Cycle lengths in cubic Hamiltonian graphs. - 39 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2010
We prove that the number of cycles of die rent length is at least linear in n, for S_ {1, a, b}-free, cubic Hamiltonian graphs of order n. Furthermore we prove linear, lower bounds for K_ {1, 3}, S_ {1, 1, 2}, or S_ {1, 2, 2}-free, cubic Hamiltonian graphs, that are best possible. These results corm a conjecture by Rautenbach in some special cases.
Die minimale Kantenbelastung in Raupen. - 35 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2010
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der minimalen Kantenbelastung in Raupen gleicher Ordnung. Dabei wird versucht die maximale Kantenbelastung von einer Raupe G in einer Raupe T zu minimieren, indem beide nach dem gleichen Schema nummeriert werden und anschließend die Knoten mit gleicher Nummer bijektiv aufeinander abgebildet werden. Zum Vergleich werden auch noch zwei weitere Schemata getestet und es werden Aussagen über diese getroffen. Außerdem werden Gesetzmäßigkeiten für Spezialfälle der Raupe gezeigt. Schließlich werden noch obere Schranken für die Kantenbelastung vorgestellt.
Zur Unabhängigkeitszahl in Graphen. - 37 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2010
Die Unabhängigkeitszahl eines Graphen zu berechnen ist, wie sich im Laufe der Zeit herausgestellt hat, eine äußerst schwierige Aufgabe. Gerade deshalb sind möglichst genaue Abschätzungen jener von großem Interesse. In dieser Arbeit wird zum einen untersucht, wie sich die Unabhängigkeitszahl in einem n-eckigen Graphen, in welchen der Maximalgrad auf drei beschränkt ist, durch sum(f(di , ti), i=1..n) abschätzen lässt, wobei di die Gradzahl und ti die Dreieckszahl der jeweiligen Ecke i wiederspiegeln. Dabei ist die Funktion f rekursiv durch f(0,0) = 1 sowie f(d,t) = 1/(d+1) für t >=binomial(d,2) und f(d,t) = (1+(d^2-d-2t)f(d-1,t))/(d^2+1-2t) für t <binomial(d,2) gegeben. Zum anderen wird untersucht, welche Probleme auftreten, wenn anstelle des Maximalgrades die Dreieckszahl, eines jeden Eckpunktes in G, auf zwei beschränkt wird. Es wird ausführlich auf die dabei aufgetretenen Schwierigkeiten eingegangen.
Vergleich von Algorithmen zum Auffinden großer unabhängiger Mengen in Graphen. - 39 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2010
Das Finden unabhängiger Mengen in Graphen lässt sich mit Hilfe verschiedener Algorithmen realisieren. Die Arbeit beschäftigt sich mit einer speziellen Gruppe der Algorithmen. Bei diesen wird sukzessiv, mit einer bestimmten Auswahlregel, ein Punkt ausgewählt und dessen komplette abgeschlossene Nachbarschaft gelöscht. Jene Punkte bilden am Ende eine unabhängige Menge.Die Auswahlregeln setzen sich aus einer Kombination dreier Grundbedingungen zusammen: Erstens die Minimalvalenz. Die zweite Bedingung ist, dass die Anzahl der Kanten, die gelöscht werden, maximal ist. Die dritte Bedingung bewirkt, dass nach dem Löschen der abgeschlossenen Nachbarschaft ein Graph entsteht, der einen Punkt hat, dessen Valenz möglichst gering ist. Dass heißt, es wird der Punkt gesucht, bei dem die Minimalvalenz im Folgegraphen minimal ist. Zum Vergleich dient ein C++ Programm, dass die verschiedenen Ergebnisse ausgibt. Am Ende zeigt sich, dass Auswahlregeln, die mit der ersten Bedingung beginnen, die besten Ergebnisse liefern.
