Zur Selbstadjungiertheit regulärer Sturm-Liouville-Differentialoperatoren. - 45 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012
In vielen Bereichen der mathematischen Physik treten Sturm-Liouville-Differentialausdrücke im Zusammenhang mit Eigenwertproblemen auf. In dieser Arbeit werden daher, neben der Lösungstheorie solcher Differentialgleichungen, selbstadjungierte Realisierungen von Sturm-Liouville-Differentialausdrücken in geeigneten Hilberträumen sowie die Spektraleigenschaften dieser Realisierungen untersucht. Dabei beschränken sich die Betrachtungen im Wesentlichen auf den regulären Fall. Am Ende dieser Arbeit findet sich eine vollständige Beschreibung aller selbstadjungierten Realisierungen regulärer Sturm-Liouville-Differentialausdrücke.
Freundliche Eckenzerlegung von Graphen. - 42 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2012
In meiner Diplomarbeit behandelten wir Probleme folgender Art. Eine Gruppe von n Reisenden muss in zwei Teilgruppen aufgeteilt werden, wobei jeder Reisende möchte, dass sich wenigstens so viele Freunde von ihm in seiner Teilgruppe befinden wie in der anderen und er somit keinen Grund hat die Teilgruppe zu wechseln. Dieses Problem lässt sich als Zerlegungsproblem für Graphen formulieren und ist in der Literatur unter dem Namen SATISFACTORY PARTITION bekannt. Wir untersuchten die Frage, ob es zu einem gegebenen Graphen G und zwei Funktionen a, b: V(G) &flech; N eine Zerlegung (A, B) der Eckenmenge von G gibt mit d_G[A] (x)≥a(x) für alle Ecken x A und d_G[B] (x)≥b(x) für alle Ecken x B. Eine solche Zerlegung (A, B) von V(G) heißt (a, b)- Zerlegung von G. Wir haben gezeigt, dass man unter bestimmten Gradbedingungen solche (a, b)- Zerlegungen findet. Eine (a, b)- Zerlegung von G mit a(x)=b(x)= (d_G (x)) 2 für alle x V(G) wird freundliche Zerlegung genannt. Aus unseren Untersuchungen folgt, dass jeder Graph mit Taillenweite mindestens 5 und Minimalgrad mindestens 3 eine freundliche Zerlegung besitzt. Im letzten Abschnitt der Arbeit betrachteten wir Zerlegungen unter bestimmten Färbungsbedingungen. Insbesondere beschäftigten wir uns mit einer bekannten Vermutung von Erd˝os und Lovász aus dem Jahr 1968, welche bis heute ungelöst ist. Seien s, t ≥ 2 natürliche Zahlen und sei G ein Graph mit (G)<(G)=s+t-1, wobei (G) die Cliquenzahl von G ist und (G) die chromatische Zahl von G ist. Dann besitzt G zwei eckendisjunkte Teilgraphen G1 und G2 mit (G_1)≥s und (G_2)≥t.
Über die Güte der Potentialschranke für die Unabhängigkeitszahl in k-degenerierten Graphen. - 47 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2012
Die Caro-Wei-Schranke d(G) ist eine berühmte untere Schranke für die Unabhängigkeitszahl alpha(G) in einem Graphen. In einer Arbeit von Borowiecki und anderen wurden Parameter gleicher Art untersucht, die ebenso von einem Eckenpotential abhängen. Dabei wird eine Klasse von Potentialen definiert, die zu einer Verbesserung der Caro-Wei-Schranke führt. Die Aufgabenstellung war nun, die Güte dieser neuen Schranke p(G) für Bäume zu untersuchen: Gibt es für Bäume eine Konstante C > 0, sodass der Quotient p(G) / d(G) durch C beschränkt bleibt? Für k-degenerierte Graphen konnte in einem einfachen Beweis C(k) = (2k + 1) / 2 gezeigt und dies in einem aufwändigeren Beweis zu C(k) = (k^2 + 5k + 6) / (4k + 6) verbessert werden. Darüber hinaus wurde ein bestmögliches Resultat für Bäume, 1-degenerierte Graphen, bewiesen.
