Bachelor and Master Theses at the Institute

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Created on: Sun, 22 May 2022 16:48:08 +0200 in 0.0691 sec


Betrachtung der Gradientenbestimmung für den Adam Algorithmus. - Ilmenau. - 80 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022

In dieser Arbeit werden verschiedene Abstiegsverfahren dargestellt. Speziell wird auf das Gradientenverfahren eingegangen und am Beispiel von Empirical Risk Minimization eine Entwicklung bis hin zu adaptiven Verfahren wie dem Adam-Algorithmus beschrieben. Anschließend wird das CLUE-Verfahren erklärt, welches den Adam-Algorithmus zum Lösen einer gewichteten Summe verwendet. Das CLUE-Verfahren verwendet ein Bayesches neuronales Netz und einen Variational Autoencoder, um eine Zielfunktion zu definieren. Diese beiden neuronalen Netze werden beschrieben und es wird erklärt, wie solche trainiert werden können. Für die Zielfunktion wird der Einfluss von verschiedenen Batch-Größen untersucht. Außerdem wird eine modifizierte Abbruchbedingung betrachtet.



Junghans, Elisa;
Minimalgradzerlegungen von Kreispotenzen. - Ilmenau. - 35 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022

Das Ziel dieser Arbeit ist es, herauszufinden für welche s und t es unendlich viele (s+t)-zusammenhängende Graphen gibt, die keine (s,t)-Zerlegung besitzen. Zu diesem Zweck wurden Potenzen von Kreisen auf Existenz solcher Zerlegungen untersucht. Dabei ist eine Zerlegung hier ein Tupel induzierter, disjunkter Teilgraphen, sodass jede Ecke des Graphen in einem der beiden Teile enthalten ist und eine (s,t)-Zerlegung eine solche Zerlegung, sodass der eine Teil Minimalgrad s und der andere Minimalgrad t hat. Dabei wurden die Fälle s = t, s = 1, s = 2 sowie s = 3 vollständig analysiert. Für allgemeine s und t konnten hinreichende Kriterien für die Existenz von (s,t)-Zerlegungen von Kreispotenzen hergeleitet werden, welche nicht immer erfüllt seien können. Dadurch wurden unendlich viele (s+t)-zusammenhängende Graphen ohne eine (s,t)-Zerlegung gefunden. Zusätzlich wurden auch notwendige Kriterien gefunden.



Bold, Lea;
Diskrete Geschwindigkeitsmodelle und ihr Bezug zu den Navier-Stokes-Gleichungen. - Ilmenau. - 105 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2022

Das Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung von Parametern der Strömungstheorie, dem Viskositäts- und Wärmeleitkoeffizienten sowie der Prandtl-Zahl, aus der Lösung der räumlich homogenen Boltzmann-Gleichung mit Korrekturterm. Um dies zu erreichen, beschäftigen wir uns zuerst mit der Boltzmann-Gleichung, einer mesoskopischen Gleichung der Gastheorie für verdünnte Gase. Diese wird auf einem diskreten Geschwindigkeitsmodell betrachtet, um die Lösung numerisch berechnen zu können. In diesem Zusammenhang interessieren wir uns auch für die Möglichkeit der Beeinflussung der Prandtl-Zahl durch die Wahl der Stoßgewichte des Stoßoperators der Boltzmann-Gleichung. Dafür wird zuerst die Theorie erarbeitet, die der Arbeit mit der Boltzmann-Gleichung zugrunde liegt und ein diskretes Geschwindigkeitsmodell definiert. Dazu gehört die Arbeit mit elastischen Stößen und dem allgemeinen und linearisierten Stoßoperator. Die Anfangsbedingung und gewisse Korrekturterme werden anschließend bestimmt, um die homogene Boltzmann-Gleichung aufstellen zu können. Dann werden wir uns mit dem Begriff des Orbits auseinandersetzen, der die Arbeit mit dem komplexen Geschwindigkeitsmodell etwas vereinfacht. Wir können anschließend feststellen, dass die Gewichte in den Stoßoperatoren die Lösung der Boltzmann-Gleichung tatsächlich beeinflussen können. Es werden gewisse Kriterien erstellt, nach denen die Gewichte, zusammengefasst in Gewichtsvektoren, aufgestellt werden können. Mit diesen Gewichtsvektoren kann nun die Boltzmann-Gleichung gelöst werden und diese Lösungen können zusammen mit den Prandtl-Zahlen für jedes der verwendeten Gewichte ausgewertet werden. Dies wird für zwei unterschiedliche Gittermodelle ausgetestet und die Ergebnisse werden dokumentiert. Schließlich wird die Herleitung der Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen aus der Boltzmann-Gleichung erarbeitet und das Vorgehen skizziert. Somit wird auch die Entstehung der Prandtl-Zahl, die eine Kennzahl der Navier-Stokes-Gleichungen ist, sowie ihre Verbindung zu der Boltzmann-Gleichung, erklärt.



