Über Dirac-Strukturen Port-Hamiltonscher Systeme. - Ilmenau. - 39 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022
In der wissenschaftlichen Disziplin Physik ist die energiebasierte Modellierung von Systemen von Bedeutung. In diesem Zusammenhang erscheinen sogenannte Port-Hamiltonsche Systeme als ein valides Konzept. Wir werden uns mit zwei verschiedenen Betrachtungsweisen Port-Hamiltonscher Systeme und mit deren mathematischen Grundlagen tiefer beschäftigen. Diese werden das geometrische Port-Hamiltonsche System und das Port-Hamiltonsche System in Differentialgleichungsform sein. Ferner befassen wir uns mit der Systemmodellierung im Bereich Physik. Ausgehend von den beiden Betrachtungsweisen zeigen wir in dieser Arbeit die Äquivalenz dieser im Sinne des Behaviours. Dabei sind die erwähnten Klassen von Systemen dahingehend äquivalent, dass wir für das jeweils eine, ein System der anderen Klasse finden, sodass diese übereinstimmen.
"Adjustable Robust Optimization" zur Einsatzplanung eines Energiesystems mit unsicherer regenerativer Stromerzeugung. - Ilmenau. - 51 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2022
Das Thema dieser Arbeit ist die Anwendung der justierbaren robusten Optimierung (engl. adjustable robust optimization) an dem Modell eines Energiesystems. In diesem Anwendungsbereich spielt der Umgang mit unsicheren Daten wie Energieerzeugung und -nachfrage eine große Rolle. Zu Beginn werden die Grundlagen der Optimierung unter unsicheren Parametern gelegt, wobei hier der Fokus auf der robusten und justierbaren robusten Optimierung liegt. Anschließend wird dargelegt, wie sich diese Methoden in verschiedenen Anwendungsfällen in der Energiewirtschaft einsetzen lassen und der aktuelle Forschungsstand dazu aufgeführt. Nun wird die justierbare robuste Optimierung an einem einfachen Anwendungsbeispiel ausgeführt und der deterministischen Planung gegenübergestellt. Es folgt die Modellierung eines Energiesystems, welches unter Eingabe von bekannten Parametern zunächst deterministisch gelöst wird. Schließlich werden eine deterministische sowie eine justierbare robuste Methode für dieses Modell implementiert und durch eine Simulation mit realisierten Daten miteinander verglichen. Mit der justierbaren robusten Optimierung soll eine weniger konservative Methode als die statische robuste Optimierung untersucht werden, da für letztere oftmals keine zulässigen Lösungen existieren.
Robustheit von Schätzern epidemiologischer Parameter gegen Missspezifikationen im Infektiositätsprofil. - Ilmenau. - 41 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022
Das Schätzen epidemiologischer Parameter ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Beurteilung der aktuellen Situation im Falle einer Epidemie. Ausgehend von der Intuition, dass sich der Wachstumsfaktor auch ohne Kenntnis des Infektiositätsprofils durch das lokale Anfitten einer Exponentialkurve an die Inzidenzen bestimmen ließe, beschäftigen wir uns mit der Reproduktionszahl und davon abgeleiteten Parametern in Hinblick auf Missspezifikationen des Infektiositätsprofils. Dabei betrachten wir jeweils den asymptotischen Bias und vergleichen für verschiedene Fälle vergangener Inzidenzen die Schätzer dahingehend. Anschließend verifizieren wir anhand von Simulationen die theoretischen Ergebnisse und bestätigen obige Intuition für in der Realität weitestgehend anzunehmende Fälle.
Einhüllungen zur Relaxierung von nichtkonvexen Funktionen. - Ilmenau. - 21 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022
Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit gemischt-ganzzahligen Optimierungsproblemen mit nichtkonvexen Funktion. Diese treten zum Beispiel in der Physik bei der Modellierung von Versorgungsnetzen wie Gasnetzwerken auf. Zum Bestimmen unterer Schranken werden lineare Probleme gelöst, die durch das Einhüllen der problematischen nichtkonvexen Funktionen als Relaxierungen dienen.