Dichtefunktionsbestimmung zur Korngrößenverteilung im Zement. - 86 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2010
Diese Arbeit dient der Unterstützung des DFG-geförderten Forschungsprojekts "Dynamische Korngrößenmessungen zur Verfolgung des Hydratationsverlaufs von Zementen im frühen Stadium". Schwerpunkt der Arbeit ist die Ermittlung einer Dichtefunktion, welche die gegebenen Messdaten hinreichend genau wiedergibt. Hierbei werden bereits bekannte Methoden aus der Verfahrenstechnik (Potenzverteilung, RRSB-Verteilung und Logarithmische Normalverteilung) untersucht und auch andere bisher nicht getestete Verteilungen (Weibullverteilung, gestutzte Verteilung, Mischverteilung) auf ihre Eignung geprüft. Für den Zeitpunkt t=0 Minuten ergibt sich keine zufriedenstellende Approximation der Messwerte. Für Zeiten größer t=0 Minuten können jedoch die Messwerte mittels einer vierkomponentigen Mischverteilung aus logarithmischen Normalverteilungen hinreichend genau angenähert werden.
Kantenfärbungen Gewichteter Multigraphen. - 51 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2010
Kantenfärbungen ungerichteter Graphen sind ein vielbehandeltes Problem der Graphentheorie. Die vorliegende Arbeit verallgemeinert diese Problemstellung auf fraktionelle f Kantenfärbungen. Der f chromatische Index eines Graphen wird dabei als binäres lineares Optimierungsproblem angesehen welches reell relaxiert wird. Daraus ergeben sich in natürlicher Weise Begriffe und Sätze, die ähnlich sind zu denen der klassischen Kantenfärbungen. Einige zentrale Resultate werden auf gebrochene Kantenfärbungen übertragen und der gebrochene f chromatische Index als effizient realisierbare Schranke in Verbindung mit dem f chromatischen Index gebracht.
Nonreversible homoclinic snaking in R 3. - 77 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2010
Im Kontext gewöhnlicher Differentialgleichungen bezeichnet "Homoclinic Snaking" ein bestimmtes Fortsetzungsszenario homokliner Orbits in einer Umgebung eines heteroklinen Zykel zwischen einem Gleichgewicht und einem periodischen Orbit. Die betrachteten Differentialgleichungen beschreiben häufig Gleichgewichte partieller Differentialgleichungen und sind oftmals reversibel und Hamiltonisch - besitzen also eine spezielle aufgeprägte Struktur. - In der vorliegenden Diplomarbeit werden zweiparametrige Familien gewöhnlicher Differentialgleichungen im R 3 betrachtet, die weder reversibel noch Hamiltonisch sind. Es wird angenommen, dass ein heterokliner Zykel zwischen einem hyperbolischen Gleichgewicht E und einem hyperbolischen periodischen Orbit [gamma] existiert. Weiter werden Voraussetzungen über das Schnittverhalten der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit von E und [gamma] gemacht. Unter diesen Annahmen wird das Fortsetzungsverhalten von 1-homoklinen Orbits zu E (das sind Orbits, die einmal entlang des originalen Zykels laufen) analytisch untersucht. Für solche Orbits wird "Homoclinic Snaking" nachgewiesen. Dabei wird gezeigt, dass das "Snakingverhalten" durch die Bifurkationen der heteroklinen Verbindungen zwischen E und [gamma] bestimmt wird.
Das Sil'nikov Problem für kontinuierliche und diskrete Systeme. - 40 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2010
Das Sil'nikov Problem (nach dem russischen Mathematiker L. P. Sil'nikov) bezeichnet ein speziell gestelltes Randwertproblem, welches ursprünglich benutzt wurde, um den Fluss eines Vektorfeldes (bzw. einer gewöhnlichen autonomen Differentialgleichung) in der Umgebung einer hyperbolischen Gleichgewichtslage zu beschreiben. Solche Betrachtungen finden u.a. Anwendung bei der Untersuchung des dynamischen Verhaltens in der Nähe von homoklinen Orbits und heteroklinen Zykeln. Ziel dieser Arbeit ist es, das Sil'nikov Problem für den kontinuierlichen Fall mit den existierenden Aussagen über Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung, sowie deren Glattheit und asymptotisches Verhalten für t gegen unendlich vorzustellen, und in analoger Weise auf diskrete dynamische Systeme zu übertragen.