Kästner, Carolin;
Analyse der Varianz der Aktivierungen in Convolutional Neural Networks zum Verzicht auf Batch Normalization. - Ilmenau. - 105 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2021

Im Rahmen der Bildverarbeitung werden künstliche Intelligenzen zur Klassifikation eingesetzt. Ein sehr verbreitetes Modell in Bezug auf diese Problemstellung ist das in dieser Masterarbeit vorgestellte ResNet. In ResNets ist die Batch Normalization ein wesentlicher Bestandteil und trägt erheblich zum Trainingsprozess dieser Netzwerke bei. Nichtsdestotrotz bringt sie auch einige Nachteile mit sich, weshalb es in den letzten Jahren viele Bestrebungen gab, Batch Normalization zu ersetzen. Allerdings führt ein bloßes Entfernen der Batch Normalization in ResNets zu explodierenden Varianzen, welche mit dem Exploding Gradient Problem einhergehen, das zum frühen Abbruch des Trainings eines Netzwerks führt. Im Fokus dieser Masterarbeit steht deshalb die Analyse der Entwicklung der Varianzen innerhalb von ResNets und ResNet-ähnlichen Architekturen ohne Normierung, wie dem RescaleNet. Auf Basis ausführlicher Varianzanalysen ergründen wir, welche Effekte in modifizierten preactivation ResNet-Varianten ohne Batch Normalization auftreten. Dabei wird in dieser Masterarbeit erstmals aufgezeigt, inwiefern das Padding im Residuum-Zweig Einfluss auf die Varianzentwicklung ausübt. Außerdem arbeiten wir Unterschiede zwischen den Entwicklungen der Varianzen im pre- und postactivation RescaleNet heraus und trainieren das preactivation RescaleNet erstmals erfolgreich sowohl auf dem CIFAR-10- als auch auf dem ImageNet-Datensatz.



Rothe, Anna;
Entwicklung und Implementierung eines numerischen Verfahrens zur Lösung eines unvollständigen Anfangswertproblems mit Nebenbedingung. - Ilmenau. - 41 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021

In der vorliegenden Arbeit wurde ein numerisches Verfahren entwickelt, um ein unvollständiges Anfangswertproblem mit Nebenbedingung zu lösen. Dieses wird durch die aus der Physik bekannte Boltzmanngleichung motiviert. Da man häufig nur an stationären, also zeitunabhängigen Lösungen in einer Raumdimension interessiert ist, genügt es die Gleichung im eindimensionalen Fall zu betrachten, wo sie durch ein Randwertproblem gegeben ist. In der Praxis wird das zeitabhängige Problem so lange numerisch gelöst, bis der asymptotisch stationäre Zustand erreicht ist. Da diese Methode sehr rechenintensiv ist, wurde in der vorliegenden Arbeit anhand eines einfachen Modells des Stoßoperators eine alternative Berechnungsmethode entwickelt. Hierbei wird ausgehend von einer bekannten Lösung eine Homotopiemethode in Verbindung mit einem einfachen Schießverfahren genutzt, um die stationäre Lösung zu erhalten. Die dafür benötigten Schritte wurden in Matlab implementiert. Abschließend wurden numerische Berechnungen durchgeführt, um zu sehen, wie sich verschiedene Störungen der Anfangswerte auf die Lösung des Problems auswirken.



