Numerische Simulation der makroskopischen Lasergleichungen. - 34 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2014
Ziel dieser Arbeit ist die Analyse des Einflusses diverser Parameter auf die makroskopischen Lasergleichungen. Hierzu bedarf es einer numerischen Beschreibung und einer programmiertechnischen Umsetzung, welche ebenfalls durchgeführt werden sollen. Um ein Verständnis sowohl der physikalischen als auch der mathematisch-numerischen Grundlagen zu gewährleisten, werden beide detailliert vorgestellt. Zunächst soll hierbei die semiklassische Theorie des Laserlichts wiedergegeben werden, welche die Maxwellsche Theorie des Elektromagnetismus mit einem quantenmechanischen Zweiniveausystem verbindet. Dies führt letztlich auf drei gekoppelte Differentialgleichungen, welche die physikalischen Größen elektrische Feldstärke, Polarisation und Besetzungsinversion miteinander verknüpfen. Direkt anschließend wird die numerische Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen ausgearbeitet. Hierbei werden im Rahmen der gewöhnlichen Differentialgleichungen zunächst verschiedene Einschrittverfahren und darauf folgend explizite und implizite Mehrschrittverfahren vorgestellt. Die numerische Theorie der partiellen Differentialgleichungen beschränkt sich auf die Methode der finiten Differenzen, wobei explizite, implizite und gemischte Verfahren an den Beispielen der Wellen- und der Diffusionsgleichung vorgestellt werden. Zudem werden die theoretischen Konzepte der Stabilitätsuntersuchung sowie verschiedene Stabilitätskriterien angegeben. Darauf aufbauend wird die numerische Umsetzung der Lasergleichungen beschrieben. Es wird darauf Wert gelegt, die Herangehens- und Arbeitsweise des Autors aufzuzeigen, um somit ein einfacheres Nachvollziehen der Gedankengänge zu ermöglichen. Aus diesem Grund wird zunächst die physikalische Vorbereitung - das Reskalieren der Gleichungen behandelt. Dies ermöglicht eine einheitenlose und somit mathematisch-numerisch stark vereinfachte Handhabung der Gleichung. Anschließend folgt die numerische Stabilitätsuntersuchung verschiedener Verfahren, angewandt auf die zunächst noch entkoppelt partielle Lasergleichung. Diese Untersuchung soll ebenfalls die Arbeitsweise des Autors in den Vordergrund rücken und wird deshalb nicht in der strengen mathematischen Beweisstruktur wiedergegeben. Vielmehr werden die Stabilitätsbedingungen - der formalen Beweisrichtung entgegengesetzt - hergeleitet, wodurch die Nachvollziehbarkeit und der Lesefluss erhöht werden. Nach der physikalischen Interpretation der Werte der entkoppelten Gleichung werden abschließend die drei gekoppelten Gleichungen computertechnisch umgesetzt. Von den mannigfaltigen untersuchenswerten Phänomenen werden einerseits ein assymetrisches Auftreten der Besetzungsinversion und andererseits die Abhängigkeit des Laserprozesses von Dämpfungstermen untersucht.
On confidence sets in multiobjective optimization. - 41 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2014
Es gibt viele multikriterielle Optimierungsprobleme in denen verschiedene Größen unbekannt sind und daher geschätzt werden müssen. Solche Schätzungen liefern eine Folge von Ersatzproblemen. Daher wäre es nützlich die Qualität dieser Probleme in Bezug auf die zulässige Menge, die effiziente Menge und die zugehörige Lösungsmenge zu kennen. Das Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung geeigneter quantitativer Aussagen zur Konvergenz der Mengenfolgen die durch das Lösen der Ersatzprobleme entstehen. Weiterhin wird gezeigt wie diese Aussagen dazu benutzt werden können, um Konfidenzmengen zu erhalten.
Kopositivität testen mit der [alpha] bb-Methode. - 50 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2014
Das Ziel der Bachelorarbeit ist die Entwicklung eines Kopositivitätstestes mit der [alpha] bb-Methode. Das Testen einer Matrix auf Kopositivität ist zu einem wichtigen Forschungsgebiet geworden, weil sich viele Optimierungsprobleme gerade aus der gemischt-ganzzahligen und quadratischen Optimierung auf lineare Optimierungsprobleme über dem Kegel der kopositiven Matrizen umformulieren lassen. Die [alpha] bb-Methode ist ein Verfahren aus der globalen Optimierung, das sich auf eine sehr große Klasse von Funktionen anwenden lässt. In der Arbeit wird die [alpha] bb-Methode allgemein vorgestellt, auf dieser Basis ein Kopositivitätstest erstellt und die Ergebnisse mit denen anderer Verfahren verglichen.
Dichteschätzungen mit Epi-Splines. - 108 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2014
Die Masterarbeit befasst sich mit einer neuartigen Methode innerhalb der nichtparametrischen Dichteschätzung, die auf sogenannten Epi-Splines beruht. Zunächst geht es in der Arbeit um die Aufbereitung eines Artikels von Johannes O. Royset und Roger J-B Wets zur Schätzung eindimensionaler Dichten mittels exponentieller Epi-Splines. Dieser Ansatz wird schließlich in der Arbeit auf den zweidimensionalen Fall erweitert und es wird dabei das theoretische Fundament zur Schätzung bivariater Dichtefunktionen gelegt. Hierbei wird unter anderem eine Konsistenz-Aussage der entstehenden Dichteschätzer für eine spezielle Klasse von Dichten hergeleitet. Empirische Studien, die vor allem für den eindimensionalen Fall durchgeführt wurden, bildeten die Grundlage, um sowohl mögliche Potentiale als auch Schwachstellen des Schätzverfahrens aufzudecken.
