k-kritische Hypergraphen deren Ordnung höchstens 2k-2 ist. - 34 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2014
Ein Hypergraph heißt k-kritisch, wenn seine chromatische Zahl den Wert k hat, jedoch jeder echte Unterhypergraph mit weniger als k Farben färbbar ist. 1963 bewies T. Gallai, dass jeder k-kritische Graph mit einer Ordnung größer als 2k-2 zerlegbar ist, d.h. sein Komplement ist unzusammenhängend. In dieser Arbeit wird ein analoges Resultat für Hypergraphen bewiesen, sowie einige Klassen k-kritischer Hypergraphen untersucht. Desweiteren enthält die Arbeit eine vollständige Liste (mit Beweis) aller 3-kritischen Hypergraphen der Ordnung 5.
Zur Stabilisierbarkeit von linearen zeitvarianten diskreten Systemen. - 40 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2014
In dieser Masterarbeit wird das Problem der Stabilisierbarkeit durch lineares Feedback für lineare zeitvariante diskrete Systeme mit beschränkten Systemmatrizen untersucht. Es wird unter anderem gezeigt, dass vollständige Steuerbarkeit nach Null die Existenz eines linearen Feedbacks impliziert, so dass das geschlossene System asymptotisch stabil ist. Des Weiteren wird bewiesen, dass dem System durch geeignetes Feedback ein beliebiger Lyapunov-Exponent zugewiesen werden kann, wenn das System vollständig steuerbar nach Null ist. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Die Resultate wurden mit der Hilfe von zwei endlichen Kosten-Bedingungen gezeigt. Der Unterschied, ob das System asymptotisch oder gleichmäßig exponentiell stabilisierbar ist, liegt in der Frage, ob die endliche Kostenbedingung gleichmäßig in der Anfangszeit erfüllt ist oder nicht.
Untersuchung von Quantengraphen mittels direkter Summen von Randtripeln. - 73 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Masterarbeit, 2014
In der vorliegenden Arbeit werden Quantengraphen untersucht. Quantengraphen bestehen aus einer endlichen oder abzählbar unendlichen Eckenmenge, einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge von Kanten, welche die Ecken miteinander verbinden, einer Kantenlängenfunktion und Differentialausdrücken auf jeder Kante zusammen mit Vernüpfungs- und Randbedingungen an den Ecken. Zur Modellierung der Operatoren auf dem Graphen verwenden wir die direkte Summe von Hilberträumen und linearen Relationen sowie das aus der Erweiterungstheorie symmetrischer linearer Relationen bekannte Konzept der Randtripel. Genauer werden Kirchhoff-Erweiterungen und Punktinteraktionen untersucht. Zur Beschreibung dieser Erweiterungen benutzen wir Regularisierungstechniken für Randtripel in Verbindung mit Zwischenerweiterungen. Von besonderem Interesse ist hier der Fall, dass die Kantenlängen beliebig klein werden dürfen. In diesem Fall übertragen sich gewisse Eigenschaften von diskreten Laplace-Operatoren auf die von uns betrachteten Erweiterungen. Hiermit wird die Selbstadjungiertheit, die Halbbeschränktheit und das Spektrum von Punktinteraktionen auf Quantengraphen beschrieben.
Zur Struktur kritischer Graphen. - 34 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2014
In dieser Arbeit wird eine Klasse von Graphen, nämlich die Klasse Cri*(k) charakterisiert. Sie umfasst alle k-kritischen Graphen, deren Nebenpunktegraph zusammenhängend ist und deren Hauptpunktegraph eine Färbung mit k-2 Farben besitzt. Weil die Charakterisierung bereits durch Sachs und Stiebitz erfolgt ist, wurden in dieser Arbeit neue und einfachere Beweise für die Charakterisierungssätze gefunden. Dazu wurde auf das Listenfärbungskonzept zurückgegriffen, welches eine Verallgemeinerung des Färbungskonzeptes darstellt, indem jeder Ecke v eine Farbe aus der zugehörigen Farbliste L(v) zugeordnet wird.