Modellierung von neuronalen Netzen und ihres Trainings als Optimierungsproblem. - Ilmenau. - 57 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022
Deep Learning ist ein Teilgebiet des maschinellen Lernens und basiert auf dem Einsatz von neuronalen Netzen. Diese Netze müssen entsprechend ihrer Aufgabe trainiert, d.h. optimiert werden. Um dies zu bewerkstelligen muss ein unrestringiertes Optimierungsproblem gelöst werden. In dieser Arbeit werden zunächst Grundbegriffe des Deep Learning mathematisch definiert und das zugrundeliegende Optimierungsproblem anhand eines Beispiels motiviert. Anschließend werden weitere Aspekte der Optimierung von neuronalen Netzen erläutert und Lösungsansätze vorgestellt und kritisch diskutiert.
Kompetitivitätsanalyse von Online-Algorithmen für das verallgemeinerte Paging-Problem. - Ilmenau. - 71 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Diplomarbeit 2022
Im Gebiet Online-Optimierung werden Probleme betrachtet, bei denen Anfragefolgen mit minimalem Kostenaufwand bearbeitet werden sollen. Eine Anfrage wird dabei erst gestellt, wenn die vorhergehende bereits fertig beantwortet worden ist. Für die Gruppe der Paging-Probleme gibt es einige Algorithmen, die mögliche Antwortvorschriften liefern. In dieser Arbeit wird eine Verallgemeinerung des Paging-Problems vorgestellt. Hier werden Mehrfachbelegungen auf einem Punkt und Mehrfachforderungen in einer Anfrage zugelassen; die Abstände zwischen je zwei Punkten sind jedoch immer gleich. Dann wird der optimale Paging-Algorithmus LFD für das verallgemeinerte Paging-Problem erweitert und seine Optimalität nachgewiesen. Die Algorithmen LRU und MARK, die ebenfalls eigentlich für das Paging-Problem verfasst wurden, werden für das verallgemeinerte Paging-Problem angepasst. Danach wird ihre Kompetitivität nachgewiesen, indem für beide ein Vergleich mit einem optimalen Offline-Algorithmus durchgeführt wird.
Relative genericity with applications to linear differential-algebraic systems. - Ilmenau. - 63 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2022
Das vor kurzem eingeführte Konzept der Generizität relativ zu einer Referenzmenge wird untersucht. Es wird gezeigt, dass relative generische Mengen viele Eigenschaften des von Wonham verwendeten klassischen Generizitätskonzepts aufweisen, nämlich dass sie unter Vereinigung, Schnittmenge und Obermengen geschlossen sind und ihr Komplement nirgends dicht ist. Unter Verwendung dieser Eigenschaften wird dann gezeigt, dass der Rang von Polynom-Blockmatrizen mit beschränktem Grad sowohl über dem Körper der rationalen Funktionen als auch auf der gesamten komplexen Ebene (wenn die Matrix nicht quadratisch ist) generisch voll ist, unter der Bedingung, dass der Rang eines Blocks von oben beschränkt ist. Diese Ergebnisse werden dann auf die algebraischen Charakterisierungen verschiedener Konzepte der Steuerbarkeit und Stabilisierbarkeit für lineare differential-algebraische Systeme der Form Ex' = Ax + Bu angewandt und notwendige und hinreichende Bedingungen für die Dimensionen von E, A und B abgeleitet, unter denen diese Systeme mit festem Rang von E steuerbar und stabilisierbar sind.
Betrachtung der Gradientenbestimmung für den Adam Algorithmus. - Ilmenau. - 80 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022
In dieser Arbeit werden verschiedene Abstiegsverfahren dargestellt. Speziell wird auf das Gradientenverfahren eingegangen und am Beispiel von Empirical Risk Minimization eine Entwicklung bis hin zu adaptiven Verfahren wie dem Adam-Algorithmus beschrieben. Anschließend wird das CLUE-Verfahren erklärt, welches den Adam-Algorithmus zum Lösen einer gewichteten Summe verwendet. Das CLUE-Verfahren verwendet ein Bayesches neuronales Netz und einen Variational Autoencoder, um eine Zielfunktion zu definieren. Diese beiden neuronalen Netze werden beschrieben und es wird erklärt, wie solche trainiert werden können. Für die Zielfunktion wird der Einfluss von verschiedenen Batch-Größen untersucht. Außerdem wird eine modifizierte Abbruchbedingung betrachtet.
