Studienabschlussarbeiten am Institut

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Erstellt: Fri, 15 Oct 2021 23:27:07 +0200 in 0.0854 sec


Friedrich, Timon;
Über drei Arbeiten aus der Spieltheorie. - Ilmenau. - 53 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2021

Das Ziel dieser Masterarbeit ist es, ausgewählte Arbeiten aus der Spieltheorie, neu darzustellen, weiter zu untersuchen und neue Erkenntnisse zu generieren. Dazu wird folgende Forschungsfrage gestellt: Welche neuen Aussagen können ergänzend zur vorgestellten Literatur bewiesen werden? Um die Frage zu beantworten, werden verschiedene wissenschaftliche Publikationen ausgewertet und ergänzendes Hintergrundwissen zusammengetragen. In Abschnitt 3 sehen wir, dass eine abzählbar unendliche Spielermenge nötig ist, damit ein sogenanntes Wasserfallspiel existiert. Dem Autor ist es gelungen zu beweisen, dass dies für eine beliebige abzählbar unendliche Menge erfüllt ist. Wenn wir beim Austausch der i-ten Aktion durch H bzw. S Gleichheit der Auszahlungsfunktion zulassen, dann können wir zeigen, dass dieses Spiel leicht für eine beliebige abzählbar unendliche Menge konstruierbar ist. Anhand des Untreue-Ehemänner-Problems untersuchen wir in Abschnitt 4 die Auswirkungen der Kommunikationsform. Hierbei stellen wir fest, dass untreue Ehemänner frühestens nach drei Nächten hingerichtet werden können, wenn sich die Frauen nicht über die Treue ihrer Männer unterhalten dürfen. Insgesamt erkennen wir, dass die Anzahl der untreuen Ehemänner für die Argumentation entscheidend ist. Aus diesem Kommunikationsdilemma lernen wir, dass die Wirkung einer Aussage maßgeblich von der Beschaffenheit des Informationskanals abhängt. Dabei nimmt der derzeitige Allgemeinwissensstand eine zentrale Rolle ein. Abschließend können wir mithilfe der evolutionären Spieltheorie feststellen, wie stabil Strategien sind. Dabei erkennen wir, dass das Nash-Gleichgewicht im Urlauberdilemma instabil ist, wenn es zulässig ist, dass sehr große Zahlen notiert werden. Daher ist es, entgegen der klassischen Spieltheorie, sinnvoll von Nash-Gleichgewichten abzuweichen.



Krämer, Alexander;
Berechnung von Greeks mittels Malliavin-Kalkül. - Ilmenau. - 73 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2021

Gegenstand dieser Arbeit ist es, gewisse Funktionale der Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen (kurz SDE) auf Differenzierbarkeit nach Parametern der SDE zu untersuchen und diese Ableitungen gegebenenfalls als Erwartungswert darzustellen, um eine möglichst einfache numerische Berechnung mittels MonteCarloSimulation zu ermöglichen. Im Zentrum der Betrachtung steht die finanzmathematische Anwendung und die Berechnung von Greeks. Ziel soll es sein, die theoretische Grundlage für einen numerischen Versuchslauf zu erarbeiten. Zu diesem Zweck werden zunächst die SDE aufgestellt und die wichtigsten allgemeinen Voraussetzungen aufgeführt. Anschließend wird der Malliavin-Kalkül eingeführt, der das zentrale Werkzeug in dieser Arbeit darstellt. Dessen zwei Operatoren, die Malliavin-Ableitung und der Divergenzoperator, werden definiert und auf einige wichtige grundlegende Eigenschaften untersucht. Außerdem wird die grundlegende Anwendung der Malliavin-Ableitung auf die Lösung der SDE behandelt. Anschließend wird die Darstellung von Greeks als Erwartungswerte mittels Malliavin-Kalkül untersucht. Es werden auch die Grenzen dieser Methode bei bestimmten Greeks aufgezeigt und ein paar Alternativen für das Erreichen des angestrebten Ziels dargestellt. Zum Abschluss wird kurz ein Blick auf die numerische Lösung von SDEs geworfen, um bei der Monte-Carlo-Simulation die auftretenden Zufallsgrößen genau genug simulieren zu können.



