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    Behrndt, Jussi; Gesztesy, Fritz; Schmitz, Philipp; Trunk, Carsten
    Lower bounds for self-adjoint Sturm-Liouville operators. - In: Proceedings of the American Mathematical Society, ISSN 1088-6826, Bd. 151 (2023), 12, S. 5313-5323

    https://doi.org/10.1090/proc/16523
    Leben, Florian; Leguizamón, Edison; Trunk, Carsten; Winklmeier, Monika
    Limit point and limit circle trichotomy for Sturm-Liouville problems with complex potentials. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2023. - 1 Online-Ressource (15 Seiten). - (Preprint ; M23,10)

    The limit point and limit circle classification of real Sturm-Liouville problems by H. Weyl more than 100 years ago was extended by A.R. Sims around 60 years ago to the case when the coefficients are complex. Here the main result is a collection of various criteria which allow us to decide to which class of Sims' scheme a given Sturm-Liouville problem with complex coefficients belongs. This is subsequently applied to a second order differential equation defined on a ray in C which is motivated by the recent intensive research connected with PT-symmetric Hamiltonians.



    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2023200258
    Albeverio, Sergio; Derkach, Volodymyr; Malamud, Mark
    Functional models of symmetric and selfadjoint operators. - In: From complex analysis to operator theory: a panorama, (2023), S. 75-122

    https://doi.org/10.1007/978-3-031-31139-0_7
    Rakhmanova, Saparboy; Trunk, Carsten; Matrasulov, Davronbek
    Quantum particle under dynamical confinement: from quantum Fermi acceleration to high harmonic generation. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2023. - 1 Online-Ressource (15 Seiten). - (Preprint ; M23,09)

    Quantum dynamics of a particle confined in a box with time-dependent wall is revisited by considering some unexplored aspects of the problem. In particular, the case of dynamical confinement in a time-dependent box in the presence of purely time-varying external potential is treated by obtaining exact solution. Also, some external potentials approving separation of space and time variables in the Schrödinger equation with time-dependent boundary conditions are classified. Time-dependence of the average kinetic energy and average quantum force are analyzed. A model for optical high harmonic generation in the presence of dynamical confinement and external linearly polarized monochromatic field is proposed.



    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2023200218
    Behrndt, Jussi; Schmitz, Philipp; Teschl, Gerald; Trunk, Carsten
    Perturbation and spectral theory for singular indefinite Sturm-Liouville operators. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2023. - 1 Online-Ressource (26 Seiten). - (Preprint ; M23,08)

    We study singular Sturm-Liouville operators of the form 1/r_j (-d/dx p_j d/dx +q_j), j=0,1, in L_2((a; b); rj ), where, in contrast to the usual assumptions, the weight functions r_j have different signs near the singular endpoints a and b. In this situation the associated maximal operators become self-adjoint with respect to indefnite inner products and their spectral properties differ essentially from the Hilbert space situation. We investigate the essential spectra and accumulation properties of nonreal and real discrete eigenvalues; we emphasize that here also perturbations of the indefinite weights r_j are allowed. Special attention is paid to Kneser type results in the indefinite setting and to L_1 perturbations of periodic operators.



    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2023200208
    Honecker, Maria Christine; Gernandt, Hannes; Wulff, Kai; Trunk, Carsten; Reger, Johann
    Feedback rectifiable pairs and stabilization of switched linear systems. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2023. - 1 Online-Ressource (12 Seiten). - (Preprint ; M23,07)

    We address the feedback design problem for switched linear systems. In particular we aim to design a switched state-feedback such that the resulting closed-loop switched system is in upper triangular form. To this effect we formulate and analyse the feedback rectification problem for pairs of matrices. We present necessary and sufficient conditions for the feedback rectifiability of pairs for two subsystems and give a constructive procedure to design stabilizing state-feedback for a class of switched systems. Several examples illustrate the characteristics of the problem considered and the application of the proposed constructive procedure.