Minimalgradzerlegungen von Kreispotenzen. - Ilmenau. - 35 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2022
Das Ziel dieser Arbeit ist es, herauszufinden für welche s und t es unendlich viele (s+t)-zusammenhängende Graphen gibt, die keine (s,t)-Zerlegung besitzen. Zu diesem Zweck wurden Potenzen von Kreisen auf Existenz solcher Zerlegungen untersucht. Dabei ist eine Zerlegung hier ein Tupel induzierter, disjunkter Teilgraphen, sodass jede Ecke des Graphen in einem der beiden Teile enthalten ist und eine (s,t)-Zerlegung eine solche Zerlegung, sodass der eine Teil Minimalgrad s und der andere Minimalgrad t hat. Dabei wurden die Fälle s = t, s = 1, s = 2 sowie s = 3 vollständig analysiert. Für allgemeine s und t konnten hinreichende Kriterien für die Existenz von (s,t)-Zerlegungen von Kreispotenzen hergeleitet werden, welche nicht immer erfüllt seien können. Dadurch wurden unendlich viele (s+t)-zusammenhängende Graphen ohne eine (s,t)-Zerlegung gefunden. Zusätzlich wurden auch notwendige Kriterien gefunden.
Diskrete Geschwindigkeitsmodelle und ihr Bezug zu den Navier-Stokes-Gleichungen. - Ilmenau. - 105 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2022
Das Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung von Parametern der Strömungstheorie, dem Viskositäts- und Wärmeleitkoeffizienten sowie der Prandtl-Zahl, aus der Lösung der räumlich homogenen Boltzmann-Gleichung mit Korrekturterm. Um dies zu erreichen, beschäftigen wir uns zuerst mit der Boltzmann-Gleichung, einer mesoskopischen Gleichung der Gastheorie für verdünnte Gase. Diese wird auf einem diskreten Geschwindigkeitsmodell betrachtet, um die Lösung numerisch berechnen zu können. In diesem Zusammenhang interessieren wir uns auch für die Möglichkeit der Beeinflussung der Prandtl-Zahl durch die Wahl der Stoßgewichte des Stoßoperators der Boltzmann-Gleichung. Dafür wird zuerst die Theorie erarbeitet, die der Arbeit mit der Boltzmann-Gleichung zugrunde liegt und ein diskretes Geschwindigkeitsmodell definiert. Dazu gehört die Arbeit mit elastischen Stößen und dem allgemeinen und linearisierten Stoßoperator. Die Anfangsbedingung und gewisse Korrekturterme werden anschließend bestimmt, um die homogene Boltzmann-Gleichung aufstellen zu können. Dann werden wir uns mit dem Begriff des Orbits auseinandersetzen, der die Arbeit mit dem komplexen Geschwindigkeitsmodell etwas vereinfacht. Wir können anschließend feststellen, dass die Gewichte in den Stoßoperatoren die Lösung der Boltzmann-Gleichung tatsächlich beeinflussen können. Es werden gewisse Kriterien erstellt, nach denen die Gewichte, zusammengefasst in Gewichtsvektoren, aufgestellt werden können. Mit diesen Gewichtsvektoren kann nun die Boltzmann-Gleichung gelöst werden und diese Lösungen können zusammen mit den Prandtl-Zahlen für jedes der verwendeten Gewichte ausgewertet werden. Dies wird für zwei unterschiedliche Gittermodelle ausgetestet und die Ergebnisse werden dokumentiert. Schließlich wird die Herleitung der Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen aus der Boltzmann-Gleichung erarbeitet und das Vorgehen skizziert. Somit wird auch die Entstehung der Prandtl-Zahl, die eine Kennzahl der Navier-Stokes-Gleichungen ist, sowie ihre Verbindung zu der Boltzmann-Gleichung, erklärt.