Degenhardt, Laura;
Entwurf eines Monte Carlo-Algorithmus zur numerischen Simulation von Gelationsphänomenen. - Ilmenau. - 86 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2021

In der vorliegenden Masterarbeit wird ein Monte Carlo-Algorithmus zur numerischen Simulation von Gelationsphänomenen entworfen und getestet. Gelation beschreibt den Vorgang, bei dem Partikel endlicher Masse in endlicher Zeit zu Partikeln unendlicher Masse heranwachsen. Die Basis dafür bilden Koagulationsprozesse, welche mittels der Smoluchowski -Gleichung abgebildet werden. Beim Entwurf eines entsprechenden Algorithmus liegt die Schwierigkeit in der numerischen Erfassung der Gelation. Diese erfordert das Konzept einer geeigneten Schwelle, welche in der Arbeit entsprechend hergeleitet und eigeführt wird. Weiterhin werden Maßnahmen zur effizienten Gestaltung des Algorithmus vorgestellt und auf die Aussagekraft und Grenzen des Algorithmus eingegangen. Der Basisalgorithmus zur Simulation von Gelationsphänomenen wurde mittels Operatorensplitting erweitert. In diesem Zusammenhang werden Koagulationsprozesse unter Berücksichtigung von räumlicher Diffusion und deren Auswirkung auf das Gelationsverhalten des betrachteten Systems untersucht.



Bernstein, Tobias;
Nichtasymptotische Multiskalenansätze zur Dichteschätzung. - Ilmenau. - 44 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021

In der vorliegenden Arbeit werden simultane Konfidenzbereiche für geglättete Wahrscheinlichkeitsdichten hergeleitet. Wir beschränken uns auf den Fall u.i.v. reellwertiger Beobachtungen, denen eine stetige Verteilung zugrunde liegt und die fast sicher Werte in einem kompakten Intervall annehmen. Zum Schätzen der geglätteten Dichte werden Kerndichteschätzer mit variabler positiver Bandbreite verwendet, wobei wir beliebige Lipschitz-stetige Kerne zulassen. Zunächst werden einige bekannte Eigenschaften des Kerndichteschätzers gezeigt. Danach ermitteln wir erst für feste Bandbreite und später simultan für alle Bandbreiten Konfidenzbereiche in der Supremumsnorm für die tatsächlichen geglätteten Dichten. Hierbei verwenden wir nichtasymptotische Methoden und erhalten konservative Konfidenzbereiche.



Trautmann, Luca;
Doob-Martin-Ränder kombinatorischer Familien. - Ilmenau. - 83 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2021

Der Zustandsraum von Markovketten lässt sich durch die Doob-Martin-Kompaktifizierung um den Martin-Rand erweitern, sodass diese fast sicher konvergieren. In dieser Arbeit werden die Doob-Martin-Kompaktifizierungen verschiedener kombinatorischer Markovketten und kombinatorischer Familien betrachtet. Hierbei wird nachgewiesen, dass der Martin-Rand kombinatorischer Familien bestehend aus Permutationen S* und schlichter Graphen G bezüglich einer Vielzahl kombinatorischer Markovketten der Menge der Permutons beziehungsweise Graphons entspricht. Allgemeiner werden für beliebige kombinatorische Familien mit geeignetem Einbettungsbegriff kombinatorische Markovketten konstruiert. Diese Markovketten sind eng mit den Einbettungsbegriffen verknüpft und die über sie definierten Doob-Martin-Kompaktifizierungen können als natürliche Kompaktifizierung der kombinatorischen Familie aufgefasst werden. Die Annahmen über die Einbettungsbegriffe der kombinatorischen Familien sind hierbei so schwach gewählt, dass neben den G und S* viele der bisher in der Literatur betrachteten kombinatorischen Familien als Spezialfälle dieses neuen generischen Ansatzes betrachtet werden können.



Richter, Philipp;
PAC-Lernbarkeit bei Klassifizierungsproblemen im Maschinellen Lernen. - Ilmenau. - 31 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021

In dieser Arbeit wird die PAC-Lernbarkeit von Klassifizierungsproblemen im Maschinellen Lernen untersucht. Zunächst werden die benötigten mathematischen Grundlagen beziehungsweise Begriffe definiert. Anschließend wird auf die Garantien der PAC-Lernbarkeit endlicher Hypothesenklassen eingegangen und der Begriff der uniformen Konvergenzeigenschaft eingeführt. Des Weiteren wird die PAC-Lernbarkeit anhand einer unendlichen Hypothesenklasse nachgewiesen und abschließend ein Ausblick auf das grundlegende Theorem der statistischen Lerntheorie gegeben.