Ein nichtlinearer Regler mit Zeitverzögerung. - 24 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2014
Mingxuan Sun stellte in seinem Manuskript "Convergence of incremental adaptive systems" ein Konzept für einen nichtlinearen Regler mit Zeitverzögerung vor. Diese Bachelorarbeit greift den grundlegenden Entwurf auf und gibt einen überarbeiteten Vorschlag wieder, der vorhandene mathematische Ungenauigkeiten im basierenden Manuskript auflöst. Als Erweiterung der Ideen wird abschließend der Aufbau des Reglers mit dem Konzept der Funnel-Regelung verbunden.
Nicht-asymptotische Konfidenzbereiche für extrinsische Erwartungswerte zirkulärer Daten. - 60 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2014
In dieser Arbeit werden nicht-asymptotische Konfidenzbereiche für den extrinsischen Erwartungswert von Zufallsvariablen mit Werten auf dem Einheitskreis konstruiert. Dabei wird neben der Hoeffdingschen Ungleichung, der Tschebyscheffschen Ungleichung und Hoeffdings Theorem˜3, eine verschärfte Version der Hoeffdingschen Ungleichung für die Konstruktion verwendet. Letztere wird dazu hergeleitet und bewiesen. Die Konfidenzbereiche werden dann für zwei Anwendungsbeispiele mit unterschiedlich stark konzentrierten Daten konstruiert und sowohl untereinander als auch mit asymptotischen Konfidenzbereichen verglichen.
Über Geschlecht und längste Kreise von 3-fach zusammenhängenden, kubischen, bipartiten, nicht-hamiltonschen Graphen. - 35 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2014
Über Geschlecht und längste Kreise von 3-fach zusammenhängenden, kubischen, bipartiten, nicht-hamiltonschen Graphen.
LCPs und Kopositivität. - 44 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2014
Diese Bachelorarbeit befasst sich mit dem Zusammenhang zwischen der Lösbarkeit eines linearen Komplementaritätsproblems (LCP) und den Eigenschaften der Matrix, die dieses LCP definiert. Insbesondere die Bedeutung der Kopositivität der Matrix wird hierbei untersucht. Dabei wird auch der Zusammenhang zwischen LCPs und quadratischen Optimierungsproblemen dargestellt. Außerdem wird ein numerisches Verfahren zur Lösung von LCPs, der Lemke Algorithmus, vorgestellt. Es wird diskutiert, welche Bedingungen an die Matrix des LCPs garantieren, dass der Lemke Algorithmus eine Lösung findet. Auch hier wird wieder speziell auf die Bedeutung der Kopositivität der Matrix eingegangen. Abschließend werden die Ergebnisse genutzt, um eine Matrix mit Hilfe des Lemke Algorithmus auf Kopositivität zu untersuchen. Es werden numerische Experimente durchgeführt und auftretende Probleme aufgezeigt.
Edge-connectivity and Steiner tree packings in graphs. - 85 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2014
Der zentrale Gegenstand dieser Masterarbeit ist Kriesells Vermutung. Es sei G ein Graph und A eine Menge von Ecken, den sogenannten Terminalen. Ein A-Steinerbaum ist ein Teilgraph von G, welcher ein Baum ist und alle Terminale enthält. Das Packen von Steinerbäumen in Graphen ist ein kompliziertes Problem mit vielen Anwendungen, zum Beispiel im VLSI-Design und Broadcasting. Aus theoretischer Sicht ist es von Interesse, hinreichende Bedingungen für die Existenz einer bestimmten Anzahl kantendisjunkter Steinerbäume zu kennen. Kriesell vermutete, wenn jeder Schnitt in G, der zwei Ecken aus A trennt, mindestens 2k Kanten enthält, dann existieren k kantendisjunkte A-Steinerbäume. Im Blickpunkt dieser Arbeit steht der aktuellste Forschungsbeitrag zu dieser noch offenen Vermutung. Außerdem wird ein neues Resultat über den Fall weniger Nichtterminale bewiesen. Insbesondere ist Kriesells Vermutung wahr, wenn es höchstens fünf Nichtterminale gibt.
Chromatische Zahl, Ordnung und Maximalgrad von Graphen. - 73 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2014
Die Arbeit beschäftigt sich einerseits mit Graphen, deren chromatische Zahl nahe ihrer Ordnung liegt und zum anderen mit solchen, deren chromatische Zahl nahe ihres Maximalgrades liegt.