Struktur und Eigenschaften 5-chordaler Graphen. - 22 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012
Bei den 5-chordalen Graphen handelt es sich um die Graphen, in denen jeder induzierte Kreis die Länge 5 hat. In dieser Bachelorarbeit wurden einige Eigenschaften solcher Graphen bewiesen, sowie zwei äquivalente Klassen zu den 5-chordalen Graphen gefungen.
Flow-Shop Probleme : Theorie, Heuristiken und ein Anwenderbeispiel. - 53 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2011
Maschinenbelegungsplanung oder Scheduling optimiert Bearbeitungspläne von n Jobs auf m vielen Maschinen. Hierbei sind Ein-Maschinen-Modelle und spezielle m=3 Open-Shop, Flow-Shop und Job-Shop-Probleme relativ einfach realisierbar. In meiner Diplomarbeit werden geeignete Lösungsverfahren zu diesen Schedulingproblemen vorgestellt. Insbesondere wird auf Flow-Shop-Probleme eingegangen und moderne Verfahren und Heuristiken zur Minimierung der Gesamtbearbeitungsdauer besprochen. Anschließend wird das spezielle Anwenderproblem F3|p2j Eta [0;∞)|Cmax vorgestellt, welches z.B. im Bereich der Lackierung und Montage Verwendung findet. Es wird ein erster Algorithmus erarbeitet, der eine näherungsweise optimale Bearbeitungsreihenfolge der n Jobs erstellt. Im nächsten Schritt wird dieser verbessert, indem ein Ergänzungverfahren erarbeitet wird, welches Leerzeiten auf Maschine 3 reduziert und somit die Gesamtbearbeitungsdauer verkürzt. Schließlich wird ein Satz formuliert, mit dessen Hilfe eine rasche Aussage getroffen werden kann, ob eine ermittelte Jobreihenfolge bereits näherungsweise optimal ist.
Ausgewähte Themen der Online-Optimierung. - 53 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2011
In der Arbeit beschäftige ich mich hauptsächlich mit Online-Optimierungsproblemen und der Kompativitätsanalyse der zugehörigen Online-Algorithmen. Im Speziellen habe ich die k-Server Probleme und die SDDP-Probleme bearbeitet und u.a. diese miteinander verglichen.
Schätzung des Value-at-Risk mit Hilfe elliptischer Copulas. - 121 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2011
Die Finanzmärkte haben sich in jüngster Zeit rasant entwickelt. Ein wichtiger Aspekt beim Halten eines Portfolios besteht deshalb darin, Abhängigkeiten und Risiken adäquat zu modellieren. Die seit Jahrzehnten benutzte Normalverteilungsannahme mit dem Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson erweist sich durch immer neue statistische Untersuchungen als dafür ungeeignet. Für ein Portfolio werden gemeinsame extreme Ereignisse durch die mehrdimensionale Normalverteilung nur unzureichend erfasst. Ein Standardmaß zur Bestimmung des Marktrisikos ist der Value-at-Risk. Dabei wird eine Wahrscheinlichkeit vorgegeben und der Wert des Value-at-Risk bestimmt. Beim Value-at-Risk handelt es sich einfach um ein Quantil der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit der Verteilung einer risikobehafteten Anlage. Für die Modellierung des Value-at-Risk werden elliptische Copulas verwendet. Copulafunktionen stellen ein allgemeines Konzept zur Modellierung von Abhängigkeiten dar. Die Copula soll die eindimensionalen Randverteilungen zu einer gemeinsamen, mehrdimensionalen Verteilungsfunktion koppeln. Dabei trägt die Copula die ganze Abhängigkeitsstruktur in sich. Für stetige mehrdimensionale Verteilungen können durch die Copula die eindimensionalen Randverteilungen und die mehrdimensionale Abhängigkeitsstruktur separiert werden. Das Hauptaugenmerk wird auf der Gauß- und der t-Copula liegen. Für diese beiden Copulas wird die praktische Anwendung auf reale Finanzmarktdaten im Rahmen der Risikomessung mit dem Value-at-Risk gezeigt. Dabei werden nicht nur die Copulas, sondern auch die Randverteilungen der einzelnen Vermögenswerte eine Rolle spielen. Es wird ein parametrischer Ansatz verwendet. Dazu werden Verfahren vorgestellt, mit denen die Parameter der benutzen Copulas und Randverteilungen geschätzt werden können. Für die Schätzungen wird das Statistikprogramm R verwendet. Es werden Befehle und Programmcodes vorgestellt um die vollständige Anwendung in R darzustellen. Die zur Schätzung des Value-at-Risk benötigten Zufallsrenditen werden mit Hilfe der durch die Copula vorgegebenen Abhängigkeitsstruktur mit Berücksichtigung der Randverteilungen erzeugt.