Fredrich, Sina;
Simultane Konfidenzintervalle für die Multinomialverteilung. - Ilmenau. - 76 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2021

In dieser Arbeit werden simultane Konfidenzintervalle mithilfe der Bonferroni-Methode und der Scheffé-Methode für den Wahrscheinlichkeitenvektor einer Multinomialverteilung hergeleitet. Diese werden dann auf eigens erhobene Daten eines Galtonbrettes angewendet, um die Nutzbarkeit dieser Apparatur zu Lehrzwecken zu beurteilen. Dabei wird untersucht, welche der beiden Methoden für diese Anwendung zu kleineren Konfidenzintervallen führt. Es zeigt sich, dass die Bonferroni-Methode, die im Gegensatz zur Scheffé-Methode die linearen Abhängigkeiten in den Komponenten des Wahrscheinlichkeitenvektors ignoriert, die kleineren Intervalle erzeugt. Die Anwendung der simultanen Konfidenzintervalle an dem Galtonbrett führt zu der Erkenntnis, dass dieses für zwei der insgesamt drei Einstellungen seinen Lehrzweck erfüllt.



Kohl, Stefan;
Eine Verallgemeinerung der Markov-Chain-Monte-Carlo-Methode. - Ilmenau. - 45 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2020

Diese Arbeit beschäftigt sich damit, das Integral einer Funktion gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß zu approximieren, welches implizit als invariante Verteilung einer Markovkette gegeben ist. Dabei wird eine Verallgemeinerung des Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahrens eingeführt und die Konvergenz des dabei entstehenden Approximationsterms bewiesen. Dabei werden sowohl Markovketten in diskreter als auch in stetiger Zeit behandelt. Weiterhin wird die Übergangsmatrix in diskreter Zeit mit einer linearen Abbildung derart transformiert, dass Selbstübergänge ausgeschlossen werden. Analog dazu wird die Generatormatrix in stetiger Zeit derart transformiert, dass alle Übergänge mit Rate Eins erfolgen.



Staub, Tobias;
Stochastic differential equations via rough paths. - Ilmenau. - 99 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2020

In dieser Arbeit wird ein analytischer Ansatz vorgestellt, der es ermöglicht stochastische Differentialgleichungen pfadweise zu interpretieren. Wir verwenden hierfür Rough Path Integrationstheorie. Zunächst werden Rough Path Integrale eingeführt und einige Eigenschaften dieser sowie der zugehörigen Differential- bzw. Integralgleichungen gezeigt. Danach wird dies verwendet um Lösungstheorie für stochastische Differentialgleichungen zu erhalten.



Kirchhoff, Jonas;
Linear differential-algebraic systems are generically controllable. - Ilmenau. - 49 Seiten.
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2020

In der vorliegenden Arbeit werden die topologischen Eigenschaften der Menge der steuerbaren differentiell-algebraischen Systeme der Form $\tfrac{\text{d}}{\text{d}t}Ex = Ax+Bu$ mit reellen Matrizen $E,A\in\mathbb{R}^{\ell\times n}$ und $B\in\mathbb{R}^{\ell\times m}$ untersucht. Dabei betrachten wir die fünf Steuerbarkeitskonzepte freie Initialisierbarkeit (Steuerbarkeit im Unendlichen), Impulskontrollierbarkeit, Steuerbarkeit im Sinne des Verhaltens, vollständige Steuerbarkeit und starke Steuerbarkeit. Um die bereits bekannten algebraischen Charakterisierungen dieser Konzepte ausnutzen zu können, betrachten wir zunächst Blockmatrizen, deren Einträge reelle Polynome in einer Unbekannten sind. Wir finden notwendige und hinreichende Bedingungen, unter denen die Menge solcher Blockmatrizen, deren Rang im Körper der rationalen Funktionen oder sogar auf der gesamten komplexen Ebene voll ist, generisch ist. Unter Ausnutzung dieser Resultate können wir dann für jedes der fünf genannten Steuerbarkeitskonzepte jeweils notwendige und hinreichende Bedingungen an $\ell,n$ und $m$ finden, unter denen die Menge der steuerbaren Systeme generisch ist.