Data Augmentation für verallgemeinerte lineare Zustandsraummodelle. - Ilmenau. - 53 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2024
Zeitabhängige nicht-negative ganzzahlige Beobachtungen lassen sich oft durch ein verallgemeinertes lineares Zustandsraummodell beschreiben. Dabei lässt sich eine geschlossene Form der bedingten Verteilung der Zustände gegeben den Beobachtungen nicht immer analytisch bestimmen. Die Berechnung von Integralen bezüglich dieser Verteilung ist dann nur approximativ möglich, zum Beispiel mithilfe von Markov Chain Monte Carlo Methoden, wie der Data Augmentation. Das Hauptergebnis dieser Masterarbeit ist die Herleitung eines Data Augmentation Algorithmus für Zustandsraummodelle mit bedingt binomial- oder negativ-binomialverteilten Beobachtungen und gaußschen Zustände, die einen autoregressiven Prozess bilden. Die Konstruktion und Simulation des Markovprozesses basiert auf der Pólya-Gammaverteilung (Polson et al. 2013) und dem Algorithmus zur Simulation aus dieser sowie dem forward filter, backwards sampling Algorithmus (Frühwirth-Schnatter 1994). Der resultierende Algorithmus eignet sich aufgrund seiner Effizienz auch für hochdimensionale Zeitreihen. Anhand mehrerer Beispiele wird die Anwendung auf reale Daten diskutiert und die numerischen Ergebnisse mit denen des Importance Samplings verglichen.
Kalmanfilter auf Graphen. - Ilmenau. - 49 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2024
Der Kalmanfilter ist ein beliebtes statistisches Hilfsmittel zur Vorhersage in zahlreichen Modellen verschiedenster Anwendungsgebiete. Ziel dieser Arbeit ist es, den Kalmanfilter auf einem Graphenmodell anzuwenden. Hierzu wird ein Zustandsraummodell auf einem gerichteten azyklischen Graphen definiert. Die Ecken werden univariaten Zuständen und Beobachtungen entsprechen, die Kanten Übergängen zwischen diesen. Es wird ein Algorithmus zur Vorhersage dieser Zustände, bedingt auf die Beobachtungen vorgestellt, welcher auf den Ecken des Graphen iteriert. Seine Vorgehensweise entspricht der des Kalmanfilters. Hierbei wird die vorteilhafte inverse Wurzelform ausgenutzt. Weiterhin wird auf den Zusammenhang der bedingten Unabhängigkeiten in Graphenmodellen auf gerichteten azyklischen Graphen mit der Besetztheit der Wurzel der inversen Kovarianzmatrix eingegangen. Es wird vorgestellt, wie sich diese innerhalb des Algorithmus verhält, um ein Ausnutzen in der Anwendung zu ermöglichen. Oft ist es möglich, Gaußsche lineare Zustandsraummodelle in ein solches Graphenmodell zu überführen. Inwieweit die Anwendung des in dieser Arbeit vorgestellten Algorithmus darauf möglich und sinnvoll ist, wird diskutiert.
Ein Fourier-Schätzer für die multivariate Volatilität von Handelsobjekten. - Ilmenau. - 93 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2024
Die Volatilität von Handelsobjekten ist ein zentraler Parameter in der Finanzmathematik und Ökonometrie. Wir untersuchen den Schätzer von Malliavin und Mancino (2009) für die multivariate instantane Volatilität von Preisprozessen, die als stetige Semimartingale modelliert werden. Das Verfahren basiert auf Fourier-Methoden und baut auf einer Identität zwischen den Fourier-Koeffizienten der Volatilität und den Fourier-Stieltjes-Koeffizienten der Preisprozesse auf. Die Volatilität wird aus ihren geschätzten Fourier-Koeffizienten als stochastische Funktion auf der gesamten Zeitmenge rekonstruiert. Der resultierende nichtparametrische Kurvenschätzer kann durch zwei Eingabegrößen angepasst werden und ist auf diskrete ungleichmäßig beabstandete, asynchrone Beobachtungen der Preisprozesse anwendbar. Unter gewissen Bedingungen wird seine Konsistenz bewiesen, wobei das Resultat von Malliavin und Mancino auf den Fall nicht periodischer Volatilität ausgedehnt wird. In einer Simulationsstudie wird der Einfluss der Eingabegrößen für verschiedenartige Volatilitätsfunktionen untersucht und ein Bias für gewisse Parameterwahlen unter asynchronen Beobachtungen festgestellt.
