Mathematische Beschreibung der Ausbreitung seismischer Wellen im Mehrschichtmodell. - Ilmenau. - 25 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2019
In dieser Arbeit wird die seismische Wellengleichung, angefangen bei der Herleitung bis hin zur Anwendung in der Seismik, untersucht. Zunächst werden die benötigten mathematischen Grundlagen wie Dierentialoperatoren und Tensoren betrachtet. Anschließend wird die Bewegungsgleichung, eine partielle Dierentialgleichung, für die seismischen Wellen sowie deren Lösung hergeleitet. Des Weiteren wird das Verhalten einer Welle bezüglich Reexion und Transmission an einem 3-Schichten-Modell betrachtet. Abschließend werden Berechnungen zur Laufzeit und Reichweite einer Welle sowie deren Anwendung bei der Untersuchung von Erdschichten gemacht.
Optimierung mit neuronalen Netzen. - Ilmenau. - 51 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2019
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Lösung eines linearen Optimierungsproblems mit Hilfe eines neuronalen Netzes. Das Optimierungsproblem wird aufgestellt und Vereinfachungen vorgenommen, um zu einem linearen Optimierungsproblem zu gelangen. Zu diesem Optimierungsproblem dann mit Hilfe einer diskreten Methode eine optimale Lösung berechnet wird. Für den Lösungsansatz mit einem neuronalen Netz wird das mathematische Grundgerüst aufgebaut, für das gezeigt wird, dass es unter gewissen Bedingungen zur Lösung führt. Begletend dazu wird ein einfaches Beispielproblem mit zwei Variablen eingeführt und schrittweise bearbeitet. Dieser theoretischen Ausführung folgt die tatsächliche Implementierung eines Algorithmus, der die Lösung approximiert. Die optimale Lösung und das Ergebnis des Algorithmus werden gegenübergestellt und da Ergebnis untersucht anhand des Beispielproblems.
Eine Delta-Methode für den Wasserstein-Abstand. - Ilmenau. - 44 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2019
Die Steinsche Methode dient der Herleitung von Grenzwertsätzen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie erlaubt es, dabei auch Konvergenzgeschwindigkeiten zu bestimmen, da sie den Abstand der Verteilung der betrachteten Zufallsvariable zur asymptotischen Verteilung abschätzt. Diese Arbeit beschäftigt sich hauptsächlich mit der Steinschen Methode ohne Reskalierung, wobei die zugehörigen Approximationsfehler quantifiziert. Dies wird anschließend für die Delta-Methode verwendet, welche eine große Rolle in der asymptotischen Statistik spielt.
Ein verallgemeinerter Kalman-Filter für den homogenen Raum der Tensorzerlegungen . - Ilmenau. - 64 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2019
In dieser Arbeit formulieren wir, motiviert durch das Problem der Vorhersage des Ausbreitungskanals in einem MIMO Übertragungssystem, verallgemeinerte Zustandsraummodelle und Kalman-Filter auf Mannigfaltigkeiten. Die Ausbreitungskanäle lassen sich durch komplexe 3-Weg Tensoren niedrigen Ranges beschreiben. Zur Reduktion der zu schätzenden Parameter dienen Tensorzerlegungen. Zunächst weisen wir nach, dass die Menge dieser Tensorzerlegungen einen homogenen Raum bildet. Im Anschluss formulieren wir Zustandsraummodelle, wobei der Zustandsraum durch den homogenen Raum der Tensorzerlegungen und der Beobachtungsraum, durch den Raum der komplexen 3-Weg Tensoren gegeben ist. Das Vorhersageproblem lösen wir mit Hilfe eines verallgemeinerten Kalman-Filters. Abschließend testen wir durch Simulation eines einfachen Zustandsraummodells, wie gut das gewonnene Verfahren zur Rekonstruktion dient.
