Charakterisierung der Baumweite eines Graphen durch Graphsuche. - Ilmenau. - 21 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2023
Das Konzept der Baumweite ist eines der weniger intuitiven Konzepte in der Graphentheorie. Deswegen ist es durchaus nützlich, sich alternative Charakterisierungen dieser Größe anzusehen. Zu diesem Zweck soll das Suchen auf Graphen mit bestimmten Voraussetzungen dienen. Ziel dieser Arbeit ist es, einen kurzen Überblick über die Geschichte der Graphsuche zu geben, die Voraussetzungen für die Graphsuche zu definieren, so dass ein Zusammenhang zur Baumweite hergestellt wird, und einen Beweis für diesen Zusammenhang darzustellen.
Das S-Lemma und die Konvexität der Bildmenge zweier homogener quadratischer Funktionen. - Ilmenau. - 26 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2023
In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit dem S-Lemma und dessen Beweis von Yakubovich, welcher die Konvexität der Bildmenge zweier homogener quadratischer Funktionen ausnutzt, dem Dines Theorem. Daneben betrachten wir in Trust-Region Subproblemen eine exemplarische Anwendung des S-Lemmas. Außerdem werden wir weitere Konvexitätsaussagen, als Verallgemeinerungen des Dines Theorems, sehen und damit einhergehend auch Verallgemeinerungen des S-Lemmas erhalten.
On the Hamiltonicity of 5-regular Line Graphs with Additional Properties. - Ilmenau. - 26 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2023
In der vorliegenden Masterarbeit wird eine Abschwächung einer Vermutung von Thomassen gezeigt. Thomassen hatte vermutet, dass 4-zusammenhängende Kantengraphen hamiltonsch sind - das ist, sie besitzen einen aufspannenden Kreis. Hier zeigen wir, dass, mit einer wesentlich einschränkenden Bedingung an Ecken des Grades 3 im Urbild des Kantengraphen, 5-reguläre, 4-zusammenhängende Kantengraphen hamiltonsch sind. Weiterhin gibt es eine Vermutung, die von L. Lovász im Jahr 1969 aufgestellt wurde. Diese besagt, dass - bis auf wenige Ausnahmen - alle vertex-transitiven Graphen hamiltonsch sind, wobei man einen Graphen vertex-transitiv nennt, wenn seine Automorphismengruppe transitiv auf den Ecken des Graphen wirkt. Durch Ausnutzen des obigen Resultates und nach Klassifikation der 5-regulären vertex-transitiven Kantengraphen können wir dann zeigen, dass vertex-transitive, 5-reguläre Kantengraphen, in deren Urbild Kreise der Länge 4 enthalten sind, hamiltonsch sind.Abschließend fokussieren wir uns auf ein Resultat von Jaeger, der 1979 eine sehr nützliche Äquivalenz zeigte, in der er die Kantenmengen, die innerhalbe eines gegebenen Graphen zu einem eulerschen Teilgraphen erweitert werden können, klassifizierte. Dies nutzen wir, um Resultate, die bereits nützlich dafür waren, Abschwächungen von Thomassens Vermutung zu zeigen, zu verschärfen.
Port-Hamiltonsche Modellierung mikroökonomischer Prozesse. - Ilmenau. - 57 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2023
Gegenstand dieser Arbeit ist es, die Port-Hamiltonsche Modellierung, die in zahlreichen Bereichen der Physik eingesetzt wird, auf das Gebiet der Mikroökonomik anzuwenden. Dazu wird der Begriff der Energie mit einer Geldmenge identifiziert und die grundlegenden Elemente eines Marktes, Angebot, Nachfrage, ein Lager und eine Investition, werden in die Port-Hamiltonsche Modellierungsart eingeordnet. Diese Elemente werden einzeln modelliert und schließlich in einem System, dem Pedersen Markt, miteinander verbunden. Ein Hauptaugenmerk liegt dabei auf der ökonomischen Interpretation. Die Kopplung der einzelnen Akteure findet durch den Markt, formalisiert durch eine Dirac-Struktur, statt. Es zeigt sich, dass eine Gelderhaltungseigenschaft und Bilanzgleichung erfüllt ist. Ferner zeigen wir mittels numerischer Untersuchung anhand eines Marktmodells die Korrespondenz des Gleichgewichtsbegriffs in der Systemtheorie und ebendiesem in der Mikroökonomik.
