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Created on: Mon, 20 Mar 2023 23:09:17 +0100 in 0.0810 sec
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    Derkach, Volodymyr; Trunk, Carsten
    PT-symmetric couplings of dual pairs. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2023. - 1 Online-Ressource (24 Seiten). - (Preprint ; M23,03)
    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2023200049
    Qi, Yaru; Qiu, Wenwen; Trunk, Carsten; Wilson, Mitsuru
    Spectral inclusion property for a class of block operator matrices. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2023. - 1 Online-Ressource (12 Seiten). - (Preprint ; M23,02)

    The numerical range and the quadratic numerical range is used to study the spectrum of a class of block operator matrices. We show that the approximate point spectrum is contained in the closure of the quadratic numerical range. In particular, the spectral enclosures yield a spectral gap. It is shown that these spectral bounds are tighter than classical numerical range bounds.



    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2023200026
    Behrndt, Jussi; Gesztesy, Fritz; Schmitz, Philipp; Trunk, Carsten
    Lower bounds for self-adjoint Sturm-Liouville operators. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2023. - 1 Online-Ressource (11 Seiten). - (Preprint ; M23,01)
    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2023200011
    Behrndt, Jussi; Schmitz, Philipp; Teschl, Gerald; Trunk, Carsten
    Relative oscillation theory and essential spectra of Sturm-Liouville operators. - In: Journal of mathematical analysis and applications, ISSN 1096-0813, Bd. 518 (2023), 1, 126673

    https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2022.126673
    Kellner, Maria;
    Bifurcations from codimension-one D4m-equivariant homoclinic cycles. - Ilmenau, 2022. - 1 Online-Ressource (277 Seiten)
    Technische Universität Ilmenau, Dissertation 2022

    Das Thema dieser Arbeit ist eine detaillierte Beschreibung der Dynamik in der Nähe von D4m-symmetrischen relativen homoklinen Zykeln mit Hilfe von Lins Methode. Die homoklinen Zykel haben die Kodimension-1, d.h. wir beobachten ihre generische Entfaltung innerhalb einer einparametrigen Familie. Sie bestehen aus mehreren Trajektorien, die sowohl für positive als auch negative Zeit derselben hyperbolischen Gleichgewichtslage zustreben (Homokline Trajektorien) und die alle durch die von einer endlichen Gruppe induzierten Symmetrie voneinander abhängig sind. Wir nehmen reelle führende Eigenwerte und homokline Trajektorien an, die sich der Gleichgewichtslage entlang führender Richtungen nähern. Die Homoklinen befinden sich in flussinvarianten Unterräumen. Insbesondere für solche homoklinen Zykel in Differentialgleichungen mit Dk-Symmetrie (Dk ist die Symmetriegruppe eines regelmäßigen k-Ecks in der Ebene), bei denen k ein Vielfaches von 4 ist, stehen einige dieser flussinvarianten Unterräume senkrecht zueinander. Dies impliziert das Verschwinden der typischerweise auftretenden Terme führender exponentieller Konvergenzordnung in einigen der aus Lins Methode gewonnenen Bestimmungsgleichungen. Um eine genaue Beschreibung der nichtwandernden Dynamik eines solchen homoklinen Zykels zu geben, d.h. eine Beschreibung der Lösungen, die in der Umgebung des Zykels sowohl im Phasen- als auch im Parameterraum verbleiben, sind weitere Informationen über die Restterme in den Bestimmungsgleichungen erforderlich. In dieser Arbeit stellen wir eine verfeinerte Darstellung der Restterme in den Bestimmungsgleichungen vor und identifizieren zwei weitere Terme mit nächsthöheren exponentiellen Konvergenzraten. Darauf aufbauend diskutieren wir die Lösbarkeit der resultierenden Bestimmungsgleichungen für homokline Zykel in R4. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden, die vom Größenverhältnis der beiden neuen Terme abhängen. In einem Fall beobachten wir einen endlichen Subshift. Im anderen Fall erweist sich die Analysis als schwieriger, so dass wir die Untersuchung auf periodische Lösungen beschränken.



