscheinlichkeit gegen deterministische Grenzwerte konvergieren, wobei diese Grenzwerte explizit durch Iterationsgleichungen gegeben sind. Wir beweisen dies zunächst für Epidemien mit einer endlichen Anzahl von Typen von Individuen und verwenden solche, um den allgemeinen Fall zu approximieren. Im weiteren Verlauf untersuchen wir die Stetigkeit der Grenzwerte in den Parametern und ihr Verhalten für gegen unendlich konvergierende Zeitpunkte. Zur Illustration unserer Ergebnisse haben wir solche Epidemien auf dem zweidimensionalen Torus simuliert und mit den deterministischen Grenzwerten verglichen.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2023
Im Rahmen der amtlichen Statistik werden die erhobenen Daten in der Regel in Form von Summen, seien es Anzahlen oder Durchschnittswerte, verarbeitet und veröffentlicht. In dieser Arbeit leiten wir her, dass unter bestimmten Annahmen die Addition die, bis auf isotone Transformationen, einzige Form der Aggregation im Rahmen amtlicher Datenerhebungen ist. Dazu formalisieren wir die Datenzusammenfassung in der amtlichen Statistik und charakterisieren diese mithilfe geordneter Halbgruppen, um deren Ordnungsisomorphie zu den reellen Zahlen mit der Addition nachzuweisen.
Robustheit von Schätzern epidemiologischer Parameter gegen Missspezifikationen im Infektiositätsprofil. - Ilmenau. - 41 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022
Das Schätzen epidemiologischer Parameter ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Beurteilung der aktuellen Situation im Falle einer Epidemie. Ausgehend von der Intuition, dass sich der Wachstumsfaktor auch ohne Kenntnis des Infektiositätsprofils durch das lokale Anfitten einer Exponentialkurve an die Inzidenzen bestimmen ließe, beschäftigen wir uns mit der Reproduktionszahl und davon abgeleiteten Parametern in Hinblick auf Missspezifikationen des Infektiositätsprofils. Dabei betrachten wir jeweils den asymptotischen Bias und vergleichen für verschiedene Fälle vergangener Inzidenzen die Schätzer dahingehend. Anschließend verifizieren wir anhand von Simulationen die theoretischen Ergebnisse und bestätigen obige Intuition für in der Realität weitestgehend anzunehmende Fälle.
Berechnung von Greeks mittels Malliavin-Kalkül. - Ilmenau. - 73 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2021
Gegenstand dieser Arbeit ist es, gewisse Funktionale der Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen (kurz SDE) auf Differenzierbarkeit nach Parametern der SDE zu untersuchen und diese Ableitungen gegebenenfalls als Erwartungswert darzustellen, um eine möglichst einfache numerische Berechnung mittels MonteCarloSimulation zu ermöglichen. Im Zentrum der Betrachtung steht die finanzmathematische Anwendung und die Berechnung von Greeks. Ziel soll es sein, die theoretische Grundlage für einen numerischen Versuchslauf zu erarbeiten. Zu diesem Zweck werden zunächst die SDE aufgestellt und die wichtigsten allgemeinen Voraussetzungen aufgeführt. Anschließend wird der Malliavin-Kalkül eingeführt, der das zentrale Werkzeug in dieser Arbeit darstellt. Dessen zwei Operatoren, die Malliavin-Ableitung und der Divergenzoperator, werden definiert und auf einige wichtige grundlegende Eigenschaften untersucht. Außerdem wird die grundlegende Anwendung der Malliavin-Ableitung auf die Lösung der SDE behandelt. Anschließend wird die Darstellung von Greeks als Erwartungswerte mittels Malliavin-Kalkül untersucht. Es werden auch die Grenzen dieser Methode bei bestimmten Greeks aufgezeigt und ein paar Alternativen für das Erreichen des angestrebten Ziels dargestellt. Zum Abschluss wird kurz ein Blick auf die numerische Lösung von SDEs geworfen, um bei der Monte-Carlo-Simulation die auftretenden Zufallsgrößen genau genug simulieren zu können.
Nichtasymptotische Multiskalenansätze zur Dichteschätzung. - Ilmenau. - 44 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021
In der vorliegenden Arbeit werden simultane Konfidenzbereiche für geglättete Wahrscheinlichkeitsdichten hergeleitet. Wir beschränken uns auf den Fall u.i.v. reellwertiger Beobachtungen, denen eine stetige Verteilung zugrunde liegt und die fast sicher Werte in einem kompakten Intervall annehmen. Zum Schätzen der geglätteten Dichte werden Kerndichteschätzer mit variabler positiver Bandbreite verwendet, wobei wir beliebige Lipschitz-stetige Kerne zulassen. Zunächst werden einige bekannte Eigenschaften des Kerndichteschätzers gezeigt. Danach ermitteln wir erst für feste Bandbreite und später simultan für alle Bandbreiten Konfidenzbereiche in der Supremumsnorm für die tatsächlichen geglätteten Dichten. Hierbei verwenden wir nichtasymptotische Methoden und erhalten konservative Konfidenzbereiche.