Adaptive identification of linear systems. - Ilmenau. - 65 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2019
In vielen Anwendungen, wie der Regelung von Robotern, dem autonomen Fahren oder der adaptiven Signalverarbeitung, ist es nicht möglich oder zu teuer unbekannte Parameter mit einem Sensor zu messen. Diese Masterarbeit untersucht die adaptive Schätzung dieser Parameter unter Verwendung der bekannten Ein- und Ausgänge eines Systems, in dem diese Parameter vorkommen. Dabei beschränken wir uns auf die Betrachtung linearer Modelle. Die Standardliteratur zu diesem Thema wechselt zwischen der Darstellung im Zeit- und Frequenzbereich. Das Ziel dieser Arbeit ist es eine im Zeitbereich geschlossene Darstellung der dort betrachteten Resultate und Beweise zu liefern. Die Arbeit besteht aus vier Teilen. Im ersten Teil wird eine Einführung in die Thematik gegeben und ein erstes Schätzgesetz hergeleitet. Der zweite Teil besteht aus Grundlagen. Die Beobachtbarkeit von zeitvarianten Systemen wird definiert und entsprechende Lemmata abgeleitet. Anschließend wird aus der Beobachtbarkeit eine Anforderung an Eingangssignale gefolgert, die sogenannte persistente Anregung. Eigenschaften dieser Funktionen werden untersucht und es wird überprüft ob der Ausgang eines stabilen linearen Systemes von persistenter Anregung ist, wenn der Eingang von persistenter Anregung ist. Der dritte Teil befasst sich mit Konvergenzbeweisen für Schätzgesetze. Dabei wird das Schätzgesetz aus der Einleitung wieder aufgegriffen. Unter der Annahme, dass der Eingang von persistenter Anregung ist, kann die Konvergenz der Parameter bewiesen werden. Des Weiteren wird, unter Verwendung von Ideen aus der Theorie des Funnel Control, ein neues Schätzgesetz hergeleitet. Der vierte Teil widmet sich der Simulation eines Beispieles.
Paths in a ball. - Ilmenau. - 40 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2019
Die vorliegende Abschlussarbeit befasst sich mit einem Problem, welches durch einen Vortrag von P. Braun über die wissenschaftliche Arbeit "Unsafe Point Avoidance in Linear State Feedback". Um die Nichtexistenz einer stetigen Zustandsrückführung als Lösung eines linearen, zeitinvarianten, stabilisierbaren Systems mit der Eigenschaft, dass eine vorgegebene Menge von nicht sicheren Punkten durch die Lösungen des Systems vermieden wird, zu erklären, wurde im genannten Vortrag die folgende Behauptung aufgestellt. Betrachten wir eine Familie von Wegen im Einheitsball, welche stetig von ihrem Anfangspunkt auf der Einheitssphäre abhängen und in den Ursprung laufen, so gibt es für jeden Punkt des Einheitsballs einen Weg, der diesen Punkt in seinem Bild enthält. Diese Fragestellung, formuliert für den endlich-dimensionalen euklidischen Raum, wird in vorliegender Abschlussarbeit untersucht. Zunächst wird eine Funktion F konstruiert, welche ermöglicht, alle diese Wege zugleich zu betrachten. Unter der zusätzlichen Voraussetzung der Injektivität von F, stellt das Bild von F für einen festgehaltenen Zeitparameter topologische Sphären da. Basierend auf dem Jordan-Brouwer Separationssatz und der Gebietsinvarianz von Brouwer wird für diese Voraussetzungen ein Beweis der Surjektivität von F geführt. Allerdings konnte die zugrundeliegende Fragestellung in vorliegender Arbeit nicht beantwortet werden. Ein weiteres Hauptresultat dieser Arbeit stellt eine äquivalente Beziehung zwischen der Sujektivität von F und der Separationseigenschaft dar. Abschließend wird gezeigt, dass die Homöomorphie-Eigenschaft der Innen- und Außengebiete der durch F erhaltenen topologischen Sphären in diesem Spezialfall erhalten bleibt, während der Satz von Jordan-Schoenflies nicht auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden kann, wie beispielsweise Alexander mittels der Konstruktion der Alexanderschen gehörnten Sphären bewies.