    Berger, Thomas; Snoo, Hendrik S. V. de; Trunk, Carsten; Winkler, Henrik
    A Jordan-like decomposition for linear relations in finite-dimensional spaces. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2022. - 1 Online-Ressource (34 Seiten). - (Preprint ; M22,05)

    A square matrix A has the usual Jordan canonical form that describes the structure of A via eigenvalues and the corresponding Jordan blocks. If A is a linear relation in a finite-dimensional linear space H (i.e., A is a linear subspace of H × H and can be considered as a multivalued linear operator), then there is a richer structure. In addition to the classical Jordan chains (interpreted in the Cartesian product H × H), there occur three more classes of chains: chains starting at zero (the chains for the eigenvalue infinity), chains starting at zero and also ending at zero (the singular chains), and chains with linearly independent entries (the shift chains). These four types of chains give rise to a direct sum decomposition (a Jordan-like decomposition) of the linear relation A. In this decomposition there is a completely singular part that has the extended complex plane as eigenvalues; a usual Jordan part that corresponds to the finite proper eigenvalues; a Jordan part that corresponds to the eigenvalue infinity; and a multishift, i.e., a part that has no eigenvalues at all. Furthermore, the Jordan-like decomposition exhibits a certain uniqueness, closing a gap in earlier results. The presentation is purely algebraic, only the structure of linear spaces is used. Moreover, the presentation has a uniform character: each of the above types is constructed via an appropriately chosen sequence of quotient spaces. The dimensions of the spaces are the Weyr characteristics, which uniquely determine the Jordan-like decomposition of the linear relation.



    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2022200249
    Gernandt, Hannes; Trunk, Carsten
    Eigenvalues of parametric rank one perturbations of matrix pencils. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2022. - 1 Online-Ressource (37 Seiten). - (Preprint ; M22,04)

    The behavior of eigenvalues of regular matrix pencils under rank one perturbations which depend on a scalar parameter is studied. In particular we address the change of the algebraic multiplicities, the change of the eigenvalues for small parameter variations as well as the asymptotic eigenvalue behavior as the parameter tends to infinity. Besides that, an interlacing result for rank one perturbations of matrix pencils is obtained. Finally, we apply the result to a redesign problem for electrical circuits.



    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2022200237
    Derkach, Volodymyr; Hassi, Seppo; Malamud, Mark
    Generalized boundary triples, II : some applications of generalized boundary triples and form domain invariant Nevanlinna functions. - In: Mathematische Nachrichten, ISSN 1522-2616, Bd. 295 (2022), 6, S. 1113-1162

    The paper is a continuation of Part I and contains several further results on generalized boundary triples, the corresponding Weyl functions, and applications of this technique to ordinary and partial differential operators. We establish a connection between Post's theory of boundary pairs of closed nonnegative forms on the one hand and the theory of generalized boundary triples of nonnegative symmetric operators on the other hand. Applications to the Laplacian operator on bounded domains with smooth, Lipschitz, and even rough boundary, as well as to mixed boundary value problem for the Laplacian are given. Other applications concern with the momentum, Schrödinger, and Dirac operators with local point interactions. These operators demonstrate natural occurrence of ES$ES$-generalized boundary triples with domain invariant Weyl functions and essentially selfadjoint reference operators A0.



    https://doi.org/10.1002/mana.202000049
    Behrndt, Jussi; Schmitz, Philipp; Teschl, Gerald; Trunk, Carsten
    Relative oscillation theory and essential spectra of Sturm-Liouville operators. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2022. - 1 Online-Ressource (15 Seiten). - (Preprint ; M22,02)

    The relationship between linear relations and matrix pencils is investigated. Given a linear relation, we introduce its Weyr characteristic. If the linear relation is the range (or the kernel) representation of a given matrix pencil, we show that there is a correspondence between this characteristic and the Kronecker canonical form of the pencil. This relationship is exploited to obtain estimations on the invariant characteristics of matrix pencils under rank one perturbations.