Doob-Martin-Ränder kombinatorischer Familien. - Ilmenau. - 83 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2021
Der Zustandsraum von Markovketten lässt sich durch die Doob-Martin-Kompaktifizierung um den Martin-Rand erweitern, sodass diese fast sicher konvergieren. In dieser Arbeit werden die Doob-Martin-Kompaktifizierungen verschiedener kombinatorischer Markovketten und kombinatorischer Familien betrachtet. Hierbei wird nachgewiesen, dass der Martin-Rand kombinatorischer Familien bestehend aus Permutationen S* und schlichter Graphen G bezüglich einer Vielzahl kombinatorischer Markovketten der Menge der Permutons beziehungsweise Graphons entspricht. Allgemeiner werden für beliebige kombinatorische Familien mit geeignetem Einbettungsbegriff kombinatorische Markovketten konstruiert. Diese Markovketten sind eng mit den Einbettungsbegriffen verknüpft und die über sie definierten Doob-Martin-Kompaktifizierungen können als natürliche Kompaktifizierung der kombinatorischen Familie aufgefasst werden. Die Annahmen über die Einbettungsbegriffe der kombinatorischen Familien sind hierbei so schwach gewählt, dass neben den G und S* viele der bisher in der Literatur betrachteten kombinatorischen Familien als Spezialfälle dieses neuen generischen Ansatzes betrachtet werden können.
Simultane Konfidenzintervalle für die Multinomialverteilung. - Ilmenau. - 76 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021
In dieser Arbeit werden simultane Konfidenzintervalle mithilfe der Bonferroni-Methode und der Scheffé-Methode für den Wahrscheinlichkeitenvektor einer Multinomialverteilung hergeleitet. Diese werden dann auf eigens erhobene Daten eines Galtonbrettes angewendet, um die Nutzbarkeit dieser Apparatur zu Lehrzwecken zu beurteilen. Dabei wird untersucht, welche der beiden Methoden für diese Anwendung zu kleineren Konfidenzintervallen führt. Es zeigt sich, dass die Bonferroni-Methode, die im Gegensatz zur Scheffé-Methode die linearen Abhängigkeiten in den Komponenten des Wahrscheinlichkeitenvektors ignoriert, die kleineren Intervalle erzeugt. Die Anwendung der simultanen Konfidenzintervalle an dem Galtonbrett führt zu der Erkenntnis, dass dieses für zwei der insgesamt drei Einstellungen seinen Lehrzweck erfüllt.
Eine Verallgemeinerung der Markov-Chain-Monte-Carlo-Methode. - Ilmenau. - 45 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2020
Diese Arbeit beschäftigt sich damit, das Integral einer Funktion gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß zu approximieren, welches implizit als invariante Verteilung einer Markovkette gegeben ist. Dabei wird eine Verallgemeinerung des Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahrens eingeführt und die Konvergenz des dabei entstehenden Approximationsterms bewiesen. Dabei werden sowohl Markovketten in diskreter als auch in stetiger Zeit behandelt. Weiterhin wird die Übergangsmatrix in diskreter Zeit mit einer linearen Abbildung derart transformiert, dass Selbstübergänge ausgeschlossen werden. Analog dazu wird die Generatormatrix in stetiger Zeit derart transformiert, dass alle Übergänge mit Rate Eins erfolgen.
Stochastic differential equations via rough paths. - Ilmenau. - 99 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2020
In dieser Arbeit wird ein analytischer Ansatz vorgestellt, der es ermöglicht stochastische Differentialgleichungen pfadweise zu interpretieren. Wir verwenden hierfür Rough Path Integrationstheorie. Zunächst werden Rough Path Integrale eingeführt und einige Eigenschaften dieser sowie der zugehörigen Differential- bzw. Integralgleichungen gezeigt. Danach wird dies verwendet um Lösungstheorie für stochastische Differentialgleichungen zu erhalten.
Simultane Konfidenzintervalle für Kontingenztafeln. - Ilmenau. - 40 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2020
Bei Datenanalysen werden Informationen oft in Kontingenztafeln zusammengefasst. In dieser Arbeit untersuchen die Abhängigkeit zweier Merkmale. Anstatt einen chi-Quadrat-Test anzuwenden, berechnen wir hierzu simultane Konfidenzintervalle der bedingten Wahrscheinlichkeiten. Daraus leiten wir einen Test auf Unabhängigkeit ab.