Anwendung von Funnel MPC auf die Regelung eines Magnetschwebesystems. - Ilmenau. - 188 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2023
Im Angesicht einer stark wachsenden Weltbevölkerung wird die Infrastruktur insbesondere im Verkehrssektor vor immer neue und größere Herausforderungen gestellt. Eine innovative Mobilitätslösung im Umgang mit diesen Aufgaben könnte die unter dem Namen Transport System Bögl vermarktete Magnetschwebebahn, die sich bei dem Unternehmen Max Bögl seit 2008 in Entwicklung befindet, sein. Der Spalt zwischen der Magnetschwebebahn und dem Fahrweg wird bisher mit einem Regler mit linearer Zustandsrückführung und Luenberger Beobachter geregelt. Dieser Ansatz macht aufwändiges Tuning erforderlich und ist für die Einhaltungen von Ausgangsbeschränkungen nicht besonders gut geeignet. Daher wird in dieser Arbeit mit Funnel MPC ein neuartiges Regelungskonzept untersucht, um zu bewerten inwieweit es Vorteile gegenüber dem bisher verwendeten Regler bzgl. Reglerperformance und Stabilität bietet. Bei der Reglerperformance liegt der Fokus dabei insbesondere auf dem Fahrkomfort und dem Stellaufwand. Ausführliche Simulationsergebnisse ermöglichen diesbzgl. einen umfangreichen Vergleich der beiden Ansätze. Zusätzlich werden theoretische Untersuchungen zur Anwendbarkeit des Regelungskonzeptes Funnel MPC auf die Magnetschwebebahn anhand eines in der Arbeit erläuterten Modells vorgenommen.
Ein starkes Gesetz der großen Zahlen für Epidemien auf inhomogenen Bevölkerungen. - Ilmenau. - 49 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2023
Wir formulieren und beweisen ein Gesetz der großen Zahlen für ein zeitdiskretes stochastisches SIR-Modell einer Epidemie, welches eine Erweiterung des entsprechenden Modells für homogene Bevölkerungen ist: Nach Ziehen einer potentiell inhomogenen Bevölkerung startet eine Epidemie, wobei die Infektions- und Genesungswahrscheinlichkeiten von dieser zufälligen Bevölkerung abhängen. Das zentrale Ergebnis der Arbeit besagt, dass zu jedem Zeitpunkt die empirischen Maße der aktuell Suszeptiblen, Infizierten und Genesenen punktweise in Wahrscheinlichkeit gegen deterministische Grenzwerte konvergieren, wobei diese Grenzwerte explizit durch Iterationsgleichungen gegeben sind. Wir beweisen dies zunächst für Epidemien mit einer endlichen Anzahl von Typen von Individuen und verwenden solche, um den allgemeinen Fall zu approximieren. Im weiteren Verlauf untersuchen wir die Stetigkeit der Grenzwerte in den Parametern und ihr Verhalten für gegen unendlich konvergierende Zeitpunkte. Zur Illustration unserer Ergebnisse haben wir solche Epidemien auf dem zweidimensionalen Torus simuliert und mit den deterministischen Grenzwerten verglichen.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2023
Im Rahmen der amtlichen Statistik werden die erhobenen Daten in der Regel in Form von Summen, seien es Anzahlen oder Durchschnittswerte, verarbeitet und veröffentlicht. In dieser Arbeit leiten wir her, dass unter bestimmten Annahmen die Addition die, bis auf isotone Transformationen, einzige Form der Aggregation im Rahmen amtlicher Datenerhebungen ist. Dazu formalisieren wir die Datenzusammenfassung in der amtlichen Statistik und charakterisieren diese mithilfe geordneter Halbgruppen, um deren Ordnungsisomorphie zu den reellen Zahlen mit der Addition nachzuweisen.