    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2022200169
    Gernandt, Hannes; Martínez Pería, Francisco; Philipp, Friedrich; Trunk, Carsten
    On characteristic invariants of matrix pencils and linear relations. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2022. - 1 Online-Ressource (35 Seiten). - (Preprint ; M22,01)

    The relationship between linear relations and matrix pencils is investigated. Given a linear relation, we introduce its Weyr characteristic. If the linear relation is the range (or the kernel) representation of a given matrix pencil, we show that there is a correspondence between this characteristic and the Kronecker canonical form of the pencil. This relationship is exploited to obtain estimations on the invariant characteristics of matrix pencils under rank one perturbations.



    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2022200140

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    Studienabschlussarbeiten

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    Wang, Zhipeng;
    Modellierung von elektrischen Schaltungen mittels differential-algebraischer Gleichungen. - Ilmenau. - 27 Seiten
    Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2020

    Differential-algebraische Gleichungen (DAEs) sind Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen sowie algebraischen Gleichungen. In der vorliegenden Arbeit verwenden wir DAEs zur Beschreibung elektrischer Netzwerke. Um das Lösungverhalten und die Stabilität von DAEs zu beschreiben, verwenden wir Matrixbüschel und die Weierstraß-Normalform. Anschließend zeigen wir, wie man für elektrische Netzwerke die dazugehörige differential-algebraische Gleichung mit den Bauelemente-Beziehungen sowie den Kirchhoffschen Gesetzen herleiten kann. Abschließend stellen wir die modifizierte Knotenanalyse vor, und untersuchen die Eigenschaften der hergeleiteten DAEs, wie Regularität, Stabilität sowie den Index.



    Scholz, Stephan;
    Modeling and simulation of pulsed laser beam welding for aluminum alloys. - Ilmenau. - 90 Seiten
    Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018

    Diese Masterarbeit stellt den Vorgang des gepulsten Laserschweißens an einem Schweißpunkt mittels analytischen Beschreibungen und numerischen Simulationen vor. Hierbei werden Aluminiumlegierungen als das zu bearbeitende Material betrachtet, da diese für das Ausbilden von Heißrissen entlang der Schweißnaht bekannt sind. Heißrisse treten im Inneren und an der Oberfläche des bearbeiteten Materials auf Grund von rascher thermischer Kontraktion während des Ausschaltvorganges des Lasers auf. Im Gegensatz zu anderen Ansätzen, die beispielsweise auf die Verwendung von zusätzlichen Lasern setzen um einen geeigneten Abkühlprozess zu erhalten (siehe [11]), wird bei der hier vorgestellten Lösung nur ein Laser verwendet, der über dessen Leistung gesteuert wird. Dabei sollen Heißrisse mit flachen Rampen des Laserpulses beim Ausschaltvorgang verhindert werden. Hierfür wird ein mathematisch-physikalisches Modell für das betrachtete Problem des gepulsten Laserschweißens vorgestellt, welches eine semilineare Wärmeleitungsgleichung und eine Randsteuerung enthält. Darüber hinaus werden Methoden zur numerischen Berechnung der Wärmeentwicklung diskutiert und abschließend die Resultate der Simulationen für diverse Modi des Abschaltvorganges präsentiert.



    Fiedler, Manuel;
    Translationsinvariante Maße auf Banachräumen. - Ilmenau. - 58 Seiten
    Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

    Diese Arbeit handelt von der Maß- und Integrationstheorie auf Banachräume, wobei insbesondere translationsinvariante Maße betrachtet werden. Hierzu werden zunächst Produktmaße auf unendlich dimensionalen Räumen erläutert. Anschließend wird gezeigt, dass auf unendlich dimensionalen Räumen keine Maße mit Eigenschaften wie beispielsweise (Quasi-)Translationsinvarianz und [sigma]-Endlichkeit existieren, mit Ausnahme einiger trivialer Beispiele. Danach wird der Nullmengenbegri diskutiert, wobei eine Adaption des Begris betrachtet wird, welche auf B. Hunt zurückgeht. Diese Mengen werden schüchterne Mengen genannt. Anschließend wird ein [sigma]-endliches, lokalendliches Maß konstruiert, welches zwar nicht invariant bezüglich aller Nullmengen, jedoch invariant bezüglich aller schüchternen Mengen ist. Zuletzt werden die erarbeiteten Begrie anhand von Beispielen veranschaulicht.