Ein starkes Gesetz der großen Zahlen für Epidemien auf inhomogenen Bevölkerungen. - Ilmenau. - 49 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2023
Wir formulieren und beweisen ein Gesetz der großen Zahlen für ein zeitdiskretes stochastisches SIR-Modell einer Epidemie, welches eine Erweiterung des entsprechenden Modells für homogene Bevölkerungen ist: Nach Ziehen einer potentiell inhomogenen Bevölkerung startet eine Epidemie, wobei die Infektions- und Genesungswahrscheinlichkeiten von dieser zufälligen Bevölkerung abhängen. Das zentrale Ergebnis der Arbeit besagt, dass zu jedem Zeitpunkt die empirischen Maße der aktuell Suszeptiblen, Infizierten und Genesenen punktweise in Wahrscheinlichkeit gegen deterministische Grenzwerte konvergieren, wobei diese Grenzwerte explizit durch Iterationsgleichungen gegeben sind. Wir beweisen dies zunächst für Epidemien mit einer endlichen Anzahl von Typen von Individuen und verwenden solche, um den allgemeinen Fall zu approximieren. Im weiteren Verlauf untersuchen wir die Stetigkeit der Grenzwerte in den Parametern und ihr Verhalten für gegen unendlich konvergierende Zeitpunkte. Zur Illustration unserer Ergebnisse haben wir solche Epidemien auf dem zweidimensionalen Torus simuliert und mit den deterministischen Grenzwerten verglichen.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2023
Im Rahmen der amtlichen Statistik werden die erhobenen Daten in der Regel in Form von Summen, seien es Anzahlen oder Durchschnittswerte, verarbeitet und veröffentlicht. In dieser Arbeit leiten wir her, dass unter bestimmten Annahmen die Addition die, bis auf isotone Transformationen, einzige Form der Aggregation im Rahmen amtlicher Datenerhebungen ist. Dazu formalisieren wir die Datenzusammenfassung in der amtlichen Statistik und charakterisieren diese mithilfe geordneter Halbgruppen, um deren Ordnungsisomorphie zu den reellen Zahlen mit der Addition nachzuweisen.
Robustheit von Schätzern epidemiologischer Parameter gegen Missspezifikationen im Infektiositätsprofil. - Ilmenau. - 41 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022
Das Schätzen epidemiologischer Parameter ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Beurteilung der aktuellen Situation im Falle einer Epidemie. Ausgehend von der Intuition, dass sich der Wachstumsfaktor auch ohne Kenntnis des Infektiositätsprofils durch das lokale Anfitten einer Exponentialkurve an die Inzidenzen bestimmen ließe, beschäftigen wir uns mit der Reproduktionszahl und davon abgeleiteten Parametern in Hinblick auf Missspezifikationen des Infektiositätsprofils. Dabei betrachten wir jeweils den asymptotischen Bias und vergleichen für verschiedene Fälle vergangener Inzidenzen die Schätzer dahingehend. Anschließend verifizieren wir anhand von Simulationen die theoretischen Ergebnisse und bestätigen obige Intuition für in der Realität weitestgehend anzunehmende Fälle.
Berechnung von Greeks mittels Malliavin-Kalkül. - Ilmenau. - 73 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2021
Gegenstand dieser Arbeit ist es, gewisse Funktionale der Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen (kurz SDE) auf Differenzierbarkeit nach Parametern der SDE zu untersuchen und diese Ableitungen gegebenenfalls als Erwartungswert darzustellen, um eine möglichst einfache numerische Berechnung mittels MonteCarloSimulation zu ermöglichen. Im Zentrum der Betrachtung steht die finanzmathematische Anwendung und die Berechnung von Greeks. Ziel soll es sein, die theoretische Grundlage für einen numerischen Versuchslauf zu erarbeiten. Zu diesem Zweck werden zunächst die SDE aufgestellt und die wichtigsten allgemeinen Voraussetzungen aufgeführt. Anschließend wird der Malliavin-Kalkül eingeführt, der das zentrale Werkzeug in dieser Arbeit darstellt. Dessen zwei Operatoren, die Malliavin-Ableitung und der Divergenzoperator, werden definiert und auf einige wichtige grundlegende Eigenschaften untersucht. Außerdem wird die grundlegende Anwendung der Malliavin-Ableitung auf die Lösung der SDE behandelt. Anschließend wird die Darstellung von Greeks als Erwartungswerte mittels Malliavin-Kalkül untersucht. Es werden auch die Grenzen dieser Methode bei bestimmten Greeks aufgezeigt und ein paar Alternativen für das Erreichen des angestrebten Ziels dargestellt. Zum Abschluss wird kurz ein Blick auf die numerische Lösung von SDEs geworfen, um bei der Monte-Carlo-Simulation die auftretenden Zufallsgrößen genau genug simulieren zu können.