On stability of time-varying linear differential-algebraic equations. - 81 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2010
Differential-algebraische Gleichungen gewinnen in vielen technischen Gebieten, wie zum Beispiel der Elektrotechnik, immer mehr an Bedeutung. Da sie aber in den meisten Fällen nicht explizit lösbar sind, oder schwer handhabbare Lösungen besitzen, und die Lösungen auch nicht eindeutig sein müssen, konzentriert man sich auf qualitative Aussagen über das Systemverhalten. Die Stabilität linearer zeitvarianter differential-algebraischer Gleichungen der Form $E(t) \dot x = A(t)x + f(t)$ wird in dieser Arbeit studiert. Eine detailierte Untersuchung solcher Systeme ohne irgendwelche Einschränkungen scheint bisher nicht verfügbar zu sein. Ein zentrales Ziel dieser Arbeit ist es eine Verbindung zwischen dem Stabilitätsverhalten der Lösungen dieses Systems und dem Stabilitätsverhalten der trivialen Lösung des zugehörigen homogenen Systems herzustellen. Weiterhin entwickeln wir, mittels einer Lyapunov-Methode, Bedingungen für eine eingeschränkte Form von exponentieller Stabilität. Des Weiteren führen wir eine detailierte Untersuchung der Lösungs- und Stabilitätstheorie von Systemen, die sich in Standard-Normalform überführen lassen durch. Dies betreffend geben wir eine Darstellung der allgemeinen Lösung an und eine Bedingung unter der diese existiert. Wir führen konsistente Anfangswerte und, für homogene Systeme, die verallgemeinerte Übergangsmatrix ein und bestimmen ihre Eigenschaften, welche als direkte Verallgemeinerungen der Eigenschaften der Übergangsmatrix einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung angesehen werden können. Weiterhin führen wir die projizierte verallgemeinerte zeitvariante Lyapunov-Gleichung ein und leiten unter der Benutzung dieser notwendige und hinreichende Bedingungen für exponentielle Stabilität her. In diesem Zusammenhang untersuchen wir auch die Lösbarkeit der Lyapunov-Gleichung sowie die Eindeutigkeit und Darstellung der Lösung.
Angewandte Credibility-Verfahren in der Versicherungswirtschaft. - 171 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2010
Meine Diplomarbeit ist eine Übersetztung vom Englischen ins Deutsche von vier Kapiteln der gleichnamigen Monographie von R. Kaas, D. R. Dannenburg und M. J. Goovaerts. Dabei habe ich zusätzlich Beweise im Text ausgeführt und die zu jedem Kapitel gestellten Aufgaben gelöst. In der Praxis muss oft eine Prämie für eine Gruppe von Versicherungsverträgen bestimmt werden, bei der nur eine begrenzte Erfahrung über die einzelne Gruppe von Verträgen verfügbar ist, aber dafür viel Erfahrung über andere, mehr oder weniger ähnliche, Verträge. Um daraus eine optimale Credibility-Prämie zu bekommen, betrachten wir ein gewichtetes Mittel z_jX_j+(1-z_j)X mit dem Gesamtmittelwert X aller Daten (Kollektivprämie), den Schadenmittelwerten X_j für jede Gruppe j als Individualprämien und dem Credibility-Faktor z_j , der die Glaubwürdigkeit der individuellen Erfahrung von Gruppe j beschreibt. Je nach Voraussetzungen gibt es Modelle, wie das balanzierte Bühlmann- oder Bühlmann-Straub-Modell, um den homogenen und inhomogenen Credibility-Schätzer zu bestimmen. Ebenso wird ein allgemeines Modell mit invertierter Kovarianzmatrix betrachtet, aus dem sich die speziellen Modelle herleiten lassen. Zum Schluss wird der Fall untersucht, wenn der Schätzer nicht als linear vorausgesetzt ist.