    Scholz, Stephan;
    Direkte und inverse Streuprobleme in einem Mehrschichtenmodell. - 57 Seiten
    Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016

    In dieser Arbeit werden Reflexion und Brechung von seismischen Wellen an Schichtgrenzen innerhalb eines Mehrschichtenmodells betrachtet. Grundlage dessen bildet die Publikation von Leyds und Fokkema (Leyds, F.B. and Fokkema, J.T., 1988. A discrete-time inverse scattering algorithm for plane wave incidence in a one-dimensional inhomogeneous acoustic medium.), welche mathematisch aufgearbeitet und um einige Punkte erweitert wurde. Die Ziele dieser Arbeit gliedern sich dabei in die Lösung des direkten und inversen Problems. Bei ersterem sollen bei einem bekannten Schichtenmodell der Verlauf von Druckwellen konstruiert werden. Bei der Lösung des inversen Problems wird die Struktur des Schichtenmodells, insbesondere die akustische Admittanz jeder Schicht, bei bekannten Wellen an der Oberfläche bestimmt. Im letzten Teil dieser Arbeit wird der Fokus auf den Spezialfall der überkritschen Brechung gelegt. Dabei treten Effekte auf, welche die Lösung des direkten und inversen Problems beeinträchtigen.



    Schmitz, Philipp;
    Zur WKB-Näherung für Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen einer komplexen Veränderlichen. - 72 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Masterarbeit, 2015

    In der vorliegenden Arbeit wird für Lösungen gewöhnlicher, linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung der Form $f''=(p+q)f$ das Wachstumsverhalten mit Hilfe der WKB-Näherung untersucht. Neben Problemen entlang der reellen Achse werden insbesondere Differentialgleichungen innerhalb einfach zusammenhängender Gebiete betrachtet. Ein Schwerpunkt ist die Konstruktion von Fehlerschranken für die WKB-Näherungen. Dieses Problem wird auf eine Volterra-Integralgleichung zurückgeführt, wobei in dieser Arbeit eine Aussage über das Wachstumsverhalten von Lösungen bewiesen wird. Die Resultate der WKB-Methode werden für den Fall polynomieller Koeffizienten angewendet. Dabei werden Lösungen konstruiert, die in bestimmten Bereichen (Stokes wedges und Stokes lines) der komplexen Zahlenebene mit exponentieller Geschwindigkeit wachsen beziehungsweise gegen Null konvergieren. Dieser Fall spielt eine herausragende Rolle in der sogenannten $\PT$-Quantenmechanik.



    Abdul Hai, Ziad;
    Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit komplexen Koeffizienten. - 39 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2015