    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2023200194
    Assanova, Anar; Trunk, Carsten; Uteshova, Roza
    On the solvability of boundary value problems for linear differential-algebraic equations with constant coefficients. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2023. - 1 Online-Ressource (7 Seiten). - (Preprint ; M23,06)

    We study a two-point boundary value problem for a linear differential-algebraic equation with constant coefficients by using the method of parameterization. The parameter is set as the value of the continuously differentiable component of the solution at the left endpoint of the interval. Applying the Weierstrass canonical form to the matrix pair associated with the differential-algebraic equation, we obtain a criterion for the unique solvability of the problem.



    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2023200182
    Behrndt, Jussi; Schmitz, Philipp; Teschl, Gerald; Trunk, Carsten
    Perturbations of periodic Sturm-Liouville operators. - In: Advances in mathematics, ISSN 1090-2082, Bd. 422 (2023), 109022, S. 1-22

    https://doi.org/10.1016/j.aim.2023.109022
    âCurgus, Branko; Derkach, Volodymyr; Trunk, Carsten
    Indefinite Sturm-Liouville operators in polar form. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2023. - 1 Online-Ressource (49 Seiten). - (Preprint ; M23,05)
    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2023200114
    Derkach, Volodymyr; Trunk, Carsten
    PT-symmetric couplings of dual pairs. - Ilmenau : Technische Universität Ilmenau, Institut für Mathematik, 2023. - 1 Online-Ressource (24 Seiten). - (Preprint ; M23,03)
    https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:gbv:ilm1-2023200049

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    Studienabschlussarbeiten

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    Wang, Zhipeng;
    Modellierung von elektrischen Schaltungen mittels differential-algebraischer Gleichungen. - Ilmenau. - 27 Seiten
    Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2020

    Differential-algebraische Gleichungen (DAEs) sind Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen sowie algebraischen Gleichungen. In der vorliegenden Arbeit verwenden wir DAEs zur Beschreibung elektrischer Netzwerke. Um das Lösungverhalten und die Stabilität von DAEs zu beschreiben, verwenden wir Matrixbüschel und die Weierstraß-Normalform. Anschließend zeigen wir, wie man für elektrische Netzwerke die dazugehörige differential-algebraische Gleichung mit den Bauelemente-Beziehungen sowie den Kirchhoffschen Gesetzen herleiten kann. Abschließend stellen wir die modifizierte Knotenanalyse vor, und untersuchen die Eigenschaften der hergeleiteten DAEs, wie Regularität, Stabilität sowie den Index.



    Scholz, Stephan;
    Modeling and simulation of pulsed laser beam welding for aluminum alloys. - Ilmenau. - 90 Seiten
    Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018

    Diese Masterarbeit stellt den Vorgang des gepulsten Laserschweißens an einem Schweißpunkt mittels analytischen Beschreibungen und numerischen Simulationen vor. Hierbei werden Aluminiumlegierungen als das zu bearbeitende Material betrachtet, da diese für das Ausbilden von Heißrissen entlang der Schweißnaht bekannt sind. Heißrisse treten im Inneren und an der Oberfläche des bearbeiteten Materials auf Grund von rascher thermischer Kontraktion während des Ausschaltvorganges des Lasers auf. Im Gegensatz zu anderen Ansätzen, die beispielsweise auf die Verwendung von zusätzlichen Lasern setzen um einen geeigneten Abkühlprozess zu erhalten (siehe [11]), wird bei der hier vorgestellten Lösung nur ein Laser verwendet, der über dessen Leistung gesteuert wird. Dabei sollen Heißrisse mit flachen Rampen des Laserpulses beim Ausschaltvorgang verhindert werden. Hierfür wird ein mathematisch-physikalisches Modell für das betrachtete Problem des gepulsten Laserschweißens vorgestellt, welches eine semilineare Wärmeleitungsgleichung und eine Randsteuerung enthält. Darüber hinaus werden Methoden zur numerischen Berechnung der Wärmeentwicklung diskutiert und abschließend die Resultate der Simulationen für diverse Modi des Abschaltvorganges präsentiert.



