Bachelor Theses and Master Theses

Wir formulieren und beweisen ein Gesetz der großen Zahlen für ein zeitdiskretes stochastisches SIR-Modell einer Epidemie, welches eine Erweiterung des entsprechenden Modells für homogene Bevölkerungen ist: Nach Ziehen einer potentiell inhomogenen Bevölkerung startet eine Epidemie, wobei die Infektions- und Genesungswahrscheinlichkeiten von dieser zufälligen Bevölkerung abhängen. Das zentrale Ergebnis der Arbeit besagt, dass zu jedem Zeitpunkt die empirischen Maße der aktuell Suszeptiblen, Infizierten und Genesenen punktweise in Wahrscheinlichkeit gegen deterministische Grenzwerte konvergieren, wobei diese Grenzwerte explizit durch Iterationsgleichungen gegeben sind. Wir beweisen dies zunächst für Epidemien mit einer endlichen Anzahl von Typen von Individuen und verwenden solche, um den allgemeinen Fall zu approximieren. Im weiteren Verlauf untersuchen wir die Stetigkeit der Grenzwerte in den Parametern und ihr Verhalten für gegen unendlich konvergierende Zeitpunkte. Zur Illustration unserer Ergebnisse haben wir solche Epidemien auf dem zweidimensionalen Torus simuliert und mit den deterministischen Grenzwerten verglichen.

In der wissenschaftlichen Disziplin Physik ist die energiebasierte Modellierung von Systemen von Bedeutung. In diesem Zusammenhang erscheinen sogenannte Port-Hamiltonsche Systeme als ein valides Konzept. Wir werden uns mit zwei verschiedenen Betrachtungsweisen Port-Hamiltonscher Systeme und mit deren mathematischen Grundlagen tiefer beschäftigen. Diese werden das geometrische Port-Hamiltonsche System und das Port-Hamiltonsche System in Differentialgleichungsform sein. Ferner befassen wir uns mit der Systemmodellierung im Bereich Physik. Ausgehend von den beiden Betrachtungsweisen zeigen wir in dieser Arbeit die Äquivalenz dieser im Sinne des Behaviours. Dabei sind die erwähnten Klassen von Systemen dahingehend äquivalent, dass wir für das jeweils eine, ein System der anderen Klasse finden, sodass diese übereinstimmen.

Das Schätzen epidemiologischer Parameter ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Beurteilung der aktuellen Situation im Falle einer Epidemie. Ausgehend von der Intuition, dass sich der Wachstumsfaktor auch ohne Kenntnis des Infektiositätsprofils durch das lokale Anfitten einer Exponentialkurve an die Inzidenzen bestimmen ließe, beschäftigen wir uns mit der Reproduktionszahl und davon abgeleiteten Parametern in Hinblick auf Missspezifikationen des Infektiositätsprofils. Dabei betrachten wir jeweils den asymptotischen Bias und vergleichen für verschiedene Fälle vergangener Inzidenzen die Schätzer dahingehend. Anschließend verifizieren wir anhand von Simulationen die theoretischen Ergebnisse und bestätigen obige Intuition für in der Realität weitestgehend anzunehmende Fälle.

Deep Learning ist ein Teilgebiet des maschinellen Lernens und basiert auf dem Einsatz von neuronalen Netzen. Diese Netze müssen entsprechend ihrer Aufgabe trainiert, d.h. optimiert werden. Um dies zu bewerkstelligen muss ein unrestringiertes Optimierungsproblem gelöst werden. In dieser Arbeit werden zunächst Grundbegriffe des Deep Learning mathematisch definiert und das zugrundeliegende Optimierungsproblem anhand eines Beispiels motiviert. Anschließend werden weitere Aspekte der Optimierung von neuronalen Netzen erläutert und Lösungsansätze vorgestellt und kritisch diskutiert.

Das vor kurzem eingeführte Konzept der Generizität relativ zu einer Referenzmenge wird untersucht. Es wird gezeigt, dass relative generische Mengen viele Eigenschaften des von Wonham verwendeten klassischen Generizitätskonzepts aufweisen, nämlich dass sie unter Vereinigung, Schnittmenge und Obermengen geschlossen sind und ihr Komplement nirgends dicht ist. Unter Verwendung dieser Eigenschaften wird dann gezeigt, dass der Rang von Polynom-Blockmatrizen mit beschränktem Grad sowohl über dem Körper der rationalen Funktionen als auch auf der gesamten komplexen Ebene (wenn die Matrix nicht quadratisch ist) generisch voll ist, unter der Bedingung, dass der Rang eines Blocks von oben beschränkt ist. Diese Ergebnisse werden dann auf die algebraischen Charakterisierungen verschiedener Konzepte der Steuerbarkeit und Stabilisierbarkeit für lineare differential-algebraische Systeme der Form Ex' = Ax + Bu angewandt und notwendige und hinreichende Bedingungen für die Dimensionen von E, A und B abgeleitet, unter denen diese Systeme mit festem Rang von E steuerbar und stabilisierbar sind.