    Ein Sturm-Liouville-Problem besteht ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form $$-(p(x)y'(x))'+(q(x)-\lambda w(x))y(x)=0\quad \text{für } -\infty \le a<x<b\le \infty,$$ für $\lambda\in \mathbb{C}$ mit Anfangswerten $y(x_0)=y_0, \quad y'(x_0)=y_1.$. Hier sind die Funktionen $p,q:(a,b)\mapsto \mathbb{C}$ und $w:(a,b)\mapsto \mathbb{R}$ meßbar und $\frac{1}{p},q,w$ sind lokal integrierbar. Zudem gelte für fast alle $x\in (a,b)$, dass $p(x)\neq 0$ und $r(x)>0$. Die Differentialgleichung besitzt zwei linear unabhängige Lösungen. Diese Lösungen müssen aber nicht unbedingt im Hilbertraum $$L^2(a,b,w\,dx):=\bigg\{u:(a,b)\mapsto \mathbb{C}:\int_{a}^{b}w|u|^2\,dx<\infty\bigg\}$$ liegen. Sind $p$ und $q$ reellwertige Funktionen, so besagt ein berühmtes Ergebnis von H. Weyl, dass entweder alle Lösungen des Eigenwertproblems für jedes $\lambda\in\mathbb{C}$ im Hilbertraum $L^2(a,b,w\,dx)$ liegen oder nur eine Lösung (und ihre Vielfachen) in $L^2(a,b,w\,dx)$ liegen. Liegen alle Lösungen im Hilbertraum $L^2(a,b,w\,dx)$, spricht man vom Grenzkreisfall anderenfalls vom Grenzpunktfall. In dieser Masterarbeit werden einige der Ergebnisse der Arbeit "Secondary conditions for linear differential operators of the second order" von A. R. Sims (Journal of Mathematics and Mechanics, 6 (1957), 247-285) vorgestellt. A. R. Sims erweiterte die Grenzpunkt-Grenzkreis-Klassifikation von Weyl auf komplexwertige Koeffizienten im Fall $p=w\equiv 1$. In dieser Klassifikation einen Fall mehr, als in der klassischen Klassifikation von H. Weyl für reelle Koeffizienten $p$ und $q$. Außerdem werden Eigenschaften der Weylschen $M$-Funktion untersucht und ein Lösungsoperator $R_{\lambda}$ erklärt. In den Fällen, in denen alle Lösungen in $L^2[a,b)$ liegen, ist dieser Lösungsoperator ein Hilbert-Schmidt Operator. Damit besteht das Spektrum in diesen Fällen nur aus isolierten Eigenwerten mit endlicher algebraischer Vielfachheit, welche in der unteren Halbebene liegen.



    Büttner, Florian;
    Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit komplexwertigen Koeffizienten. - 46 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2015

    Diese Masterarbeit befasst sich mit Differentialausdrücken zweiter Ordnung der Form $\tau[y]=\frac{1}{w}[-(py')'+qy]$. Hier sind $p^{-1}$, $q$ und $w$ lokal summierbare Funktionen, welche auf einem halboffenen, nicht notwendigerweise beschränktem, Intervall [a,b) erklärt sind. Das dazugehörige Eigenwertproblem $\tau[y]=\lambda y$ heißt Sturm-Liouville'sches Eigenwertproblem. Diese Differentialgleichung besitzt zwei linear unabhängige Lösungen, die aber nicht unbedingt im Hilbertraum $$L^2(a,b,w\, dx):= \left{u:(a,b)\rightarrow \mathbb{C}:\int_a^bw|u|^2\, dx <\infty \right}$$ liegen. Ein berühmtes Ergebnis von H. Weyl besagt, dass entweder für jedes $\lambda$ alle Lösungen des Eigenwertproblems in $L^2(a,b,w\, dx$ liegen oder nur eine Lösung (und ihre Vielfache) in $L^2(a,b,w\, dx$ liegt. Im ersten Fall spricht man vom Grenzkreisfall, sonst vom Grenzpunktfall. Es werden die Ergebnisse der Arbeit "On the spectrum of second-order differential operators with complex coefficients" von B.M. Brown, D.K.R. McCormack, W.D. Evans und M. Plum (Proc. R. Soc. Lond. 455 (1999), 1235-1257) vorgestellt. Diese behandelt das Sturm-Liouville'sche Eigenwertproblem mit komplexwertigen $p$ und $q$. Auch in diesem Fall lassen sich die Ergebnisse von H.Weyl zumindest teilweise übertragen. Die Charakterisierung führt dann auf zwei Grenzpunktfälle und einen Grenzkreisfall. Außerdem werden Eigenschaften der Weylschen $m$-Funktion untersucht und eine Operatorrealisierung von $\tau$ angegeben. Für diesen Operator bestimmen wir Mengen, in denen das Spektrum des Operators nur aus Eigenwerten mit endlicher algebraischer Vielfachheit besteht.