    Fiedler, Manuel;
    Translationsinvariante Maße auf Banachräumen. - Ilmenau. - 58 Seiten
    Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018

    Diese Arbeit handelt von der Maß- und Integrationstheorie auf Banachräume, wobei insbesondere translationsinvariante Maße betrachtet werden. Hierzu werden zunächst Produktmaße auf unendlich dimensionalen Räumen erläutert. Anschließend wird gezeigt, dass auf unendlich dimensionalen Räumen keine Maße mit Eigenschaften wie beispielsweise (Quasi-)Translationsinvarianz und [sigma]-Endlichkeit existieren, mit Ausnahme einiger trivialer Beispiele. Danach wird der Nullmengenbegri diskutiert, wobei eine Adaption des Begris betrachtet wird, welche auf B. Hunt zurückgeht. Diese Mengen werden schüchterne Mengen genannt. Anschließend wird ein [sigma]-endliches, lokalendliches Maß konstruiert, welches zwar nicht invariant bezüglich aller Nullmengen, jedoch invariant bezüglich aller schüchternen Mengen ist. Zuletzt werden die erarbeiteten Begrie anhand von Beispielen veranschaulicht.



    Scholz, Stephan;
    Direkte und inverse Streuprobleme in einem Mehrschichtenmodell. - 57 Seiten
    Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2016

    In dieser Arbeit werden Reflexion und Brechung von seismischen Wellen an Schichtgrenzen innerhalb eines Mehrschichtenmodells betrachtet. Grundlage dessen bildet die Publikation von Leyds und Fokkema (Leyds, F.B. and Fokkema, J.T., 1988. A discrete-time inverse scattering algorithm for plane wave incidence in a one-dimensional inhomogeneous acoustic medium.), welche mathematisch aufgearbeitet und um einige Punkte erweitert wurde. Die Ziele dieser Arbeit gliedern sich dabei in die Lösung des direkten und inversen Problems. Bei ersterem sollen bei einem bekannten Schichtenmodell der Verlauf von Druckwellen konstruiert werden. Bei der Lösung des inversen Problems wird die Struktur des Schichtenmodells, insbesondere die akustische Admittanz jeder Schicht, bei bekannten Wellen an der Oberfläche bestimmt. Im letzten Teil dieser Arbeit wird der Fokus auf den Spezialfall der überkritschen Brechung gelegt. Dabei treten Effekte auf, welche die Lösung des direkten und inversen Problems beeinträchtigen.



    Schmitz, Philipp;
    Zur WKB-Näherung für Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen einer komplexen Veränderlichen. - 72 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Masterarbeit, 2015

    In der vorliegenden Arbeit wird für Lösungen gewöhnlicher, linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung der Form $f''=(p+q)f$ das Wachstumsverhalten mit Hilfe der WKB-Näherung untersucht. Neben Problemen entlang der reellen Achse werden insbesondere Differentialgleichungen innerhalb einfach zusammenhängender Gebiete betrachtet. Ein Schwerpunkt ist die Konstruktion von Fehlerschranken für die WKB-Näherungen. Dieses Problem wird auf eine Volterra-Integralgleichung zurückgeführt, wobei in dieser Arbeit eine Aussage über das Wachstumsverhalten von Lösungen bewiesen wird. Die Resultate der WKB-Methode werden für den Fall polynomieller Koeffizienten angewendet. Dabei werden Lösungen konstruiert, die in bestimmten Bereichen (Stokes wedges und Stokes lines) der komplexen Zahlenebene mit exponentieller Geschwindigkeit wachsen beziehungsweise gegen Null konvergieren. Dieser Fall spielt eine herausragende Rolle in der sogenannten $\PT$-Quantenmechanik.



    Abdul Hai, Ziad;
    Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit komplexen Koeffizienten. - 39 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2015

