Bachelor and Master Theses at the Institute

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Created on: Thu, 08 Jun 2023 23:31:56 +0200 in 0.1732 sec


Bernstein, Tobias;
Ein starkes Gesetz der großen Zahlen für Epidemien auf inhomogenen Bevölkerungen. - Ilmenau. - 49 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2023

Wir formulieren und beweisen ein Gesetz der großen Zahlen für ein zeitdiskretes stochastisches SIR-Modell einer Epidemie, welches eine Erweiterung des entsprechenden Modells für homogene Bevölkerungen ist: Nach Ziehen einer potentiell inhomogenen Bevölkerung startet eine Epidemie, wobei die Infektions- und Genesungswahrscheinlichkeiten von dieser zufälligen Bevölkerung abhängen. Das zentrale Ergebnis der Arbeit besagt, dass zu jedem Zeitpunkt die empirischen Maße der aktuell Suszeptiblen, Infizierten und Genesenen punktweise in Wahrscheinlichkeit gegen deterministische Grenzwerte konvergieren, wobei diese Grenzwerte explizit durch Iterationsgleichungen gegeben sind. Wir beweisen dies zunächst für Epidemien mit einer endlichen Anzahl von Typen von Individuen und verwenden solche, um den allgemeinen Fall zu approximieren. Im weiteren Verlauf untersuchen wir die Stetigkeit der Grenzwerte in den Parametern und ihr Verhalten für gegen unendlich konvergierende Zeitpunkte. Zur Illustration unserer Ergebnisse haben wir solche Epidemien auf dem zweidimensionalen Torus simuliert und mit den deterministischen Grenzwerten verglichen.



Geordnete Halbgruppen in der amtlichen Statistik. - Ilmenau. - 47 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2023

Im Rahmen der amtlichen Statistik werden die erhobenen Daten in der Regel in Form von Summen, seien es Anzahlen oder Durchschnittswerte, verarbeitet und veröffentlicht. In dieser Arbeit leiten wir her, dass unter bestimmten Annahmen die Addition die, bis auf isotone Transformationen, einzige Form der Aggregation im Rahmen amtlicher Datenerhebungen ist. Dazu formalisieren wir die Datenzusammenfassung in der amtlichen Statistik und charakterisieren diese mithilfe geordneter Halbgruppen, um deren Ordnungsisomorphie zu den reellen Zahlen mit der Addition nachzuweisen.



Preuster, Till;
Über Dirac-Strukturen Port-Hamiltonscher Systeme. - Ilmenau. - 39 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2023

In der wissenschaftlichen Disziplin Physik ist die energiebasierte Modellierung von Systemen von Bedeutung. In diesem Zusammenhang erscheinen sogenannte Port-Hamiltonsche Systeme als ein valides Konzept. Wir werden uns mit zwei verschiedenen Betrachtungsweisen Port-Hamiltonscher Systeme und mit deren mathematischen Grundlagen tiefer beschäftigen. Diese werden das geometrische Port-Hamiltonsche System und das Port-Hamiltonsche System in Differentialgleichungsform sein. Ferner befassen wir uns mit der Systemmodellierung im Bereich Physik. Ausgehend von den beiden Betrachtungsweisen zeigen wir in dieser Arbeit die Äquivalenz dieser im Sinne des Behaviours. Dabei sind die erwähnten Klassen von Systemen dahingehend äquivalent, dass wir für das jeweils eine, ein System der anderen Klasse finden, sodass diese übereinstimmen.



Eingartner, Anna;
"Adjustable Robust Optimization" zur Einsatzplanung eines Energiesystems mit unsicherer regenerativer Stromerzeugung. - Ilmenau. - 51 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2022

Das Thema dieser Arbeit ist die Anwendung der justierbaren robusten Optimierung (engl. adjustable robust optimization) an dem Modell eines Energiesystems. In diesem Anwendungsbereich spielt der Umgang mit unsicheren Daten wie Energieerzeugung und -nachfrage eine große Rolle. Zu Beginn werden die Grundlagen der Optimierung unter unsicheren Parametern gelegt, wobei hier der Fokus auf der robusten und justierbaren robusten Optimierung liegt. Anschließend wird dargelegt, wie sich diese Methoden in verschiedenen Anwendungsfällen in der Energiewirtschaft einsetzen lassen und der aktuelle Forschungsstand dazu aufgeführt. Nun wird die justierbare robuste Optimierung an einem einfachen Anwendungsbeispiel ausgeführt und der deterministischen Planung gegenübergestellt. Es folgt die Modellierung eines Energiesystems, welches unter Eingabe von bekannten Parametern zunächst deterministisch gelöst wird. Schließlich werden eine deterministische sowie eine justierbare robuste Methode für dieses Modell implementiert und durch eine Simulation mit realisierten Daten miteinander verglichen. Mit der justierbaren robusten Optimierung soll eine weniger konservative Methode als die statische robuste Optimierung untersucht werden, da für letztere oftmals keine zulässigen Lösungen existieren.



Arndt, Cinja;
Robustheit von Schätzern epidemiologischer Parameter gegen Missspezifikationen im Infektiositätsprofil. - Ilmenau. - 41 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022

Das Schätzen epidemiologischer Parameter ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Beurteilung der aktuellen Situation im Falle einer Epidemie. Ausgehend von der Intuition, dass sich der Wachstumsfaktor auch ohne Kenntnis des Infektiositätsprofils durch das lokale Anfitten einer Exponentialkurve an die Inzidenzen bestimmen ließe, beschäftigen wir uns mit der Reproduktionszahl und davon abgeleiteten Parametern in Hinblick auf Missspezifikationen des Infektiositätsprofils. Dabei betrachten wir jeweils den asymptotischen Bias und vergleichen für verschiedene Fälle vergangener Inzidenzen die Schätzer dahingehend. Anschließend verifizieren wir anhand von Simulationen die theoretischen Ergebnisse und bestätigen obige Intuition für in der Realität weitestgehend anzunehmende Fälle.