    Gernandt, Hannes;
    Untersuchung von Quantengraphen mittels direkter Summen von Randtripeln. - 73 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Masterarbeit, 2014

    In der vorliegenden Arbeit werden Quantengraphen untersucht. Quantengraphen bestehen aus einer endlichen oder abzählbar unendlichen Eckenmenge, einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge von Kanten, welche die Ecken miteinander verbinden, einer Kantenlängenfunktion und Differentialausdrücken auf jeder Kante zusammen mit Vernüpfungs- und Randbedingungen an den Ecken. Zur Modellierung der Operatoren auf dem Graphen verwenden wir die direkte Summe von Hilberträumen und linearen Relationen sowie das aus der Erweiterungstheorie symmetrischer linearer Relationen bekannte Konzept der Randtripel. Genauer werden Kirchhoff-Erweiterungen und Punktinteraktionen untersucht. Zur Beschreibung dieser Erweiterungen benutzen wir Regularisierungstechniken für Randtripel in Verbindung mit Zwischenerweiterungen. Von besonderem Interesse ist hier der Fall, dass die Kantenlängen beliebig klein werden dürfen. In diesem Fall übertragen sich gewisse Eigenschaften von diskreten Laplace-Operatoren auf die von uns betrachteten Erweiterungen. Hiermit wird die Selbstadjungiertheit, die Halbbeschränktheit und das Spektrum von Punktinteraktionen auf Quantengraphen beschrieben.



    Schacht, Johanna Eleonore;
    Spektrum und quadratisch numerischer Wertebereich von Blockoperatormatrizen. - 36 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012

    Eine wichtige Eigenschaft des quadratisch numerischen Wertebereichs ist die sogenannte Spektralinklusion. Das bedeutet, dass das Punktspektrum eines Operators in seinem quadratisch numerischen Wertebereich liegt und das Spektrum von im Abschluss enthalten ist. Diese Eigenschaft ist auch vom numerischen Wertebereich bekannt. Dabei bietet der quadratisch numerische Wertebereich im Allgemeinen eine genauere Abschätzung des Spektrums als der numerische Wertebereich. Generell gilt, dass der quadratisch numerische Wertebereich im numerischem Wertebereich enthalten ist. Dagegen gehen beim quadratisch numerischem Wertebereich im Vergleich zum numerischem Wertebereich Eigenschaften, wie Konvexität und Zusammenhang verloren. Stattdessen besteht der quadratisch numerische Wertebereich aus bis zu zwei Zusammenhangskomponenten. In dieser Arbeit geben wir einen eigenen Beweis für diese Eigenschaft des quadratisch numerischen Wertebereichs an. Die in dieser Arbeit vorgestellten Theoreme und Aussagen über den quadratisch numerischen Wertebereich entstammen zu einem großen Teil den Abschnitten 1.1, 1.2 und 1.3 aus dem Buch von Christiane Tretter: Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. Diese Abschnitte werden mit dieser Arbeit um eigene Beweise ergänzt. Außerdem werden Corollary 1.14 und Remark 1.3.5 aus diesem Buch korrigiert wiedergegeben und mit passenden Gegenbeispielen unterlegt.



    Krannich, Cornelia;
    Selbstadjungierte Operatoren und Skalen von Hilberträumen. - 51 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012

    Betrachtet man einen Hilbertraum $H$ und einen Operator $A:D(A)\to H$, so lässt sich mit Hilfe der Norm $\|x\|_{1/2}:=\|(I+A^{1/2})x\|, x\in D(A^{1/2})$ der Raum H_{1/2}:=(D(A^{1/2},\|.\|_{1/2)$ erklären. Dieses Verfahren lässt sich auf Operatoren verallgemeinern, für die nicht unbedingt eine Wurzel definiert ist. Dazu verwendet man die Tatsache, dass für dicht definierte, abgeschlossene Operatoren $A$ die Operatoren $I+AA^*$ und $I+A^*A$ selbstadjungiert sind. Die Potenzen dieser Operatoren und die zugehörigen Definitionsbereiche werden benutzt, um eine Skala von Hilberträumen einzuführen.




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