Mechanismendesign am Beispiel der Berechnung von Ersatzzahlungen bei ungewissen Schäden. - 25 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2011
Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit kollektiven Entscheidungsproblemen und deren Lösung über sogenannte anreizeffiziente Wahlmechanismen. Hierzu wird ein von Roger B. Myerson vorgestelltes Verfahren näher erläutert und anschließend ein von ihm gewähltes Beispiel überprüft und erweitert. Des Weiteren wird in Abschnitt 3 das dem Traveler's Dilemma zugrunde liegende Entscheidungsproblem betrachtet und umgeformt zur Berechnung von Ersatzzahlungen.
Obere Schranken für die Summe der p-ten Potenzen der Knotengrade dreikreisfreier, schlichter Graphen. - 40 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2011
Um obere Schranken für die Summe der p-ten Potenzen der Knotengrade zu finden werden in der Arbeit, neben der Dreikreisfreiheit, weitere Voraussetzungen an die Graphen gestellt. Dadurch konnten obere Schranken für die Summe der p-ten Potenzen der Knotengrade für dreikreisfreie Graphen mit bekannter chromatischer Zahl, dreikreisfreie Graphen mit bekanntem Minimal- und Maximalgrad und dreikreisfreie Graphen mit verschiedenen Planaritätseigenschaften gewonnen werden. Im Zusammenhang mit der Suche nach oberen Schranken für die Summe der p-ten Potenzen der Knotengrade für Graphen mit verschiedenen Planaritätseigenschaften wurde für 1-planare, dreikreisfreie Graphen eine neue obere Schranke für die Kantenanzahl bewiesen. Der letzte Teil der Arbeit zeigt lediglich eine Anwendungsmöglichkeit für die oberen Schranken der Summe der p-ten Potenzen der Knotengrade auf. Indem die Jensensche Ungleichung auf die Ungleichung von Caro und Wei angewendet wird, können wir mit Hilfe der gewonnenen oberen Schranken für die Summe der p-ten Potenzen der Knotengrade untere Schranken für die Unabhängigkeitszahl gewinnen.
Construction of codimension one relative homoclinic cycles. - 57 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2011
Zeitlich veränderliche Prozesse aus der Physik, der Chemie oder der Biologie werden mathematisch häufig durch (gewöhnliche) Differentialgleichungen beschrieben. Von wachsendem Interesse ist dabei das Studium heterokliner und homokliner Zykel, da diese als "Quelle" für nichttriviale Dynamik erkannt wurden. Diese Arbeit befasst sich damit, Beispiele für homokline Zykel zu konstruieren. Ein Orbit der eine Gleichgewichtslage mit sich selbst verbindet, heißt homokliner Orbit. Ein homokliner Zykel besteht aus mehreren homoklinen Orbits an die selbe Gleichgewichtslage. Speziell werden relative homokline Zykel der Kodimension-1 betrachtet, also homokline Zykel, die in einparametrigen Familien von Vektorfeldern auftauchen, die eine diskrete Symmetrie aufweisen. Die konstruierten Vektorfelder sind äquivariant bezüglich der Diedergruppe D_m, der Symmetriegruppe des regulären m-Ecks in der Ebene. Die homoklinen Orbits laufen tangential zu den führenden Richtungen einer hyperbolischen Gleichgewichtslage ein, wobei die führenden Eigenwerte reell sind. Desweiteren finden sich in dieser Arbeit auch Beispiele für robuste homokline Orbits.