Modeling and simulation of pulsed laser beam welding for aluminum alloys. - Ilmenau. - 90 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018
Diese Masterarbeit stellt den Vorgang des gepulsten Laserschweißens an einem Schweißpunkt mittels analytischen Beschreibungen und numerischen Simulationen vor. Hierbei werden Aluminiumlegierungen als das zu bearbeitende Material betrachtet, da diese für das Ausbilden von Heißrissen entlang der Schweißnaht bekannt sind. Heißrisse treten im Inneren und an der Oberfläche des bearbeiteten Materials auf Grund von rascher thermischer Kontraktion während des Ausschaltvorganges des Lasers auf. Im Gegensatz zu anderen Ansätzen, die beispielsweise auf die Verwendung von zusätzlichen Lasern setzen um einen geeigneten Abkühlprozess zu erhalten (siehe [11]), wird bei der hier vorgestellten Lösung nur ein Laser verwendet, der über dessen Leistung gesteuert wird. Dabei sollen Heißrisse mit flachen Rampen des Laserpulses beim Ausschaltvorgang verhindert werden. Hierfür wird ein mathematisch-physikalisches Modell für das betrachtete Problem des gepulsten Laserschweißens vorgestellt, welches eine semilineare Wärmeleitungsgleichung und eine Randsteuerung enthält. Darüber hinaus werden Methoden zur numerischen Berechnung der Wärmeentwicklung diskutiert und abschließend die Resultate der Simulationen für diverse Modi des Abschaltvorganges präsentiert.
Leichteste Wege in Graphen. - Ilmenau. - 33 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018
Das Gewicht eines Weges in einem Graphen ist durch die Summe der Valenzen der Knoten des Weges gegeben. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage nach Abschätzungen für das Gewicht von sogenannten leichtesten Wegen mit einer bestimmten Anzahl von Knoten. Grundlage für die Arbeit bildet ein Resultat von B. Mohar. Davon ausgehend werden Schranken für das Gewicht in hamiltonschen und nichthamiltonschen Graphen gefunden. Im Besonderen werden 'leicht' berechenbare Schranken für das im Allgemeinen NP-schwere Problem, einen leichtesten Weg zu finden, angegeben.
Steuerbarkeitsbegriffe und Motion Primitives anhand ausgewählter Beispiele. - Ilmenau. - 109 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018
In dieser Masterarbeit werden wir uns mit Kontrollsystemen, lokaler Steuerbarkeit und dem Konzept des Manöver-Automaten befassen. Wir werden uns zunächst kontrollaffine Systeme und die lokale Steuerbarkeit für kurze Zeit anschauen. Wir werden verschiedene Sätze kennenlernen, um festzustellen, ob diese Kontrollsysteme in kurzer Zeit lokal steuerbar sind. Während wir dies tun, werden wir auch das Modell des starren Körpers betrachten und die Sätze verwenden, um dieses Beispielsystem für verschiedene Dimensionen der Steuerung auf lokale Steuerbarkeit zu untersuchen. Außerdem werden wir Sätze über die Existenz von lokal asymptotisch stabilisierenden Feedbacks kennenlernen und diese Sätze auf das Modell des starren Körpers anwenden. Im zweiten Teil dieser Masterarbeit werden wir uns auf Bewegungsabläufe konzentrieren. Speziell werden wir uns auf getrimmte Abläufe und Manöver konzentrieren. Während wir die verschiedenen Definitionen und Sätze in diesem Abschnitt kennenlernen, werden wir diese auch auf ein Beispielsystem anwenden, den nicht-holonomen Roboter. Nachdem wir getrimmte Abläufe und Manöver für dieses System gefunden haben, werden wir die Bewegungsabläufe verwenden, um den Manöver-Automaten zu definieren. Mit diesem Manöver-Automaten werden wir einen Weg für den nicht-holonomen Roboter berechnen. Darüber hinaus lernen wir Sätze über die Steuerbarkeit des Manöver-Automaten kennen und wie man ein Optimalsteuerungsproblem damit löst. Dabei betrachten wir ein Programm zur Lösung eines solchen Optimalsteuerungsproblems für den nicht holonomen Roboter. Am Ende betrachten wir ein komplizierteres Beispielsystem, den erweiterten nicht-holonomen Roboter, und stellen Unterschiede zu den Bewegungsabläufen des nicht-holonomen Roboters fest.
Ein zentraler Grenzwertsatz für unvollständige U-Statistiken. - Ilmenau. - 49 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018
In dieser Arbeit wird ein hinreichendes Kriterium dafür entwickelt, dass eine unvollständige U-Statistik asymptotisch normalverteilt ist. Genauer wird der Wasserstein-Abstand zur Normalverteilung mittels Steins Methode abgeschätzt. Der Beweis basiert auf einer Variation des Beweises für den gewöhnlichen Zentralen Grenzwertsatz. Schließlich wird der gezeigte Satz auf U-Statistiken und Erd˝os-Rényi-Zufallsgraphen angewendet.