Über Dirac-Strukturen Port-Hamiltonscher Systeme. - Ilmenau. - 39 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2023
In der wissenschaftlichen Disziplin Physik ist die energiebasierte Modellierung von Systemen von Bedeutung. In diesem Zusammenhang erscheinen sogenannte Port-Hamiltonsche Systeme als ein valides Konzept. Wir werden uns mit zwei verschiedenen Betrachtungsweisen Port-Hamiltonscher Systeme und mit deren mathematischen Grundlagen tiefer beschäftigen. Diese werden das geometrische Port-Hamiltonsche System und das Port-Hamiltonsche System in Differentialgleichungsform sein. Ferner befassen wir uns mit der Systemmodellierung im Bereich Physik. Ausgehend von den beiden Betrachtungsweisen zeigen wir in dieser Arbeit die Äquivalenz dieser im Sinne des Behaviours. Dabei sind die erwähnten Klassen von Systemen dahingehend äquivalent, dass wir für das jeweils eine, ein System der anderen Klasse finden, sodass diese übereinstimmen.
"Adjustable Robust Optimization" zur Einsatzplanung eines Energiesystems mit unsicherer regenerativer Stromerzeugung. - Ilmenau. - 51 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2022
Das Thema dieser Arbeit ist die Anwendung der justierbaren robusten Optimierung (engl. adjustable robust optimization) an dem Modell eines Energiesystems. In diesem Anwendungsbereich spielt der Umgang mit unsicheren Daten wie Energieerzeugung und -nachfrage eine große Rolle. Zu Beginn werden die Grundlagen der Optimierung unter unsicheren Parametern gelegt, wobei hier der Fokus auf der robusten und justierbaren robusten Optimierung liegt. Anschließend wird dargelegt, wie sich diese Methoden in verschiedenen Anwendungsfällen in der Energiewirtschaft einsetzen lassen und der aktuelle Forschungsstand dazu aufgeführt. Nun wird die justierbare robuste Optimierung an einem einfachen Anwendungsbeispiel ausgeführt und der deterministischen Planung gegenübergestellt. Es folgt die Modellierung eines Energiesystems, welches unter Eingabe von bekannten Parametern zunächst deterministisch gelöst wird. Schließlich werden eine deterministische sowie eine justierbare robuste Methode für dieses Modell implementiert und durch eine Simulation mit realisierten Daten miteinander verglichen. Mit der justierbaren robusten Optimierung soll eine weniger konservative Methode als die statische robuste Optimierung untersucht werden, da für letztere oftmals keine zulässigen Lösungen existieren.
Robustheit von Schätzern epidemiologischer Parameter gegen Missspezifikationen im Infektiositätsprofil. - Ilmenau. - 41 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022
Das Schätzen epidemiologischer Parameter ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Beurteilung der aktuellen Situation im Falle einer Epidemie. Ausgehend von der Intuition, dass sich der Wachstumsfaktor auch ohne Kenntnis des Infektiositätsprofils durch das lokale Anfitten einer Exponentialkurve an die Inzidenzen bestimmen ließe, beschäftigen wir uns mit der Reproduktionszahl und davon abgeleiteten Parametern in Hinblick auf Missspezifikationen des Infektiositätsprofils. Dabei betrachten wir jeweils den asymptotischen Bias und vergleichen für verschiedene Fälle vergangener Inzidenzen die Schätzer dahingehend. Anschließend verifizieren wir anhand von Simulationen die theoretischen Ergebnisse und bestätigen obige Intuition für in der Realität weitestgehend anzunehmende Fälle.