Nichtasymptotische Multiskalenansätze zur Dichteschätzung. - Ilmenau. - 44 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021
In der vorliegenden Arbeit werden simultane Konfidenzbereiche für geglättete Wahrscheinlichkeitsdichten hergeleitet. Wir beschränken uns auf den Fall u.i.v. reellwertiger Beobachtungen, denen eine stetige Verteilung zugrunde liegt und die fast sicher Werte in einem kompakten Intervall annehmen. Zum Schätzen der geglätteten Dichte werden Kerndichteschätzer mit variabler positiver Bandbreite verwendet, wobei wir beliebige Lipschitz-stetige Kerne zulassen. Zunächst werden einige bekannte Eigenschaften des Kerndichteschätzers gezeigt. Danach ermitteln wir erst für feste Bandbreite und später simultan für alle Bandbreiten Konfidenzbereiche in der Supremumsnorm für die tatsächlichen geglätteten Dichten. Hierbei verwenden wir nichtasymptotische Methoden und erhalten konservative Konfidenzbereiche.
Doob-Martin-Ränder kombinatorischer Familien. - Ilmenau. - 83 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2021
Der Zustandsraum von Markovketten lässt sich durch die Doob-Martin-Kompaktifizierung um den Martin-Rand erweitern, sodass diese fast sicher konvergieren. In dieser Arbeit werden die Doob-Martin-Kompaktifizierungen verschiedener kombinatorischer Markovketten und kombinatorischer Familien betrachtet. Hierbei wird nachgewiesen, dass der Martin-Rand kombinatorischer Familien bestehend aus Permutationen S* und schlichter Graphen G bezüglich einer Vielzahl kombinatorischer Markovketten der Menge der Permutons beziehungsweise Graphons entspricht. Allgemeiner werden für beliebige kombinatorische Familien mit geeignetem Einbettungsbegriff kombinatorische Markovketten konstruiert. Diese Markovketten sind eng mit den Einbettungsbegriffen verknüpft und die über sie definierten Doob-Martin-Kompaktifizierungen können als natürliche Kompaktifizierung der kombinatorischen Familie aufgefasst werden. Die Annahmen über die Einbettungsbegriffe der kombinatorischen Familien sind hierbei so schwach gewählt, dass neben den G und S* viele der bisher in der Literatur betrachteten kombinatorischen Familien als Spezialfälle dieses neuen generischen Ansatzes betrachtet werden können.
Simultane Konfidenzintervalle für die Multinomialverteilung. - Ilmenau. - 76 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021
In dieser Arbeit werden simultane Konfidenzintervalle mithilfe der Bonferroni-Methode und der Scheffé-Methode für den Wahrscheinlichkeitenvektor einer Multinomialverteilung hergeleitet. Diese werden dann auf eigens erhobene Daten eines Galtonbrettes angewendet, um die Nutzbarkeit dieser Apparatur zu Lehrzwecken zu beurteilen. Dabei wird untersucht, welche der beiden Methoden für diese Anwendung zu kleineren Konfidenzintervallen führt. Es zeigt sich, dass die Bonferroni-Methode, die im Gegensatz zur Scheffé-Methode die linearen Abhängigkeiten in den Komponenten des Wahrscheinlichkeitenvektors ignoriert, die kleineren Intervalle erzeugt. Die Anwendung der simultanen Konfidenzintervalle an dem Galtonbrett führt zu der Erkenntnis, dass dieses für zwei der insgesamt drei Einstellungen seinen Lehrzweck erfüllt.