Wuttke, Felix;
Einhüllungen zur Relaxierung von nichtkonvexen Funktionen. - Ilmenau. - 21 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022

Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit gemischt-ganzzahligen Optimierungsproblemen mit nichtkonvexen Funktion. Diese treten zum Beispiel in der Physik bei der Modellierung von Versorgungsnetzen wie Gasnetzwerken auf. Zum Bestimmen unterer Schranken werden lineare Probleme gelöst, die durch das Einhüllen der problematischen nichtkonvexen Funktionen als Relaxierungen dienen.



Schelinski, Jakob;
Modellierung von neuronalen Netzen und ihres Trainings als Optimierungsproblem. - Ilmenau. - 57 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022

Deep Learning ist ein Teilgebiet des maschinellen Lernens und basiert auf dem Einsatz von neuronalen Netzen. Diese Netze müssen entsprechend ihrer Aufgabe trainiert, d.h. optimiert werden. Um dies zu bewerkstelligen muss ein unrestringiertes Optimierungsproblem gelöst werden. In dieser Arbeit werden zunächst Grundbegriffe des Deep Learning mathematisch definiert und das zugrundeliegende Optimierungsproblem anhand eines Beispiels motiviert. Anschließend werden weitere Aspekte der Optimierung von neuronalen Netzen erläutert und Lösungsansätze vorgestellt und kritisch diskutiert.



Lorenz, Elisabeth;
Kompetitivitätsanalyse von Online-Algorithmen für das verallgemeinerte Paging-Problem. - Ilmenau. - 71 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Diplomarbeit 2022

Im Gebiet Online-Optimierung werden Probleme betrachtet, bei denen Anfragefolgen mit minimalem Kostenaufwand bearbeitet werden sollen. Eine Anfrage wird dabei erst gestellt, wenn die vorhergehende bereits fertig beantwortet worden ist. Für die Gruppe der Paging-Probleme gibt es einige Algorithmen, die mögliche Antwortvorschriften liefern. In dieser Arbeit wird eine Verallgemeinerung des Paging-Problems vorgestellt. Hier werden Mehrfachbelegungen auf einem Punkt und Mehrfachforderungen in einer Anfrage zugelassen; die Abstände zwischen je zwei Punkten sind jedoch immer gleich. Dann wird der optimale Paging-Algorithmus LFD für das verallgemeinerte Paging-Problem erweitert und seine Optimalität nachgewiesen. Die Algorithmen LRU und MARK, die ebenfalls eigentlich für das Paging-Problem verfasst wurden, werden für das verallgemeinerte Paging-Problem angepasst. Danach wird ihre Kompetitivität nachgewiesen, indem für beide ein Vergleich mit einem optimalen Offline-Algorithmus durchgeführt wird.



Kirchhoff, Jonas;
Relative genericity with applications to linear differential-algebraic systems. - Ilmenau. - 63 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2022

Das vor kurzem eingeführte Konzept der Generizität relativ zu einer Referenzmenge wird untersucht. Es wird gezeigt, dass relative generische Mengen viele Eigenschaften des von Wonham verwendeten klassischen Generizitätskonzepts aufweisen, nämlich dass sie unter Vereinigung, Schnittmenge und Obermengen geschlossen sind und ihr Komplement nirgends dicht ist. Unter Verwendung dieser Eigenschaften wird dann gezeigt, dass der Rang von Polynom-Blockmatrizen mit beschränktem Grad sowohl über dem Körper der rationalen Funktionen als auch auf der gesamten komplexen Ebene (wenn die Matrix nicht quadratisch ist) generisch voll ist, unter der Bedingung, dass der Rang eines Blocks von oben beschränkt ist. Diese Ergebnisse werden dann auf die algebraischen Charakterisierungen verschiedener Konzepte der Steuerbarkeit und Stabilisierbarkeit für lineare differential-algebraische Systeme der Form Ex' = Ax + Bu angewandt und notwendige und hinreichende Bedingungen für die Dimensionen von E, A und B abgeleitet, unter denen diese Systeme mit festem Rang von E steuerbar und stabilisierbar sind.



Boyé, Pascal;
Betrachtung der Gradientenbestimmung für den Adam Algorithmus. - Ilmenau. - 80 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022

In dieser Arbeit werden verschiedene Abstiegsverfahren dargestellt. Speziell wird auf das Gradientenverfahren eingegangen und am Beispiel von Empirical Risk Minimization eine Entwicklung bis hin zu adaptiven Verfahren wie dem Adam-Algorithmus beschrieben. Anschließend wird das CLUE-Verfahren erklärt, welches den Adam-Algorithmus zum Lösen einer gewichteten Summe verwendet. Das CLUE-Verfahren verwendet ein Bayesches neuronales Netz und einen Variational Autoencoder, um eine Zielfunktion zu definieren. Diese beiden neuronalen Netze werden beschrieben und es wird erklärt, wie solche trainiert werden können. Für die Zielfunktion wird der Einfluss von verschiedenen Batch-Größen untersucht. Außerdem wird eine modifizierte Abbruchbedingung betrachtet.