    Ein Sturm-Liouville-Problem besteht ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form $$-(p(x)y'(x))'+(q(x)-\lambda w(x))y(x)=0\quad \text{für } -\infty \le a<x<b\le \infty,$$ für $\lambda\in \mathbb{C}$ mit Anfangswerten $y(x_0)=y_0, \quad y'(x_0)=y_1.$. Hier sind die Funktionen $p,q:(a,b)\mapsto \mathbb{C}$ und $w:(a,b)\mapsto \mathbb{R}$ meßbar und $\frac{1}{p},q,w$ sind lokal integrierbar. Zudem gelte für fast alle $x\in (a,b)$, dass $p(x)\neq 0$ und $r(x)>0$. Die Differentialgleichung besitzt zwei linear unabhängige Lösungen. Diese Lösungen müssen aber nicht unbedingt im Hilbertraum $$L^2(a,b,w\,dx):=\bigg\{u:(a,b)\mapsto \mathbb{C}:\int_{a}^{b}w|u|^2\,dx<\infty\bigg\}$$ liegen. Sind $p$ und $q$ reellwertige Funktionen, so besagt ein berühmtes Ergebnis von H. Weyl, dass entweder alle Lösungen des Eigenwertproblems für jedes $\lambda\in\mathbb{C}$ im Hilbertraum $L^2(a,b,w\,dx)$ liegen oder nur eine Lösung (und ihre Vielfachen) in $L^2(a,b,w\,dx)$ liegen. Liegen alle Lösungen im Hilbertraum $L^2(a,b,w\,dx)$, spricht man vom Grenzkreisfall anderenfalls vom Grenzpunktfall. In dieser Masterarbeit werden einige der Ergebnisse der Arbeit "Secondary conditions for linear differential operators of the second order" von A. R. Sims (Journal of Mathematics and Mechanics, 6 (1957), 247-285) vorgestellt. A. R. Sims erweiterte die Grenzpunkt-Grenzkreis-Klassifikation von Weyl auf komplexwertige Koeffizienten im Fall $p=w\equiv 1$. In dieser Klassifikation einen Fall mehr, als in der klassischen Klassifikation von H. Weyl für reelle Koeffizienten $p$ und $q$. Außerdem werden Eigenschaften der Weylschen $M$-Funktion untersucht und ein Lösungsoperator $R_{\lambda}$ erklärt. In den Fällen, in denen alle Lösungen in $L^2[a,b)$ liegen, ist dieser Lösungsoperator ein Hilbert-Schmidt Operator. Damit besteht das Spektrum in diesen Fällen nur aus isolierten Eigenwerten mit endlicher algebraischer Vielfachheit, welche in der unteren Halbebene liegen.



    Büttner, Florian;
    Differentialoperatoren zweiter Ordnung mit komplexwertigen Koeffizienten. - 46 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2015

    Diese Masterarbeit befasst sich mit Differentialausdrücken zweiter Ordnung der Form $\tau[y]=\frac{1}{w}[-(py')'+qy]$. Hier sind $p^{-1}$, $q$ und $w$ lokal summierbare Funktionen, welche auf einem halboffenen, nicht notwendigerweise beschränktem, Intervall [a,b) erklärt sind. Das dazugehörige Eigenwertproblem $\tau[y]=\lambda y$ heißt Sturm-Liouville'sches Eigenwertproblem. Diese Differentialgleichung besitzt zwei linear unabhängige Lösungen, die aber nicht unbedingt im Hilbertraum $$L^2(a,b,w\, dx):= \left{u:(a,b)\rightarrow \mathbb{C}:\int_a^bw|u|^2\, dx <\infty \right}$$ liegen. Ein berühmtes Ergebnis von H. Weyl besagt, dass entweder für jedes $\lambda$ alle Lösungen des Eigenwertproblems in $L^2(a,b,w\, dx$ liegen oder nur eine Lösung (und ihre Vielfache) in $L^2(a,b,w\, dx$ liegt. Im ersten Fall spricht man vom Grenzkreisfall, sonst vom Grenzpunktfall. Es werden die Ergebnisse der Arbeit "On the spectrum of second-order differential operators with complex coefficients" von B.M. Brown, D.K.R. McCormack, W.D. Evans und M. Plum (Proc. R. Soc. Lond. 455 (1999), 1235-1257) vorgestellt. Diese behandelt das Sturm-Liouville'sche Eigenwertproblem mit komplexwertigen $p$ und $q$. Auch in diesem Fall lassen sich die Ergebnisse von H.Weyl zumindest teilweise übertragen. Die Charakterisierung führt dann auf zwei Grenzpunktfälle und einen Grenzkreisfall. Außerdem werden Eigenschaften der Weylschen $m$-Funktion untersucht und eine Operatorrealisierung von $\tau$ angegeben. Für diesen Operator bestimmen wir Mengen, in denen das Spektrum des Operators nur aus Eigenwerten mit endlicher algebraischer Vielfachheit besteht.