Dahlke, Jonathan Christoph;
Verbundene Perfekte Matchings in Graphen mit Spezieller Kempe-Färbung. - Ilmenau. - 21 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022

In dieser Arbeit wird eine Verschärfung eines Spezialfalls der Hadwiger-Vermutung gelöst. Es werden Graphen mit einer Kempe-Färbung, das ist eine Färbung, in der der von je zwei Farbklassen induzierte Teilgraph zusammenhängend ist, betrachtet und unter diesen solche, in denen alle Farbklassen die Größe zwei haben. Unter dieser Voraussetzung konnte gezeigt werden, dass, wenn der Graph nicht allzu viele nicht verbundene Kanten besitzt, er ein perfektes Matching, in dem die Kanten paarweise verbunden sind, haben muss. Dieses verbundene perfekte Matching stellt dann einen vollständigen Minor dar, der so viele Taschen hat, wie die Färbung Farbklassen.



Schulz, Nicolas;
Zur Zerlegung von Ordnungen mit totalen Ordnungserweiterungen. - Ilmenau. - 51 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021

Mit der Ordnungsdimension haben Dushnik und Miller 1941 ein Konzept entwickelt, das es ermöglicht, die Komplexität endlicher partieller Ordnungen abzuschätzen. In dieser Arbeit entwickeln wir eine alternative Methode zur Darstellung derartiger Ordnungen durch totale Ordnungserweiterungen, die - im Unterschied zum vorherigen Ansatz - zusätzliche Informationen über die Minima beliebiger Teilmengen erhalten. Wir beschäftigen uns dabei zunächst mit der Frage, wie groß derartige Zerlegungen wenigstens sein müssen und leiten anschließend konstruktive Zerlegungsalgorithmen her, die wir an geeigneten Beispielen testen.



Volkert, Manuela;
Klassifikation von Merkmalsvektoren mit vorheriger Dimensionsreduktion mittels Hauptkomponentenanalyse am Beispiel der Pflanzenbestimmung. - Ilmenau. - 80 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021

In dieser Bachelorarbeit befassen wir uns mit der Klassifikation von Merkmalsvektoren nach einer Dimensionsreduktion. Zu diesem Zweck wurde uns ein Datensatz aus Merkmalsvektoren zur Verfügung gestellt, der aus Fotos von Blumen entstanden ist. Auf die Bestimmung eines Merkmalsvektors auf der Grundlage eines Fotos werden wir nicht eingehen. Unser Ziel ist es herauszufinden, ob eine Dimensionsreduktion mittels Hauptkomponentenanalyse vor der Klassifikation auf diesem Datensatz nennenswerte Vorteile bringt, ohne große Nachteile in der Genauigkeit der Klassifikation zu verursachen. Der Schwerpunkt der Theorie liegt dabei auf der Hauptkomponentenanalyse. Diese werden wir aus statistischer Sicht heraus erklären. Im Kontext der Eigenwertzerlegung bei der Hauptkomponentenanalyse gehen wir zudem auf deren Zusammenhang mit der Singulärwertzerlegung ein und geben ein Beispiel, wie sie numerisch berechnet werden kann. Zur Klassifikation von Merkmalsvektoren verwenden wir Support Vector Machines. Hier betrachten wir Vektoren zweier Klassen, die sich durch eine Hyperebene trennen lassen, um die Funktionsweise exemplarisch anzudeuten. Anschließend haben wir in der Programmiersprache python Programme erstellt, die es uns erlauben, Vorzüge und Nachteile der Dimensionsreduktion vor der Klassifikation auf unseren Daten zu untersuchen. Das Ergebnis dieser Untersuchung wird sein, dass für unseren Datensatz eine Reduktion auf Dimension vierzig vor der Klassifikation sinnvoll scheint. Die Laufzeit wird hier, zumindest für unsere Implementierung, stark verkürzt, während die Präzision der Klassifikation in etwa erhalten bleibt.