Färbungskritische Graphen mit vollständigem Hauptpunktegraph. - 35 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2014
Die Arbeit ist in drei Kapitel unterteilt. Zu Beginn erfolgt die Erläuterung, der für die Arbeit wichtigen Begriffe und Bezeichnungen für Graphen. Unter anderem werden Färbung und auch die für die Beweise wichtige Listenfärbung erklärt. Der letzte Abschnitt dieses Kapitels beschäftigt sich dann mit der Klasse der kritischen Graphen. Daran anschließend befasst sich das zweite Kapitel mit den im Mittelpunkt dieser Arbeit liegenden Sätzen 2.2 und 2.4 sowie ihren neuen Beweisen. Diesbezüglich behandelt das Kapitel zwei Konstruktionsmöglichkeiten, welche aus gegebenen Haupt- und Nebenpunktegraphen einen k-kritischen Graphen konstruieren. Am Ende fügt sich noch ein kurzes Fazit an.
Fast isometrische Einbettung von Graphmetriken in die euklidische Ebene. - 26 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2014
In der Arbeit wird gezeigt, dass es möglich ist einen unendlichen, schlichten, zusammenhängenden Graphen so in die Ebene abzubilden, dass er der Einbettungseigenschaft genügt. Der Graph bzw. die Abbildung, welche den Graphen in die Ebene einbettet muss dafür die epsilon-Netz Eigenschaft haben. Außerdem wird der Begriff der r-Kontraktion benutzt um die gewünschten Resultate zu erzielen. Zudem wird gezeigt, dass das Resultat für alle durch Normen induzierte Metriken gilt.
Stochastische Stabilität am Beispiel eines zellulären Automaten. - 55 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2013
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Stabilität von Zuständen unter stochastischen Störungen am Beispiel eines zellulären Automaten auf einem periodischen Gitter mit dem Ising-Modell ähnlichen Übergangsregeln. Als Modell für diesen Automaten dienen Markowketten und deren Darstellung als Übergangsgraphen. Unter der Verwendung eines Satzes von Peyton Young kann gezeigt werden, dass sich als stochastisch stabile Zustände Streifen auf dem Gitter ergeben, was in Übereinstimmung mit der Ausbildung langlebiger Streifenzustände in entsprechenden Computersimulationen ist.
Datenreduzierung beim MRT mit Hilfe semidefiniter Optimierung. - 141 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2013
Diese Masterarbeit beschäftigt sich mit der semidefiniten Optimierung und deren Anwendung in der Magnetresonanztomographie. Dazu führen wir zuerst die Grundlagen der semidefiniten Optimierung ein. Anschließend werden die Ideen zur Datenreduzierung von Beobachtungspunkten bei der Magenetresonanztomographie aus der Arbeit von G. Eichfelder und M. Gebhardt mathematisch aufgearbeitet. Wir betrachten dann das in dieser Arbeit hergeleitete semidefinite Optimierungsproblem, für das zwei Matrixnormen als (nichtlineare) Zielfunktion gewählt werden können. Diese Optimierungsprobleme formulieren wir zu Problemen mit linearen Zielfunktionen um. Ebenfalls leiten wir die zugehörigen dualen Optimierungsprobleme her und erbringen den Nachweis über die starke Dualität. Zum Schluss lösen wir die oben erwähnten Optimierungsprobleme, die anhand von Zufallsdaten und Daten aus der Anwendung gebildet wurden, mit Hilfe verschiedener Software-Pakete für MATLAB und diskutieren die gewonnenen Ergebnisse.
Kritische Hypergraphen kleiner Ordnung. - 34 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2013
Es wurden Regeln zum Erhalten der k-kritischen Hypergraphen mit k, k+1 oder k+2 Ecken, sowie aller 2-kritischen Hypergraphen aufgestellt. Weiterhin wurden vollständige Listen der 1-kritischen Hypergraphen, 3-kritischen Hypergraphen mit fünf Ecken und 4-kritischen Hypergraphen mit sechs Ecken erstellt.
Eckenfärbungskonzepte für verschiedene Graphenklassen. - 39 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2013
Für einen Graph G mit der Eckenmenge V und der Kantenmenge E wird das klassische Eckenfärbungskonzept verallgemeinert. Hierbei weist man zunächst jeder Ecke v des Graphen eine Menge S(v) zu, welche lediglich eine Teilmenge von V \cup E sein muss. Des Weiteren wählt man eine Gewichtsfunktion w : V \cup E -> {1,2,..,k}, wobei k eine natürliche Zahl ist. Nun wird für jede Ecke v mittels c(v) = sum_{x \in S(v)} w(x) eine Farbe definiert. Die so entstandene Färbung soll zulässig sein, d.h. benachbarte Ecken sollen stets verschieden gefärbt sein. Unter dieser Bedingung soll die Zahl k minimiert werden. Wie obere Schranken für dieses minimale k aussehen können, wird für verschiedene Färbungskonzepte, also verschiedene Mengen S(v), angewendet auf einige Graphenklassen untersucht. Genauer werden die Färbungskonzepte S(v) = N(v) = {x \in V | xv \in E} und S(v) = N[v] = N(v) \cup {v} für Kreise, Bäume, bipartite und vollständige r-partite Graphen betrachtet. Zusätzlich werden die Färbungskonzepte S(v) = N_E(v) = {uv \in E | u \in V} , S(v) = N[v] \cup N_E(v) und S(v) = N(v) \cup N_E(v) für Bäume betrachtet.