    Gernandt, Hannes;
    Untersuchung von Quantengraphen mittels direkter Summen von Randtripeln. - 73 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Masterarbeit, 2014

    In der vorliegenden Arbeit werden Quantengraphen untersucht. Quantengraphen bestehen aus einer endlichen oder abzählbar unendlichen Eckenmenge, einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge von Kanten, welche die Ecken miteinander verbinden, einer Kantenlängenfunktion und Differentialausdrücken auf jeder Kante zusammen mit Vernüpfungs- und Randbedingungen an den Ecken. Zur Modellierung der Operatoren auf dem Graphen verwenden wir die direkte Summe von Hilberträumen und linearen Relationen sowie das aus der Erweiterungstheorie symmetrischer linearer Relationen bekannte Konzept der Randtripel. Genauer werden Kirchhoff-Erweiterungen und Punktinteraktionen untersucht. Zur Beschreibung dieser Erweiterungen benutzen wir Regularisierungstechniken für Randtripel in Verbindung mit Zwischenerweiterungen. Von besonderem Interesse ist hier der Fall, dass die Kantenlängen beliebig klein werden dürfen. In diesem Fall übertragen sich gewisse Eigenschaften von diskreten Laplace-Operatoren auf die von uns betrachteten Erweiterungen. Hiermit wird die Selbstadjungiertheit, die Halbbeschränktheit und das Spektrum von Punktinteraktionen auf Quantengraphen beschrieben.



    Schacht, Johanna Eleonore;
    Spektrum und quadratisch numerischer Wertebereich von Blockoperatormatrizen. - 36 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012

    Eine wichtige Eigenschaft des quadratisch numerischen Wertebereichs ist die sogenannte Spektralinklusion. Das bedeutet, dass das Punktspektrum eines Operators in seinem quadratisch numerischen Wertebereich liegt und das Spektrum von im Abschluss enthalten ist. Diese Eigenschaft ist auch vom numerischen Wertebereich bekannt. Dabei bietet der quadratisch numerische Wertebereich im Allgemeinen eine genauere Abschätzung des Spektrums als der numerische Wertebereich. Generell gilt, dass der quadratisch numerische Wertebereich im numerischem Wertebereich enthalten ist. Dagegen gehen beim quadratisch numerischem Wertebereich im Vergleich zum numerischem Wertebereich Eigenschaften, wie Konvexität und Zusammenhang verloren. Stattdessen besteht der quadratisch numerische Wertebereich aus bis zu zwei Zusammenhangskomponenten. In dieser Arbeit geben wir einen eigenen Beweis für diese Eigenschaft des quadratisch numerischen Wertebereichs an. Die in dieser Arbeit vorgestellten Theoreme und Aussagen über den quadratisch numerischen Wertebereich entstammen zu einem großen Teil den Abschnitten 1.1, 1.2 und 1.3 aus dem Buch von Christiane Tretter: Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. Diese Abschnitte werden mit dieser Arbeit um eigene Beweise ergänzt. Außerdem werden Corollary 1.14 und Remark 1.3.5 aus diesem Buch korrigiert wiedergegeben und mit passenden Gegenbeispielen unterlegt.



    Krannich, Cornelia;
    Selbstadjungierte Operatoren und Skalen von Hilberträumen. - 51 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012

    Betrachtet man einen Hilbertraum $H$ und einen Operator $A:D(A)\to H$, so lässt sich mit Hilfe der Norm $\|x\|_{1/2}:=\|(I+A^{1/2})x\|, x\in D(A^{1/2})$ der Raum H_{1/2}:=(D(A^{1/2},\|.\|_{1/2)$ erklären. Dieses Verfahren lässt sich auf Operatoren verallgemeinern, für die nicht unbedingt eine Wurzel definiert ist. Dazu verwendet man die Tatsache, dass für dicht definierte, abgeschlossene Operatoren $A$ die Operatoren $I+AA^*$ und $I+A^*A$ selbstadjungiert sind. Die Potenzen dieser Operatoren und die zugehörigen Definitionsbereiche werden benutzt, um eine Skala von Hilberträumen einzuführen.




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