Krone, Maximilian;
Erzeugung von Mengensystemen mit Durchschnitten und Vereinigungen. - Ilmenau. - 28 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021

Die Arbeit untersucht unter anderem folgende Darstellungs- und Konstruktionsprobleme: Gegeben sind Mengensysteme X und A über einer gemeinsamen Grundmenge. Ist es möglich, die Mengen aus X mit beliebigen Durchschnitten und Vereinigungen aus den Mengen aus A als Ausdruck darzustellen bzw. in Form einer Konstruktionsvorschrift zu konstruieren? Dieses Problem ist in polynomieller Zeit entscheidbar. Für eine Modifikation des Problems sei weiter eine Familie von n [Element von] N Mengenoperationen gegeben, welche in der Darstellung bzw. Konstruktion zusätzlich zu Durchschnitten und Vereinigungen (einmalig) verwendet werden dürfen. Auch dieses Problem ist für eine Klasse von Mengenoperationen, zu der insbesondere alle zweistelligen sowie die Komplementbildung gehören, in polynomieller Zeit entscheidbar. Für n = 3 viele hinreichend komplexe, aber feste Mengenoperationen ist das Problem dagegen NP-vollständig. Dies bleibt bestehen, wenn wir statt der Verwendung von drei Mengenoperationen drei frei wählbare Mengen zulassen. Die zugehörige Entscheidungsfrage ist allgemein: Gibt es ein Mengensystem S aus n Mengen so, dass die Mengen aus X mit beliebigen Durchschnitten und Vereinigungen aus den Mengen aus A [Vereinigungsmenge] S konstruierbar bzw. als Ausdruck darstellbar sind? Eine Verallgemeinerung dieses Problems ist äquivalent zum folgenden Entscheidungsproblem für einen gegebenen Digraphen D = (V, E) und n [Element von] N: Gibt es n Teilmengen von V (Schnitte in D) so, dass für jede Kante xy [Element von] E eine der Mengen die Ecke x, jedoch nicht die Ecke y enthält? Dies wiederum ist äquivalent zu einer Zerlegung der Kantenmenge E in n Mengen, welche nicht zugleich Kanten xy und yz für irgendwelche Ecken x, y, z enthalten. Auch diese Probleme sind NP-vollständig, insbesondere für azyklische Digraphen und n = 3.



Küstner, Markus Anton;
Modellierung von Problemen als quadratische unrestringierte binäre Optimierungsprobleme. - Ilmenau. - 56 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021

Ein adiabatischer Quantencomputer kann quadratische unrestringierte binäre Optimierungsprobleme (QUBO-Probleme) effizient lösen, unter bestimmten Voraussetzungen sogar schneller als herkömmliche Computer. Das Ziel dieser Arbeit ist es herauszufinden, welche Optimierungsprobleme als QUBO-Problem modelliert werden können und in welcher Form dies möglich ist. Es stellt sich heraus, dass beliebige ganzzahlige Optimierungsprobleme als QUBO-Pro- bleme modelliert werden können, sofern geeignete Straffunktionen existieren und alle Variablen beschränkt sind. Für die nötigen Umformungsschritten werden die Voraussetzungen diskutiert. Dies umfasst Binärdarstellungen von beschränkten ganzzahligen Variablen, die Reduzierung des Grades multilinearer binärer Polynome und das Aufnehmen von Nebenbedingungen in die Zielfunktion. Des Weiteren werden für multilineare binäre Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingungen geeignete Straffunktionen aufgestellt und verschiedene Möglichkeiten der Wahl der Straffunktionen diskutiert. Zudem wird analysiert, wie mit Betragsfunktionen in Nebenbedingungen und in Zielfunktionen verfahren werden kann.